吉林大学出版社高职高专《高等数学》第05章

凑微法，它的思想是先凑微分后积分．
19
教材P103 定理 1 设函数(x) 具有连续的导数,且
f(u )du F(u )C ，则
f [(x)](x)dx F[(x)] C
说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
f [(t)](t)dt F(t) C
33
那么把 t 回代成 x (t) 的反函数
t 1 (x) ，则 f (x)dx F[ 1(x)] C ．
这类求不定积分的方法，称为第二换元积分 法．这一方法是把第一类换元积分法反过来用， 常用于被积函数含有根式的情况
第五章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 有理分式函数的不定积分
1
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的基本公式 四、不定积分的性质
2
一、原函数与不定积分的概念
教材P98 定义1 设函数f 与F 在区间I上有定义，若
(8) cosxdx d sin x ；
(9) sec2 xdx d (tan x) ； csc2 xdx d cot x ；
(10*) sec x tanxdx d(sec x ); csc xcotxdx d(csc x )
(11)
1 1 x2
dx

d (arc tanx)
sectdt ln(sec t tan t) C
x

ln
1
1 x
2
dx

arc
tan
x

C
;
(13)
1
1
x
2
dx

arcsin
x

C
;
12
四、不定积分的性质
教材P101
性质 1

(1) f (x)dx f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx ；
(2) f (x)dx f (x) C 或 d f (x) f (x) C ．
2
a2
37
【例17】 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
t



2
,
2


x
1 2
a
2
dx


a
1 sec
t

a
sec2
tdt
sectdt ln(sec t tan t) C

ln
F(x) f (x)或dF(x) f (x)dx
xI
则称F为f 在区间I上的一个原函数
问题： （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？
（2）任意两个原函数之间有什么关系？
3
教材P98
定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续,那么 f (x) 在该区间上的原函数一定存在.
推论 1 如果函数 F(x) 、G(x )都是 f (x) 的原函
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
9
二、不定积分的几何意义:
教材P100
的原函数的图形称为 的积分曲线 .
f (x) dx 的图形
y=F(x)的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
过某个x0点 做切线都平
行
o
x0
x
10
三、不定积分的基本积分公式 教材P100
(1) kdx kx C ( k 是常数);
(,0) 内则具有形如 ln(x) C 的原函数．
把 x 0及 x 0内的结果合起来,可写作

1 x
dx

ln
|
x
|
C
.
8
例2. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的2倍, 求此曲线的方程. 教材P99 解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
或
ln tan x C
2
30
解法 2


cos x cos2 x
dx


1
d
sin x sin 2 x

1 2


1 1 sin
x
1 1 sin
x


d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
F(x) C 称为 f (x) 的不定积分,记为 f (x)dx ,其中
记 号 叫 做 积 分 号 , f (x) 叫 做 被 积 函 数 ,
f(x )dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量.
由定义知 f (x)dx F(x) C .这里任意常数
C 又叫做积分常数.
5
不定积分举例
x a

x
2 a
a
2


C
.
x2 a2
x
t a
38
【例18】 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令x a sec t dx a sec t tan tdt
t


0,
2


1 dx x2 a2

a
sec t tan a tan t
tdt

(
x a
)
2
d
(
x a
)
1

(
x a
)
2
想到
d u arcsin u C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(直接配元)
26
【例7】 求
解:

1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a) 1 ( 1 1 ) (x a)(x a) 2a x a x a
；
1
(12)
dx d (arcsin x) 1 x2
22
教材P104
例1的一般情况：
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
23
教材P104
24
教材P104
【例4】 求
e
x
15
教材P102 习题5-1 3、
16
教材P103
第二节 换元积分法
一、第一换元积分法（凑微分法） 二、第二换元积分法
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基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
F[(x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u(x)
31
教材P106
32
二、第二换元积分法
教材P107
若 f (x)dx 不易直接应用基本积分表计算，
适当选择代换 x (t) ，其中(t) 具有连续的导 数，(t) 的反函数存在并且可导，化不定积分为
下列形式： f (x)dx f [(t)](t)dt
如果上式右端的被积函数具有原函数，即
x
dx
.
解: 原式 = 2 e x d x 2 e x d( x ) 2e x C
【例5】 x 2 dx
1 x 6
【解】 x 2 dx = 1
1 d(x 3 ) 1 arctan x 3 C
1 x 6
3 1(x 3 )2
3
25
【例6】 求 解:
dx
a
1
exdx ex C .
教材P99
例 1 求下列不定积分
（1）

x
2dx
．（2）

1
1 x
2
dx
7
例1
(3)求

1 x
dx
．
教材P99
解
[ln(
x)]

1 x
(1)

1 x
，所以自然对数函
数求导以后得到的导函数形式均为
1 x
．所以说
1 x
在 (0,) 内 具 有 原 函 数 形 式 为 ln x C ， 而 在
(2) x dx x 1 C
1
( R, 1) ;
(3)
1dx x

ln
|
x
|
C
；
(4) a xdx a x C
ln a
(a 0, a 1) ;
(5) exdx ex C ;
(6) sin xdx cosx C ; 11
[ f1(x) f2 (x)]dx f1(x)dx f2 (x)dx ．
性质 3 可以推广到有限个函数的情形，即有
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]dx f1(x)dx f2 (x)dx fn (x)dx
14
教材P101
第一类换元法 第二类换元法
18
一、第一换元积分法（凑微分法）
一般地，将积分 g(x)dx“凑”成 f [(x)](x)dx
或者 f [(x)]d(x) ，然后将(x) 看成整体变量 u ，
当 来自百度文库 (u)du 求得以后，再将 u (x) 回代，即求
得 g(x)dx ．这种方法称为第一换元积分法或者
注意 对函数 f (x) 先求积分，再求导数， 其结果等于 f (x) ，而对函数 f (x) 先求导数，再求 积分，其结果不再是 f (x) ，而是 f (x) C ．
13
性质 2 如果常数 k 0 ，则 kf (x)dx k f (x)dx .
性质 3 如果函数 f (x) 及 g(x) 的原函数存在，则
20
下面是常用的凑微分等式，请熟记，对以后解题大有帮助．
(1)
dx

1 a
d
(ax

b)
(
a

0,
b

R
)；
教材P104
(2)
xdx

1 2
dx 2
；
(3)
1 x
dx

d
ln
x
；
(4)
1 x2
dx

d
1 x
；
(5) 1 dx 2d x
x
(6) e xdx dex ；
21
(7) sin xdx d cosx ；
数,则G(x )=F(x )C ，其中 C 是常数。
推论 2 如果函数 f (x) 有一个原函数 F(x) ,则
它一定有无穷多个原函数,并且对任意的常数 C,
形如 F(x) C 的函数族,构成 f (x) 的全体原函数.
4
教材P99
定 义 2 f (x) 的 原 函 数 的 一 般 表 达 形 式
(7) cosxdx sin x C ;
(8) sec2 xdx tan x C ;
(9) csc2 xdx cot x C ;
(10) sec x tan xdx sec x C ;
(11) csc x cot xdx csc x C ;
(12)
)2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a

1 a

du 1 u
2
1 arctan a
uC
想到公式

1
d
u u
2
arctan u C
28
【例9】 求 解:

sin xdx cos x


dcos x cos x
类似

cos x dx sin x


d sin x sin x
∴
原式
=
1 2a

dx xa


dx xa


1 2a


d(x a) xa


d(x a) xa

1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
27
【例8】 求
解:

1 a2
dx
1

(
x a
①
ln x

1 x
( x 0)
ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
② f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
6
例求 exdx ．
解 因为 (ex ) ex ,所以 e x 是 e x 的一个原函 数,根据定义
dx a cost d t
ax
∴ 原式 a cost a cost d t a2 cos 2 t d t
a2 t sin 2t C
t
a2 x2
24 sin 2t 2sin t cost 2 x
a2 x2
aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
34
教材P107
35
【例15】
解 被积函数中所含的两个根式的根指数分别为2和3，最小 公倍数为6，故应设 =t(t>0)，才能把被积函数中所含的两个 根式都去掉，则有
36
【例16】 求 a2 x2 dx (a 0) .
解: 令
x asin t ,
t

(

2
,

2
)
,
则
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cos t
29
例10. 求 解法1
(sec x tan x) sec x tan x
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x


d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C