广东专插本(高等数学)模拟试卷43(题后含答案及解析)

广东专插本（高等数学）模拟试卷43(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．下列四组函数字f(χ)与g(χ)表示同一函数的是( )

A．f(χ)＝tanχ，g(χ)＝

B．f(χ)＝lnχ3，g(χ)＝3lnχ

C．f(χ)＝，g(χ)＝χ

D．f(χ)＝ln(χ2－1)，g(χ)＝ln(χ－1)＋ln(χ＋1)

正确答案：B

解析：A、D选项中，两函数的定义域不同；C选项中，当χ＞0时，f(χ)≠g(χ)；B选项中，f(χ)＝lnχ3＝3lnχ＝g(χ)，定义域均为χ＞0，故本题选B．

2．当χ→0时，χ3＋sinχ是χ的( )

A．高阶无穷小

B．等价无穷小

C．同阶但不等价无穷

D．低阶无旁小

正确答案：B

解析：＝1，故χ3＋sinχ是χ的等价无穷小．

3．设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则曲线y＝f(χ)在(a，b)内平行于χ轴的切线( )

A．仅有一条

B．至少有一条

C．有两条

D．不存在

正确答案：B

解析：f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则f(χ)满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0，则f(χ)在(a，b)内至少有一条平行于χ轴的切线，故选

B．

4．定积分dχ＝( )

A．0

B．2

C．

D．π

正确答案：C

解析：考察定积分在对称区间上积分的性质．

5．级数(c≠0，b≠0)收敛的条件是( )

A．a＜b

B．｜a｜＞｜b｜

C．｜a｜＜｜c｜

D．｜a｜＜｜b｜

正确答案：D

解析：根据等比级数的敛散性可知，当且仅当＜1时，级数

收敛，即｜a｜＜｜b｜，故选

D．

填空题

6．已知χ→0时，无穷小1－cosχ与asin2χ等价，则a＝_______．

正确答案：

解析：当χ→0时，(1－cosχ)～χ2，asin2χ～aχ2，由1－cosχ与asin2

χ等价知＝1，于是a＝．7．函数y＝f(χ)由参数方程所确定，则_______．正确答案：

解析：

8．＝_______．

正确答案：

解析：

9．设f(χ，y)＝，则f(1，)＝_______．

正确答案：

解析：

10．微分方程y?－4y′＋13＝0的通解为_______．

正确答案：y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)

解析：对应的特征方程为r2－4r＋13＝0，解得r＝2±3i，故通解为y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)，其中C1，C2为任意常数．

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11．设f(χ)＝作f(χ)的图形，并讨论当χ→3时，f(χ)的左右极限及(χ)的存在性．

正确答案：函数f(χ)的图形如图，从几何图形上可判断出：(1)＝3；(2)(2χ＋1)＝7；由(1)、

(2)知，f(χ)不存在．

12．求极限

正确答案：

13．求曲线y＝的凹凸区间与拐点．

正确答案：函数y＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，因为y′＝，y?＝．所以y?＝0，得χ＝e2．曲线的凸凹性列表讨论如下：

所以，由上述讨论可知，曲线的凸区间为(0，1)与(e2，＋∞)，凹区间为(1，e2)；拐点为(e2，)．

14．求不定积分∫ln(χ＋)dχ．

正确答案：

15．过曲线y＝χ2(χ≥0)上某点A作切线，若过点A作的切线，与曲线

y＝χ2及χ轴围成的图形面积为，求该图形绕χ轴旋转一周所得旋转体体积V．

正确答案：如图，设A点坐标(χ0，χ02)．由y′＝2χ，得切线方程为y －χ02＝2χ0(χ－χ0)或χ＝，由已知得：

所以χ0＝1，A(1，1)，切线方程为2χ－y－1＝0，切线与χ轴交点为(，0)．于是

16．计算二重积dχdy，其中。是由直线χ＝2，y＝χ与双曲线χy

＝1所围成的区域．

正确答案：先沿y方向积分，区域D可表示成：则

17．求微分方程y?＋2y′＋y＝0满足初始条件y(0)＝4和y′(0)＝－2的特解．

正确答案：特征方程为r2＋2r＋1＝0，特征根为r1＝r2－1，因此所给方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－χ，求导，得y′＝(C2－C1－C2χ)e-χ．将

初始条件代入上面两式，得解方程组，得C1＝4，C2＝2．于是所求特解为y＝(4＋2χ)e－χ．

18．判断级数的敛散性．

正确答案：因为un＝＝un(n＝1，2，…)，

而等比级数是收敛的，由比较审敛法知级数也收敛．综合题

19．设χ＝±1是f(χ)的两个极值点，且f(－1)＝2，又知f′(χ)＝3χ2＋aχ＋b，求函数f(χ)．

正确答案：由f′(χ)＝3χ2＋aχ＋b，积分得∫f′(χ)dχ＝∫(3χ2＋aχ＋b)dχ＝χ3＋χ2＋bχ＋C＝f(χ)，χ＝±1是f(χ)的极值点，f′

(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝0，b＝－3，故f(χ)＝χ3－3χ＋C，又有f(－1)＝2，代入得C＝0，所以f(χ)＝χ3－3χ．

20．设F(χ)＝S表示夹在χ轴与曲线y＝F(χ)之间的

面积，对任何t＞0，S1(t)表示矩形－t≤χ≤t，0≤y≤F(t)的面积，求：(1)S(t)＝S－S1(t)的表达式；(2)S(t)的最小值．

正确答案：(1)画出F(χ)和S1(t)的图形(如

图)．则S＝2∫0＋∞edχ＝－e-2χ｜0＋∞＝1，S1(t)＝2te-2t，因此S(t)＝S－S1(t)＝1－2te-2t，t∈(0，

＋∞)．(2)今S′(t)＝－2(1－2t)e-2t＝0．得唯一驻点t＝．又＞0，所以为极小值，即最小值．