高校自主招生数学讲义 初等数论

第一讲.方程与多项式

知识要求

1.因式分解方法

2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法

例题分析

1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）

2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题

（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.n

n n x

y -+≥ （2009年清华大学）

（2）已知a 、b 为非负实数，4

4

M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.

（2006年清华大学）

3.设实数9k ≥，解方程322

29270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题

（1）.已知方程3

2

10x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥

（2008年南开大学）

（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程3

2

0x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.

（2013年清华大学夏令营）

4.已知方程3

2

0x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题

（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x + （2009年北京大学）

（2是一个无理数. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足

123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.

a a a

b b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪

++=++⎨⎪≤⎩

求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3

()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；

（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则2

2x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22t

t -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.

（2013年清华大学金秋营）

7.给出一个整系数多项式1

110()n n n n f x a x a x a x a --=++

++，使()0f x =

有一个根为

（2009年清华大学）

相关习题

（1）.

已知x =42

()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的

值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.

和1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）

A.2

B.3

C.5

D.6 （2013年北约）

第二讲．数学逻辑

知识要求

1.反证法

2.数形结合方法

3.不动点问题

例题分析

1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.

（2011年北约十三校联考）

相关习题

（1）.是否存在π

02

x <<

，使得sin x ，cos x ，tan x cot x 的某种排列为等差数列？ （2010年北约）

（2）是否存在两两不同的实数,,a b c 使平面直角坐标系中的三条直线y ax b =+，

y bx c =+，y cx a =+共点. （2013年北京大学保送生）

2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.

（2009年北京大学）

相关习题

（1）. 已知12310,,,

,a a a a 为大于零的正实数，且1231030a a a a ++++=，

1231021a a a a <.求证：12310,,,,a a a a 这10个数是必有一个数在(0,1)之间.

（2012年北京大学保送生）

（2）已知正数数列12,,,n a a a .对于大于的整数n ，有123

2

n a a a n ++

+=，

121

2

n n a a a +=

，试证：12,,,n a a a 中至少有一个小于1. （2000年上海交通大学）

（3）已知i a （1,2,

,2013i =）为2013个实数，满足：

1220130a a a ++

+=，且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-=

=-，

求证：1220130.a a a ==

== （2013年北约）

3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.

（2013年北约）

相关习题

（1）在1、2、3、…、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的

这组数中最多有多少个数？ （2012年北约） （2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学） 4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.

（2009年清华大学特色测试）

5. 设p ，q 为实数，函数2

()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实数根， 求证：p ，0.q ≥ （2011年北京大学保送生试题） 相关习题

（1）. 已知函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营） （2）.证明：若(())f f x 有唯一的不动点，则()f x 也有唯一的不动点.

（2009年上海交通大学）

6.已知方程()f x x =的根是函数()f x 的不动点，令().bx c

f x x a

+=+ （1）若

1

2

，3为函数()f x 的不动点，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，若1

(1)3

f =，求()f x 的解析式. （2003年同济大学）

相关习题

（1） .已知a 、b 、

c 、

d 为非负实数，()ax b

f x cx d

+=+()x ∈R ，

且(19)19f =，(97)97f =，

若d

x c

≠-

，对任意的x 均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数. （2013年清华大学夏令营）

7.求证：一个数列12321,,,

,n a a a a +中各数相等的充分必要条件是p ：其中任意2n 个元素

中n 个元素之和等于另外n 个元素之和. （2009年清华大学）

第三讲．集合与函数