广东专插本(高等数学)模拟试卷43(题后含答案及解析)
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广东专插本(高等数学)模拟试卷43(题后含答案及解析)
题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题
选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.下列四组函数字f(χ)与g(χ)表示同一函数的是( )
A.f(χ)=tanχ,g(χ)=
B.f(χ)=lnχ3,g(χ)=3lnχ
C.f(χ)=,g(χ)=χ
D.f(χ)=ln(χ2-1),g(χ)=ln(χ-1)+ln(χ+1)
正确答案:B
解析:A、D选项中,两函数的定义域不同;C选项中,当χ>0时,f(χ)≠g(χ);B选项中,f(χ)=lnχ3=3lnχ=g(χ),定义域均为χ>0,故本题选B.
2.当χ→0时,χ3+sinχ是χ的( )
A.高阶无穷小
B.等价无穷小
C.同阶但不等价无穷
D.低阶无旁小
正确答案:B
解析:=1,故χ3+sinχ是χ的等价无穷小.
3.设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则曲线y=f(χ)在(a,b)内平行于χ轴的切线( )
A.仅有一条
B.至少有一条
C.有两条
D.不存在
正确答案:B
解析:f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则f(χ)满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点ξ∈(a,b),使f′(ξ)=0,则f(χ)在(a,b)内至少有一条平行于χ轴的切线,故选
B.
4.定积分dχ=( )
A.0
B.2
C.
D.π
正确答案:C
解析:考察定积分在对称区间上积分的性质.
5.级数(c≠0,b≠0)收敛的条件是( )
A.a<b
B.|a|>|b|
C.|a|<|c|
D.|a|<|b|
正确答案:D
解析:根据等比级数的敛散性可知,当且仅当<1时,级数
收敛,即|a|<|b|,故选
D.
填空题
6.已知χ→0时,无穷小1-cosχ与asin2χ等价,则a=_______.
正确答案:
解析:当χ→0时,(1-cosχ)~χ2,asin2χ~aχ2,由1-cosχ与asin2
χ等价知=1,于是a=.7.函数y=f(χ)由参数方程所确定,则_______.正确答案:
解析:
8.=_______.
正确答案:
解析:
9.设f(χ,y)=,则f(1,)=_______.
正确答案:
解析:
10.微分方程y?-4y′+13=0的通解为_______.
正确答案:y=e2χ(C1cos3χ+C2sin3χ)
解析:对应的特征方程为r2-4r+13=0,解得r=2±3i,故通解为y=e2χ(C1cos3χ+C2sin3χ),其中C1,C2为任意常数.
解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11.设f(χ)=作f(χ)的图形,并讨论当χ→3时,f(χ)的左右极限及(χ)的存在性.
正确答案:函数f(χ)的图形如图,从几何图形上可判断出:(1)=3;(2)(2χ+1)=7;由(1)、
(2)知,f(χ)不存在.
12.求极限
正确答案:
13.求曲线y=的凹凸区间与拐点.
正确答案:函数y=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),因为y′=,y?=.所以y?=0,得χ=e2.曲线的凸凹性列表讨论如下:
所以,由上述讨论可知,曲线的凸区间为(0,1)与(e2,+∞),凹区间为(1,e2);拐点为(e2,).
14.求不定积分∫ln(χ+)dχ.
正确答案:
15.过曲线y=χ2(χ≥0)上某点A作切线,若过点A作的切线,与曲线
y=χ2及χ轴围成的图形面积为,求该图形绕χ轴旋转一周所得旋转体体积V.
正确答案:如图,设A点坐标(χ0,χ02).由y′=2χ,得切线方程为y -χ02=2χ0(χ-χ0)或χ=,由已知得:
所以χ0=1,A(1,1),切线方程为2χ-y-1=0,切线与χ轴交点为(,0).于是
16.计算二重积dχdy,其中。是由直线χ=2,y=χ与双曲线χy
=1所围成的区域.
正确答案:先沿y方向积分,区域D可表示成:则
17.求微分方程y?+2y′+y=0满足初始条件y(0)=4和y′(0)=-2的特解.
正确答案:特征方程为r2+2r+1=0,特征根为r1=r2-1,因此所给方程的通解为y=(C1+C2χ)e-χ,求导,得y′=(C2-C1-C2χ)e-χ.将
初始条件代入上面两式,得解方程组,得C1=4,C2=2.于是所求特解为y=(4+2χ)e-χ.
18.判断级数的敛散性.
正确答案:因为un==un(n=1,2,…),
而等比级数是收敛的,由比较审敛法知级数也收敛.综合题
19.设χ=±1是f(χ)的两个极值点,且f(-1)=2,又知f′(χ)=3χ2+aχ+b,求函数f(χ).
正确答案:由f′(χ)=3χ2+aχ+b,积分得∫f′(χ)dχ=∫(3χ2+aχ+b)dχ=χ3+χ2+bχ+C=f(χ),χ=±1是f(χ)的极值点,f′
(1)=f′(-1)=0,即解得a=0,b=-3,故f(χ)=χ3-3χ+C,又有f(-1)=2,代入得C=0,所以f(χ)=χ3-3χ.
20.设F(χ)=S表示夹在χ轴与曲线y=F(χ)之间的
面积,对任何t>0,S1(t)表示矩形-t≤χ≤t,0≤y≤F(t)的面积,求:(1)S(t)=S-S1(t)的表达式;(2)S(t)的最小值.
正确答案:(1)画出F(χ)和S1(t)的图形(如
图).则S=2∫0+∞edχ=-e-2χ|0+∞=1,S1(t)=2te-2t,因此S(t)=S-S1(t)=1-2te-2t,t∈(0,
+∞).(2)今S′(t)=-2(1-2t)e-2t=0.得唯一驻点t=.又>0,所以为极小值,即最小值.