第10讲_镜像原理I

第十讲内容
导体平面镜像原理 导体球面镜像原理 导体柱面镜像原理
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
10.1 导体平面镜像原理
设一点电荷放置在无限大接地导体平面的右半空间 中，导体平面位于 x = 0 处，点电荷位于 x = x0 处。 如图10-1(a)所示。
图10-5 α= 450 导体拐角的镜像原理
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
平行导体平面镜像原理
图10-6 平行导体平面镜像原理 （a）原问题 （b）镜像问题
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
v s ⎧∇ 2 Φ Ι = − qδ ( r − ra ) / ε 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪∇ Φ Π = 0 ⎩
r > r0 r < r0
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
如此继续下去，直至无穷。 这一系列镜像电荷及原电荷保证了x = 0平面的切向电场 为零，但对 x = h平面只是镜像电荷在其上产生的切向电 场为零。若加上原电荷， x = h平面的边界条件将不能满 足。 为此，在x = 2h-x0 处放置原电荷关于x = h平面的镜像电 荷q20= -q。再在x = -(2h-x0 )处放置镜像电荷q20关于x = 0 平面的镜像q21= -q20= q，又在 x = 4h-x0 处放置 q21关于 x = h平面的镜像。如此继续下去，于是便得到如图10-6(b) 所示的多重镜像电荷分布。
r = r0
q( r0 − ra cos θ ) = 3 4π ( r02 + ra2 − 2ra r0 cos θ ) 2 q′( r0 − rb cos θ ) − 3 4π ( r02 + rb2 − 2r0 ra cos θ ) 2
(11 − 12)
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
电流、磁流分别是由电荷、磁荷的流动形成的，所以 利用点电荷和点磁荷的导体平面镜像原理，可以导出 导体平面对电流和磁流的镜像原理，如图10-2所示
高等电磁场
第十讲
镜像原理 I
褚庆昕
华南理工大学电子与信息学院 天线与射频技术研究所 Email:qxchu@scut.edu.cn
Research Institute of Antennas & RF Techniques School of Electronic and Information Engineering South China University of Technology
即
q 2 ( r02 + rb2 ) − 2q 2 r0 rb cos θ = q′ 2 ( r02 + ra2 ) − 2q′ 2 r0 ra cos θ
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
图10-4 平面图11-4导体直角镜像原理 （a）原问题 （b）镜像问题
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
事实上，只要导体拐角满足α=1800/n，n为整数，就 可以应用镜像原理，其镜像数目为2n-1个，分布在半 径为r0的圆上，r0为点电荷到拐角点的距离。镜像的角 度为2mα±θ，m=1,2,…。电荷量为±q，θ 为点电荷与 拐角一平面的夹角。 如果α≠1800/n ，则无法应用镜像原理。 图10-5显示了n = 4，α= 450 的导体拐角的镜像。
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
依照同样的原理，我们还可以得到的矩形波导中电 流源的镜像原理，如图10-7所示。
图10-7 矩形波导中电流源的镜像原理
Φ= q 4πε a r + r − 2rra cos θ
2 2 a
−
q′ 4πε 0 r + r − 2rrb cos θ
2 2 b
(11 − 3)
根据球面上边界条件 r = r0，Φ = 0 ，得
q2 q′ 2 = 2 2 2 r0 + ra − 2r0 ra cos θ r0 + rb2 − 2r0 rb cos θ
(11 − 10)
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
利用(11-11)可以求出接地导体球面上的总感应电荷。 在导体面上感应电荷面密度ρs满足
∂Φ Ι ρ s = −ε 0 ∂r
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
设一点电荷q0 放在两块平行的无限大导体板中，如图106(a)所示。在应用镜像原理时，先将两块导体板去掉，然 后在 x < 0 区域和 x > h 区域内放置镜像电荷,使 x = 0 和 x = h 平面上仍保持切向电场为零。 首先，在 x = - x0 处放置原电荷关于x = 0平面的镜像电荷 q10= -q，使x = 0平面保持切向电场为零。再在x = 2h+x0 处放置镜像电荷q10关于x = h 平面的镜像q11=q，以使x=h 平面保持导体边界条件。又在x = -(2h+x0)处放置q11的镜 象q12= -q11= -q，以保证x = 0平面的导体边界条件。
r02 情况1：如果 rb = r < r0 ，则 q′ = a
rb r0 q= q ra ra
(11 − 9)
这正是关于区域I等效的镜像问题。 情况2：如果 ra = rb > r0 ，则 q′ = q 这正是关于区域II等效的镜像问题。 于是
⎧ q ⎪ ΦΙ = ⎪ 4πε 0 ⎨ ⎪ ⎪ΦΠ = 0 ⎩ ⎡ r0 1 ⎢ − 2 2 ⎢ r + ra − 2ra r cos θ ra r 2 + rb2 − 2rb r cos θ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ (11 − 1) ⎦
百度文库
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
10.2 导体球面镜像原理
如图10-8所示，考虑一点电荷q位于接地导体球面外 x = ra 处，球面半径为r0。这时利用电力线（图解 法）已无法直接判别镜像电荷的位置与大小。须采 用解析的方法。 将问题的区域分为区域Ι（导体球内）和区域Π（导 体球外）。 对于静电荷，电位满足的 Possion 和 Laplace 方程。 （静电场镜像原理）
图10-2导体平面对电流和磁流的镜像原理
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
注意：在应用镜像原理时，不仅要考虑源的镜像，有 其他物体存在时还要考虑其他物体的镜像，使镜像问 题维持对称，如图10-3所示。 上述镜像原理可以推广到多导体平面的镜像问题。
图10-1 导体平面对点电荷的镜像原理 (a)原问题 (b)镜像问题
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
图10-1(a)中区域1的边界条件是在 x = 0导体平面上切 向电场为零，图中的电力线也清楚地表明了这一点。 如果在区域2中x = - x0 处放一点电荷-q，并去掉导体平 面，如图10-1(b)所示，则由电力线分布可以看出，这 两个点电荷产生的电场在 x = 0平面上仍保持切向电场 为零，并且也没有改变区域1中的电荷分布。 由唯一性定理可知，区域1中电场保持不变，即就区域 1而言，图10-1(a)与10-1(b)的两个问题是等效的。
r = r0
(11 − 1)
(11 − 2)
边界条件
Φ Ι＝Φ Π＝ 0
图10-8导体球面外点电荷
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
去掉导体球面后，为保持球面导体边界条件不变，设在 x = rb 处有一镜像电荷 − q′ 。电位的试探解为
(11 − 4)
第十讲 镜像原理 I
由于(11-4)对于任意 θ 都成立，所以有
⎧q 2 ( r02 + rb2 ) = q′ 2 ( r02 + ra2 ) ⎪ ⎨ 2 2 ⎪q rb = q′ ra ⎩ (11 − 5)
于是 即
ra ( r02 + rb2 ) = rb ( r02 + ra2 )
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
注意：就区域2而言，两个问题是不等效的，因为图 10-1(b)区域1中多了一个点电荷-q。类比可知，对于 点电荷，导体平面就如同一面镜子，故将这一原理称 为镜像原理。在x = - x0处的点电荷-q，称为镜像电 荷。 依照同一原理，可以导出导体平面对点磁荷qm 的镜 像原理。所不同的是磁荷产生的磁场在导电平面上法 向分量为零，所以镜像磁荷应与原磁荷值相同。
第十讲 镜像原理 I
所以总感应面电荷为
Q = ∫ ρ s ds = ∫ ρ s 2π r0 sinθ r0dθ
0 s
π
q π q′ π = ∫ 3 − 2 0 2 ⎡ 2 ∫0 ⎤ ra 2 ra ⎢1 + ( ) − 2 cosθ ⎥ rb rb ⎣ ⎦
图10-3有其他物体存在时的镜像原理
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第十讲 镜像原理 I
导体拐角的镜像原理
如图10 - 4 (a) 在无限大导体直角内放置一点电荷。当去掉导 体拐角后，为了保证导体平面上的切向电场为零，必须分别 在二、三、四象限内放置镜像电荷，如图10-4(b)所示。 平面上面的两个点电荷与下面的两个点电荷保证了的切向电 场为零。平面左边的两个点电荷与右边的两个点电荷保证了 平面切向电场为零，所以整个导体拐角上切向电场为零。
( ra − rb )( r02 − r0 rb ) = 0
rb = ra
(11 − 6) (11 − 7) (11 − 8)
第十讲 镜像原理 I
有两组解
r02 或 rb = r a
,即
r02 = ra rb
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology