空间直角坐标系及空间向量的坐标表示

选修2—1 第三章 空间向量与立体几何

§3.1.4 空间向量的坐标表示 总第(4)教案 （理科使用）

● 教学目的：

1、掌握空间直角坐标系的概念，会确定简单几何体的顶点坐标；

2、掌握空间向量坐标运算规律；

3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；

4、会用中点坐标公式解决有关问题● 教学重点：空间直角坐标系，向量坐标运算● 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 教学过程：

一、复习引入：

空间直角坐标系：

（1）若空间一个基底的三个基向量互相垂直，长为1，这个基底叫单位正交基底，用{}

k j i ,,表示；

（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}

k j i ,,，以点O 为原点，分别以k j i ,,的方向为

正方向建立三条数轴：x 轴、

y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系

O xyz -，点O 叫原点，向量 k j i ,,都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分

别称为xOy 平面，

yOz 平面，zOx 平面；（这里建立的坐标系都是右手直角坐标系）

2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一

的有序实数组(,,)x y z ，使k z j y i x OA ++=

，有序实数组

(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作

(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．

3．空间向量的直角坐标运算：(类比平面向量的坐标运算) （1）若),,(321a a a a

=，),,(321b b b b =，则

),,(332211b a b a b a b a +++=+ ),,(332211b a b a b a b a ---=-，

))((321R a a a a ∈=λλλλλ，，， 332211b a b a b a b a ++=•，

a ‖⇔

b 332211,,b a b a b a λλλ===（R ∈λ）

0332211=++⇔⊥b a b a b a b a

模长|a |3

22212a a a ++=

（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则

),,(122212z z y y x x AB ---=．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

|AB|=2

122

122

12)

()()(z z y y x x -+-+-

二、典型例题

例1、长方体1111B E A O OAEB -中，OA=3，OB=4，1OO =2，点P 在棱1AA 上，且

AP=21PA ,点S 在棱1BB 上,且BS SB 21=,点Q,R 分别是11B O ，AE 的中点，求证：PQ//RS.（提示：建立适当的空间直角坐标系，注意建系的方法）

例2 已知)5,3,2(-=a ，)4,1,3(--=b ，求b a +，b a -，|a |，8a ，b a •

例3．求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点

那么，点A （2，-3，-1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的射影点是什么呢？

那么，点A （2，-3，-1）关于点B （0，1,2）的对称点又是什么呢？

总结：点(a ，b,c)关于面对称（变一个坐标）；关于轴对称（变两个坐标）；关于原点对称（变3

个坐标）；面内射影（一个为0，其余不变）；轴上射影（两个为0，一个不变）

例4、设正四棱锥4321P P P P S -的所有棱长均为a ，若建立如图的坐标系，

求点S 、1P 、2P 、3P 和4P 的直角坐标。 若以3P 为原点建系呢？

例5、 判断下列两个向量是否平行

（1）)2,3,1(-=a ，)4,6,2(--=b . (2). )5,0,2(-=a ，)20,0,8(=b

变式练习：)2,32,2(+-=n m a ，)23,12,4(-+=n m b ，且a //b ，求实数m,n

的值

例6、平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为12

2=+y x ，

在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么，试写出它的方程。

三、课堂练习：

1.若{}

k j i ,,为一个单位正交基底，若k j i a 382++-=， 则向量a 的坐标是 。若k b 5-=，则向量b 的 坐标是 ，若k i c 25+-=，则c 的坐标是 。

2．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1

和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系， 试写出图中各点的坐标。

3.若)3,1,2(x a =，)9,2,1(y b -=，如果a ，b 为共线向量，则x= ，y= 。

4.已知点A （1,2,1），B （-1,3,4），且PB AP 2=，则点P 的坐标是 。

5. 已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，则线段AB 的中点坐标和长度 ， 。 到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件 。 四、课后作业

1、已知A （2,5，-6），在y 轴上存在点P ，使PA=7，则P 的坐标是 。 2.、已知),,1,1(t t t a --=),,2(t t b =，则|a b -|的最小值是 。 3、已知),2,0,1(λλ+=a )2,12,6(-=μb ，若a //b ，则λ= ，μ= 。 4、已知),3,1,2(-=a )2,4,1(--=b ，),5,7(λ=c ，若c b a ,,三向量共面， 则λ= 。

5、设A （3,0,-1）,B(0,-2,0),C(2,4,-2),则三角形的形状是 (直角，锐

角，钝角，以上均不对)三角形

6、（1）点P(2,1,4)关于坐标原点的对称点的坐标 。

（2）若点P(3,1,a)，Q(3,b,2)关于XOY 平面对称，则a+b=

(3) 由点P(m,n,t)向坐标平面xoz 作垂线，垂足的坐标为 ，

向x 轴作垂线，垂足的坐标是 。