第2讲 等差数列及其前n项和

第2讲 等差数列及其前n 项和

一、选择题

1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9等于( )．

A ．66

B ．99

C ．144

D ．297

解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27， ∴3a 4＝39,3a 6＝27， ∴a 4＝13，a 6＝9.

∴a 6－a 4＝2d ＝9－13＝－4， ∴d ＝－2，

∴a 5＝a 4＋d ＝13－2＝11， ∴S 9＝9a 1＋a 92

＝9a 5＝99.

答案 B

2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于

( )． A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

解析 由a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝－11＋a 9＝－6，得a 9＝5，从而d ＝2，所以S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，因此当S n 取得最小值时，n ＝6. 答案 A

3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1

B ．1

C ．3

D ．7

解析 两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B

4．在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为

( )． A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

解析 依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C.

答案 C

5．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积

为( )． A ．12 3

B ．15 3

C ．12

D ．15

解析 不妨设角A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos 120°＝

b 2＋b －42－b ＋4

2

2b b －4＝－12，解得b ＝10，所以S ＝1

2

bc sin 120°＝15 3.

答案 B

6.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( )

A.7

B.15

C.20

D.25 解析

15242451,5551522a a a a

a a S ++==⇒=

⨯=⨯=.

答案 B 二、填空题

7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.

解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，

S k ＝k ＋

k k －1

2

×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.

答案 3

8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3

9＝1，则公差为________．

解析 依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d

12－3a 1＋3d

9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 6

9．两个等差数列的前n 项和之比为5n ＋10

2n －1

，则它们的第7项之比为________．

解析 设两个数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则S n T n ＝5n ＋102n －1，而a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝S 13

T 13＝

5×13＋102×13－1＝3

1.

答案 3∶1

10．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是

________，项数是________．

解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，

S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)

2＝(n ＋1)a n ＋1，

S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )

2＝na n ＋1，

∴

S 奇S 偶

＝n ＋1n ＝44

33，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案 11 7 三、解答题

11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2，(n ∈N *)．

(1)求a 1和a n ；

(2)记b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)∵S n ＝10n －n 2，∴a 1＝S 1＝10－1＝9. ∵S n ＝10n －n 2，当n ≥2，n ∈N *时，

S n －1＝10(n －1)－(n －1)2＝10n －n 2＋2n －11， ∴a n ＝S n －S n －1＝(10n －n 2)－(10n －n 2＋2n －11) ＝－2n ＋11.

又n ＝1时，a 1＝9＝－2×1＋11，符合上式． 则数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)． (2)∵a n ＝－2n ＋11，∴b n ＝|a n |＝⎩⎨

⎧

－2n ＋11n ≤5，

2n －11n >5，

设数列{b n }的前n 项和为T n ，

n ≤5时，T n ＝

n 9－2n ＋11

2

＝10n －n 2；

n >5时T n ＝T 5＋n －5

b 6＋b n

2

＝25＋

n －5

1＋2n －112

＝25＋(n －5)2＝n 2－

10n ＋50，

∴数列{b n }的前n 项和T n ＝⎩⎨⎧

10n －n 2n ≤5，n ∈N *

，

n 2

－10n ＋50n >5，n ∈N *

.