向量法证明不等式(多篇)

向量法证明不等式(精选多篇)

向量法证明不等式

高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.

设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈r，i=1，…，n)

规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有

由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.

一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即

例1设a，b，c∈r+，求证：(a+b+c)≤++≤.

证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，

则由

综上，原不等式成立.

点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.

作单位向量j⊥ac

j(ac+cb)=jab

jac+jcb=jab

jcb=jab

|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)

即|cb|sinc=|ab|sina

a/sina=c/sinc

其余边同理

在三角形abc平面上做一单位向量i,i⊥bc,因为ba+ac+cb=0恒

成立，两边乘以i得i*ba+i*ac=0①根据向量内积定义，

i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc 代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc 步骤1

记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c ∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步骤3.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

类似可证其余两个等式。

运用向量可以证明不等式

向量一章中有两处涉及到不等式，其一，

?a?a+???b?a?b或-???b?a?b；其二，??a?b??a?b。前者的几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，后者是数量积的性质，这两个结论用于证明不等式，可以使证明思路清晰明快，过程简单明了之功效。

????

一、利用a-b?a?b证明不等式

例1

、函数f(x)?，a?b，求证：

f(a)?f(b)?a?b

解析：f(a)?f(b)?a?b

即??a?b

??

构造两个向量 a?(1,a),b?(1,b)，?可??以理解为两个向量的模的差a?b，那么a?b表示向量???c?(0,a?b)的模，其中

a?b?(1,a)?(1,b)?(0,a?b) 。 ????

因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 ??a和b 不可能同向，不取等号。

????

二利用a?b?ab证明不等式

2222例2 、已知实数mnxy满足m?n?a,x?y?b

（a?b），求mx?ny得最大值

???解析：构造向量a?(m,n),b?(x,y)，

则a?? ??a?b?mx?ny????，因为a?b?ab，所以mx?ny

?

?my

?nx取最大值。 ?例3、已知a?b?

1,解析：构造向

量???a?b?1m?，n??

12?2 ???n?(1,1),m?，。 ???

。m?n?????因为m?n???

m?n

所以，

??????n??n?2。

用向量法证明

步骤1

记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c ∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb