广东专插本(高等数学)模拟试卷43(题后含答案及解析)
广东专插本(高等数学)-试卷44
广东专插本（高等数学）-试卷44(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知函数f(2χ－1)的定义域为[0，1]，则函数f(χ)的定义域为 ( )（分数：2.00）1]B.[－1，1] √C.[0，1]D.[－1，2]解析：解析：由f(2χ－1)的定义域为[0，1]，可知－1≤2χ－1≤1，所以f(χ)的定义域为[－1，1]，故选B．3.若函数f(χ)χ＝0处连续，则a＝ ( )．（分数：2.00）A.0B.1C.－1√解析：解析：由f(χ)在χ＝0处连续可知f(χ)＝f(0)，于是有a＝f(0)D．4.f(χ)＝(χ－χ0 ).φ(χ)，其中φ(χ)可导，则f′(χ0 )＝ ( )（分数：2.00）A.0B.φ(χ0 ) √C.φ′(χ0 )D.∞解析：解析：f′(χ)＝φ(χ)＋(χ－χ0 )φ′(χ)，则f′(χ0 )＝φ(χ0 )，故选B．5.已知d[e -χ f(χ)]＝e χ dχ，且f(0)＝0，则f(χ)＝ ( )（分数：2.00）A.e 2χ＋e χB.e 2χ－e χ√C.e 2χ＋e －χD.e 2χ－e －χ解析：解析：由d[e －χf(χ)]＝e χdχ可得[e -χf(χ)]′＝e χ，两边同时积分刮∫[e －χf(χ)]′dχ＝∫e χ dχ，即有e -χ f(χ)＝e χ＋C，两边同时乘以e χ，即得f(χ)＝e 2χ＋Ce χ，又f(0)＝1＋C＝0．即得C＝－1．于是f(χ)＝e 2χ－e χ．故诜B．6. ( )（分数：2.00）√解析：解析：根据级数的性质有收敛级数加括号后所成的级数仍收敛，故选D．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线y＝χarctanχ)的水平渐近线是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝－1）解析：解析：又y＝－1．8.设f(χ)在χ＝02，则f′(0)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）f′(0)＝4．1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）＝3．10.微分方程y〞－4y′－5y＝0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝C 1 e －χ C 2 e 5χ）解析：解析：微分方程的特征方程为λ2－4λ－5＝0，则λ1＝－1，λ2＝5，则微分方程通解为y ＝C 1 e －χ＋C 2 e 5χ (C 1，C 2为任意常数)．11.设函数f(χ)在点χ0处可导，且f′(χ0)≠0， 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。
广东专插本(高等数学)模拟试卷40(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷40(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设函数f(χ)=则= ( )A．1B．0C．2D．不存在正确答案：D2．设函数f(χ)在χ=1可导，则= ( )A．f?(1)B．2f?(1)C．3f?(1)D．-f?(1)正确答案：C3．设函数y=2cosχ，则y?= ( )A．2cosχln2B．-2cosχsin2C．-ln2.2cosχ.sinχD．-2cosχsinχ正确答案：C4．设2f(χ)cosχ=[f(χ)]2，f(0)=1，则f(χ)= ( ) A．cosχB．2-cosχC．1+sinχD．1-sinχ正确答案：C5．设函数z=eχy，则dz= ( )A．eχydχB．(χdy+ydχ)eχyC．χdy+ydχD．(χ+y)eχy正确答案：B填空题6．=_____。
正确答案：7．曲线处的切线方程为_____。
正确答案：8．函数y=f(χ)由参数方程，所确定，则_____。
正确答案：9．已知，则a=_______，b_______。
正确答案：-1，210．微分方程y?-2y?+y=0的通解为______。
正确答案：y=C1e2+C2χeχ(C1，C2为任意常数)解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．求极限。
正确答案：12．设是连续函数，求a，b的值。
正确答案：由于当χ＜0，χ＞0时，f(χ)为初等函数，则连续，现只需使f(χ)在χ=0连续即可，由连续定义，得即b=1，a为任意实数。
13．已知函数z=χ2eχy，求。
正确答案：14．求微分方程y?+2y?+y=0满足初始条件y(0)=0，y?(0)=1的特解。
正确答案：微分方程的特征方程为r2+2r+1=0，得特征根为r=-1，且为二重根，故方程通解为y=(C1+C2χ)e-χ，又由初始条件y(0)=0，y?(0)=1，得C1=0，C2=1，故原微分方程的特解为y=χe-χ。
2020年广东专插本全真模拟大联考-高等数学【试卷】
B． lim x2 +1 x→0 x
D． lim x sin 1
x→0
x
A． (1,1)
B． (1, −3)
C． (0, 0)
D． (2,8)
∫ 3. 已知 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f (e−x )e−xdx =
A． F (ex ) + C
B． F (e−x ) + C
C． −F (ex ) + C
6.
已知
lim
x→∞
x+a x − 2a
x
=
8 ，则 a
=
.
7. 曲线 y = xe−x 的拐点是
.
x3
∫ 8. 设 f (x) 连续，且 f (t)dt = x ，则 f (27) = 0
.
1
9. 已知 y = e2x 是微分方程 y′′ + ay′ + 2 y = 0 的一个解，则 a =
0
y
2
1− y2
∫ ∫ C． 2 dy
f (x, y)dx
0
0
∞
n
∑ ∑ 5. 若级数 un 收敛，记 Sn = ui ，则
n=1
i =1
A．
lim
n→∞
Sn
存在
C．
lim
n→∞
Sn
可能不存在
2
1− x2
∫ ∫ D． 2 dx
f (x, y)dy
0
x
B．
lim
n→∞
Sn
=
0
D．{Sn} 题，每小题 3 分，共 15 分）
广东省 2020 年普通高等学校本科插班生招生考试
广东专插本(高等数学)模拟试卷54(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷54(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设函f(χ)＝( ) A．－1B．0C．1D．不存在正确答案：D解析：极限不存在，本题应选D．2．设函数f(χ)＝lnsinχ，则df(χ)＝( )A．B．－cotχdχC．cotχdχD．tanχdχ正确答案：C解析：d(lnsinχ)＝cosχdχ＝cotχdχ，故应选C．3．f′(χ2)＝(χ＞0)，则f(χ)＝( )A．2χ＋CB．2＋CC．χ2＋CD．＋C正确答案：B解析：令t＝χ2则χ＝，f′(χ)＝(χ＞0)，f(χ)＝∫f′(χ)dχ＝＋C，故应选B．4．如果使函数f(χ)＝在点χ＝0处连续，应将其在点χ＝0处的函数值补充定义为( )A．0B．2C．－1D．1正确答案：D解析：若f(χ)在χ＝0处连续需补充定义f(0)＝1，故本题选D．5．设pn＝，qn＝，n＝1，2，…，则下列命题中正确的是( )A．若an条件收敛，则Pn与qn都收敛B．若an绝对收敛，则Pn与qn都收敛C．若an条件收敛，则Pn与qn的敛散性都不定D．若an绝对收敛，则Pn与qn的敛散性都不定正确答案：B解析：an绝对收敛都收敛，an条件收敛都发散，一个收敛，一个发散an发散，故本题选B．填空题6．设＝6，则a＝_______．正确答案：－1解析：＝6，则(1＋0)(1＋2.0)(1＋3.0)＋a＝0，a＝－1．7．已知曲线y＝χ2＋χ－2上点M处的切线平行于直线y－5χ－1，则点M的坐标为_______．正确答案：(2，4)解析：y′＝2χ＋1＝5，则χ＝2，故M点坐标为(2，4)．8．已知f(χ)＝χ2＋cosχ＋∫01f(χ)dχ，则f(χ)＝_______．正确答案：χ＋cosχ＋＋sin1解析：令f(χ)＝χ2＋cosχ＋C，则f(χ)＝χ2＋cosχ＋(χ2＋cosχ＋C)dχ，f(χ)＝即C＝，C＝＋sin1，故f(χ)＝χ＋cosχ＋＋sin1．9．微分方程y?－y′＝0的通解为_______．正确答案：y＝C1＋C2eχ解析：微分方程的特征方程为λ2－λ＝0，则特征根为λ1＝0，λ2＝1，故微分方程的通解为y＝C1＋C2eχ(C1，C2为任意常数)．10．若函数f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：6解析：即＝3，故a＝6．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2020年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题本试卷共2⻚，20⻚题，满分100分。
考试时间120一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个符合题目要求)1.设lim x→0[cos x −f(x)]=1, 则下列等式正确的是（ ）A.lim x→0f(x)=1 B.lim x→0f(x)cos x =1C.lim x→0f(x)=−1 D.lim x→0[f(x)+cos x ]=12.函数f(x)=2x 3−3x 2的极小值点为（ ） A.x =−1 B.x =0 C.x =1 D.x =23.已知3x 是函数f(x)的一个原函数，则f(x)=（ ） A.3x B.3x ln 3 C.x3xD.3x ln 34.设平⻚区域D ={(x,y )|x 2+y 2≤1，y ≥0},则∬(x 2+y 2)4dσD（ ） A.π10 B.π9 C.π5 D.2π95.设级数∑a n ∞n=1 满⻚0≤a n ≤15n ，则下列级数发散的是（ ）A.∑3a n ∞n=1B. ∑a n ∞n=1+3C.∑(a n ∞n=1+√n23) D.∑(a n ∞n=1−√n3) 二、填空题。
6.若函数f(x)={(1+a )x 2， x ≤1a (x −2)3+3, x >1 在x=1处连续，则常数a= . 7.曲线x 22+y 2=3在点（2，−1）处的切线方程为y= . 8.微分方程 y n +3y ’−4y =0的通解为y= .9.设二元函数f (x,y )在点(0,0)的某个邻域内有定义,且当x ≠0时，f(x,0)−f(0,0)x=3x +2，则f ’x (0,0)= 。
10.设函数f(x)在(−∞，+∞)内可导，且满足f(x)=f ‘(x)，f(0)=m ,如果∫f(x)e xdx =81−1,则m=____________。
三、计算题。
11.求极限limx→0∫tarctantdtx0x 312.已知y 是x的函数，且y ′=ln √x +√ln x +2ln 2，求d 2y dx 2|x =e13.求不定积分∫(cos x −x sin x 2)dx14.设函数f(x)={x 31+x 2, x ≤1x, x >1，求定积分∫f(x +2)dx 0−315.求二元函数z =3xy 2+x 2y的全微分dz ，并求ð2zðxðy16.计算∬ydσD ，其中D 是由直线y =x,y =−2与y =0,y =2x 围成的有界闭区域。
广东省2017年普通高等学校本科插班生招生考试试题与详细解答
题号
一
二
三
四
总分
题分
15
15
48
22
得分
总分合计人（签名） 复查总分
总分复核人（签名） 复核人（签名）
得分 评卷人 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15
分.每小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求的）
n
选项 C
lim
x1
x 1 x2 1
lim
x1
x
x 1
1x 1
lim
x1
x
1 1
1 2
选项 D 为第二重要极限的应用
lim1
n
1 n
e
n0
故选 C.
2.
已知函数参数方程为 x t arctan t ， y ln 1 t 2
，则 dy dx
8
5. 已知 1 dx 1x2 f x, y dy ，转换成极坐标的形式（ ）
1
0
A.
2
d
1 f r cos , r sin dr
0
0
B.
0
d
1 0
f
r
cos
,
r
sin
rdr
C.
2
d
1 f r cos , r sin rdr
1. 下列哪个式子是不正确的（ ）
A. lim en 0 n
1
B. lim e n 1 n
C.
lim
x1
x 1 x2 1
广东专插本(高等数学)模拟试卷42(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷42(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设f(χ)为奇函数，则F(χ)＝f(χ)(2χ＋2－χ)为( )A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．无法判定奇偶性正确答案：B解析：F(－χ)＝f(－χ)(2－χ＋2χ)＝－f(χ)(2χ＋2－χ)＝－F(χ)，奇函数，故选B．2．函数y＝｜sinχ｜在χ＝0处的导数为( )A．－1B．0C．1D．不存在正确答案：D解析：显然左右导数不相等，故χ＝0处的导数不存在．3．设f(χ)＝e－χ，则＝( )A．e－χ＋CB．＋CC．－e－χ＋CD．－＋C正确答案：B解析：f′(χ)＝－e－χ，故选B．4．下列函数在给定区间内满足拉格朗日中值定理条件的是( )A．y＝｜χ｜，[－1，1]B．y＝，[1，2]C．y＝，[－1，1]D．y＝，[－2，2]正确答案：B解析：A项，y在χ＝0处不可导；C项，y在χ＝0处不可导；D项，y在χ＝±1处不连续，故选B．5．若级数均发散，则必有( )A．(an＋bn)发散B．(｜an｜＋｜bn｜)发散C．(an2＋bn2)发散D．anbn发散正确答案：B解析：假设级数(｜an｜＋｜bn｜)收敛，又有｜an｜≤｜an｜＋｜bn｜，｜bn｜≤｜an｜＋｜bn｜，故可得级数｜an｜与｜bn｜收敛，与题设矛盾，故假设不成立，即(｜an｜＋｜bn｜)发散．填空题6．设f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：一1解析：连续的充要条件为f(χ)＝f(0)，则＝1＋2a＝a，故a＝－1．7．设f(χ)＝e2χ，则f(2016)(0)＝_______．正确答案：22016解析：f′(χ)＝e2χ.2＝2e2χ，f?(χ)＝2e2χ.2＝22e2χ，…，f(n)(χ)＝2ne2χ，f(2016)(0)＝22016e2．0＝22016．8．曲线y＝的水平渐近线是_______．正确答案：y＝0解析：＝0，故水平渐近线为y ＝0．9．已知当χ→0时，1－cos2χ与∫0sinχln(1＋at)dt为等价无穷小，则a ＝_______．正确答案：4解析：故a＝4．10．已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特征根分别为r1＝1，r2＝2，则该方程为_______．正确答案：y?－3y′＋2y＝0解析：根据题意可知特征方程为(r－1)(r－2)一0，即r2－3r＋2＝0，故所求方程为y?－3y′＋2y＝0．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试真题、详细答案及考点详解
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学真题、详细答案及考点详解一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.设()[]1cos lim 0=-→x f x x ，则下列等式正确的是间断点是（）A.()1lim 0=→x f x B.()1cos lim 0=→x x f x C.()1lim 0-=→x f x D.()[]1cos lim 0=+→x x f x 解答：根据初等函数的连续性，可得()[]()()()0lim 1lim 0cos lim cos lim cos lim 0=⇒=-=-=-→→→→→x f x f x f x x f x x x x x x 因此()()1cos lim ,0cos lim 0=+=→→x x f x x f x x 故选D.本题考试内容：初等函数的连续性；考试要求：会利用函数的连续性求极限.2.函数()2332x x x f -=的极小值是（）A.1-=xB.0=xC.1=x D.2=x 解答：对函数进行一阶导数求导，可得()()16662-=-='x x x x x f 令()()⇒=-=-='016662x x x x x f 10==x x 或而()612-=''x x f 因此()060<-=''f ，即x =0为极大值点()066121>=-=''f ，即x =1为极小值点从而极小值为()1321-=-=f ，故选A.本题考试内容：函数极值与极值点；考试要求：理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最值的方法，并会应用函数极值的方法求解应用题.3.已知x 3是函数()x f 的一个原函数，则()=x f （）A.x 3B.3ln 3xC.13-x x D.3ln 3x 解答：根据原函数的定义，可知()()()3ln 33x x x f x f =⇒='故选B.本题考试内容：原函数与不定积分的定义；考试要求：理解原函数与不定积分的概念及其关系.4.设平面区域(){}0,1|,22≥≤+=y y x y x D ，则()=+⎰⎰σd y x D422（）A.10π B.9πC.5πD.92π解答：使用极坐标计算二重积分，由于平面区域如下图所示令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，其中⎩⎨⎧≤≤≤≤πθ010r ，因此()()10sin cos 1904222210422ππθθθσπ==⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰dr r d r r r dr d y xD故选A.本题考试内容：极坐标系下二重积分的计算；考试要求：掌握直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算.5.设级数∑∞=1n n a 满足nn a 510≤≤，则下列级数发散的是（）A.∑∞=13n naB.∑∞=+13n n aC.∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a D.∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-131n n n a 解答：根据正项级数的比较审敛法，由于n n a 510≤≤，由于∑∞=151n n 收敛，因此∑∞=1n na 收敛，再根据级数的性质，可以对下列选项进行判断A 选项：∑∑∞=∞==1133n n n n a a ，因此根据级数的性质可知，∑∞=13n n a 收敛；B 选项：321113a a a a a n n n n ---=∑∑∞=∞=+，因此，级数增加（减去）有限项，不改变敛散性，因此∑∞=+13n n a 收敛；C 选项：∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+13211321132111n n n n n n n n n a n a n a ，其中∑∞=1321n n 为p -级数（132<=p ），故∑∞=1321n n 发散，而∑∞=1n n a 收敛，因此根据级数收敛的性质可知∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a 发散；D 选项：∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+123113113111n n n n n n n n n a n a n a ，其中∑∞=1231n n 为p -级数（123>=p ），故∑∞=1231n n 收敛，而∑∞=1n n a 收敛，因此根据级数收敛的性质可知∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a 收敛，故选D.本题考试内容：收敛级数的基本性质；考试要求：掌握几何级数（等比级数）、调和级数、p -级数的敛散性；理解收敛级数的基本性质.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=1,321,132x x a x x a x f 在1=x 处连续，则常数=a .解答：根据函数极限的充分必要条件可知，()()()Ax f x f A x f x x x ==⇔=+→-→→111lim lim lim 而()()a x a x f x x +=+=-→-→11lim lim 211，()()332lim lim 311+-=+-=+→+→a x a x f x x 因此()().131lim lim 11=⇒+-=+⇒=+→-→a a a x f x f x x 本题考试内容：函数在一点连续的充分必要条件；考试要求：掌握判断函数（分段函数）在一点处连续的方法.7.曲线3222=+y x 在()1,2-点处的切线方程为=y .解答：隐函数求导，因此()122|20212=--='⇒-='⇒='⋅+-，y y x y y y x 从而切线方法为()().3211-=⇒-⋅=--x y x y 本题考试内容：求导方法：函数的四则运算求导方法、隐函数的求导法；考试要求：熟练掌握隐函数的求导方法.8.微分方程043=-'+''y y y 的通解为=y .解答：特征方程为()()0140432=-+⇒=-+r r r r 故1,421=-=r r 故通解为.241x x e C e C y +=-本题考试内容：二阶常系数线性齐次微分方程；考试要求：会求二阶常系数线性齐次微分方程的通解和特解.9.设二元函数()y x f ,在点()0,0的某个领域有定义，且当0≠x 时，()()230,00,+=-x xf x f ，则()='0,0x f .解答：根据偏导数的定义，()()()230,00,0,+=-='x x f x f x f x 因此().20,0='x f 本题考试内容：多元函数的定义；考试要求：理解一阶偏导数和全微分的概念.10.设函数()x f 在()+∞∞-,内可导且满足()()x f x f '=，()m f =0，如果()811=⎰-dx e x f x ，则=m .解答：使用分离变量法，可得：()()()()()()()()⎰⎰=⇒=⇒=⇒'=dx x df x f dx x f x df x f dx x df x f x f 1因此()()Cx e x f C x x f +=⇒+=ln 由于()m f =0，因此()m C m e f C ln 0=⇒==从而()xmx me ex f ==+ln ，将此式子代入()811=⎰-dx e x f x，可得().482888111111=⇒=⇒=⇒=⇒=⎰⎰⎰---m m dx m dx e me dx e x f x xx本题考试内容：可分离变量的微分方程；考试要求：会求可分离变量的微分方程.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.求极限xdt t t xx ⎰→0arctan lim.解：使用洛必达法则00arctan 01arctan limarctan lim=⋅==→→⎰xx xdt t t x xx 本题考试内容：洛必达法则和变上限的定积分；考试要求：熟练掌握应用洛必达法则求未定式极限的方法以及掌握变上限定积分求导数的方法.12.已知y 是x 的函数，且2ln 2ln ln ++='x x y ，求.|22e x dxyd =解：使用复合函数求导法，可得x x x xx x x y ln 212101ln 21211+=+⋅+⋅=''则.1ln 2121|22ee e e dx y d e x =+==本题考试内容：求导方法——复合函数的求导法；考试要求：熟练掌握复合函数求导方法.13.求不定积分().sin 2cos 2⎰-dx x x x 解：根据不定积分的性质，可得()dxx x dx x dx x x x ⎰⎰⎰-=-22sin 2cos sin 2cos 其中12sin 2122cos 212cos C x x xd xdx +==⎰⎰22222cos 21sin 21sin C x dx x dx x x +-==⎰⎰因此()C x x dx x x x +-=-⎰22cos 212sin 21sin 2cos （其中21C C C +=）.本题考试内容：基本积分公式、换元积分法——第一换元法（凑微分法）；考试要求：熟练掌握不定积分的基本积分公式、熟练掌握不定积分的第一换元法.14.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,1,123x x x x x x f ，求定积分().203dx x f ⎰-+解：令2+=x t ，从而2-=t x ，dt dx =，当3-=x 时，1-=t ；当0=x 时，2=t ，从而原式可变为()().23|210122122111232103=+=++==+⎰⎰⎰⎰---t dt t dt t t dt t f dx x f 本题考试内容：定积分的性质、定积分的计算——换元积分法；考试要求：掌握定积分的基本性质以及掌握定积分的换元法.15.求二元函数y x xy z 223+=的全微分dz ，并求.2yx z∂∂∂解：y x y x z 232+=∂∂，226yx xy y z -=∂∂，因此dyy x xy dx y x y dz ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222623.2662222yxy y x xy x y x z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂本题考试内容：全微分以及高阶偏导数；考试要求：掌握二元函数一阶偏导数与二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法.16.计算σd y D⎰⎰，其中D 是由直线x y =，2-=x y 与0=y ，2=y 围成的有界区域.解：x则有界区域可写为Y-型区域⎩⎨⎧+≤≤≤≤220y x y y 因此原二重积分可变为().4|2|202222220=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰++y ydy dy x y dx y dy d y y yy yDσ本题考试内容：直角坐标系下二重积分的计算；考试要求：掌握直角坐标系下二重积分的计算方法.17.求微分方程22sec yxdx dy =，满足初始条件1|0==x y 的特解.解：使用分离变量法，可得⎰⎰=⇒=⇒=xdx dy y xdx dy y yx dx dy 222222sec sec sec 因此C x y +=tan 313将1|0==x y 代入上式，可得310tan 131=⇒+=⨯C C 从而可得微分方程特解为.1tan 331tan 3133+=⇒+=x y x y 本题考试内容：可分离变量方程；考试要求：会求分离变量微分方程的通解和特解.18.判断级数∑∞=12!2n n n n 的收敛性.解：由于∑∞=12!2n n n n 为正项级数，()()()()()1021lim !2!121lim !2!121lim lim 22122121<=+=++=++=∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n a a n n n n n n n nn n 因此根据比值判别法可知：∑∞=12!2n n n n 收敛.本题考试内容：常数项级数审敛法；考试要求：掌握正项级数的比值审敛法.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.设有界平面图形G 由曲线ax e y =和直线0==x e y ，围成，其中a ＞0，若G 的面积等于1（1）求a 的值；（2）求G 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积V .解：（1）由题设可得平面图形G ，如下图所示因此aa a e a e e e a a e e a ex dx e e S a a a ax a ax1111|1011010=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⋅⎰又因为平面G 的面积为1，因此.111=⇒==a aS ye1/ax（2）要求G 绕y 轴旋转一周，因此根据公式可得()()().2|21|ln 2ln 21ln 2|ln ln 11111121212-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅===⎰⎰⎰⎰⎰e y e e dy y y y y e dy y e dy y y y y y dy y dy x V ee eee ee ey πππππππ本题考试内容：定积分的应用——平面图形的面积、旋转体的体积；考试要求：掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生的旋转体体积的方法.20.设函数()bxeax f +=1，其中b a ,为常数，且0≠ab （1）判别()x f 在区间()+∞∞-,内单调性；（2）求曲线()x f y =的拐点；（3）求曲线()x f y =的水平渐近线方程.解：（1）函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,，而()()211bxbx bx e abe e a x f +-='⎪⎭⎫⎝⎛+='因此，当0>ab 时，函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,单调递减；当0<ab 时，函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,单调递增.（2）由于()()()()()()()324222*********bx bx bx bx bx bx bx bx bx bx e e e ab e e e ab e e ab e abe x f +--=++++-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''令()()()01132=+--=''bx bxbx e e e ab x f ，且0≠ab ，可得0010=⇒=⇒=-x e e ebx bx显然()x f ''在x =0左右两端异号，因此把x =0代入原式，可得()2100ae af =+=因此，拐点为⎪⎭⎫⎝⎛2,0a .（3）当0>b 时，()01limlim =+=+∞→+∞→bx x x e a x f ，()a e ax f bx x x =+=-∞→-∞→1lim lim ；当0<b 时，()a e a x f bx x x =+=+∞→+∞→1lim lim ，()01lim lim =+=-∞→-∞→bx x x e ax f ，因此水平渐近线为0==y a y 和.本题考试内容：函数单调性的判定法、曲线的凹凸性、拐点以及函数曲线的水平渐近线：掌握利用导数判定函数单调性的方法，会判定曲线的凹凸性、会求曲线的拐点以及会求曲线的水平渐近线.。
广东省2022年专升本《高等数学》真题解析精选全文完整版
广东省2022年普通高等学校专升本招生考试高等数学本试卷共20小题，满分100分。
考试时间120分钟。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，每小题只有一项符合题目要求）1.若函数1,1(),1x x f x a x +≠⎧=⎨=⎩，1x =在处连续，则常数a =（ ）A.-1B.0C.1D.22.1lim(13)xx x →-=（）A.3e - B.13e-C.1D.3e 3.1lim 0n n x n u u ∞→==∑是级数收敛的（ ）A.充分条件B.必要条件1C.充要条件D.即非充也非公必要条件得分阅卷人4.2+1()()1f x f x dx x∞=⎰已知是函数的一个原函数，则（ ）A.2B.1C.-1D.-25.xf (x 2+y 2)dy 化为极坐标形成的二次积分，则 I =（）110I dx =⎰⎰将二次积分 A.2sec ()400d f p dp πθθ⎰⎰ B.2c ()40cs d pf p dp πθθ⎰⎰B.2sec 2()04d f p dp πθθπ⎰⎰ D.2csc 2()04d pf p dp πθθπ⎰⎰二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若0→x 时，无穷小量x 2与x x m 32+等价，则常数m =7.2225,log t x t t dy dx y t=⎧=-=⎨=⎩设则8.椭圆13422=+y x 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为9.微分方程2'=-y ex的通解是10.ln (,)(,)ye e Z xe e dz==函数在点处的全微分得分阅卷人三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）12.2212=tan ,x d yy arc x dx=设求13.设函数21sin ,00,0x x x x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩，利用导数定义(0)f '.14.求不定积分2.得分阅卷人15.已知tan ln cos xdx x C=-+⎰，求定积分24sec x xdx π⎰.16.2(,)2z z z Z f x y Z x y e y x y∂∂==--∂∂设是由方程所确定的隐函数，计算.17.cos ,sin (0)0,2Dxd D y x x y πσ=≤≤=⎰⎰计算二重积分其中是曲线和曲线2x π=围成的有界闭区域。
广东专插本(高等数学)模拟试卷47(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷47(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设函数f(χ)＝，则f(χ)在( )A．χ＝0，χ＝1处都间断B．χ＝0，χ＝1处都连续C．χ＝0处间断，χ＝1处连续D．χ＝0处连续，χ＝1处间断正确答案：C解析：因为在χ＝0处，＝0，所以，因此f(χ)在χ＝0处间断．在χ＝1处，，所以＝f(1)，因此，在χ＝1处连续．故应选C．2．曲线f(χ)＝的水平渐近线为( )A．y＝B．y＝－C．y＝D．y＝－正确答案：C解析：，则y＝为曲线f(χ)的一条水平渐近线，故应选C．3．＝( )A．0B．∞C．D．正确答案：D解析：．故应选D．4．设y＝4χ－(χ＞0)，其反函数χ＝φ(y)在y＝0处导数是( ) A．B．C．D．正确答案：A解析：y′＝4＋，y＝0，得χ＝或χ＝－(舍)，y′()＝8．χ＝φ(y)在y＝0处的导数为，故本题选A．5．下列级数中，收敛的级数是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：＜1，级数收敛，故应选D．填空题6．设f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：－1解析：f(χ)在χ＝0处连续，则＝f(0)，即＝1＋2a＝a，a＝－1．7．y＝χlnχ在点χ＝1处的切线方程是_______．正确答案：χ－y－1＝0解析：切线斜率y′｜χ＝1＝(lnχ＋1)｜χ＝1＝1，即切线方程为y＝χ－1．8．｜sinx｜dχ＝_______．正确答案：2解析：9．已知y1＝eχ，y1＝χeχ为微分方程y?＋Py′＋qy＝0的解，则P＝_______，q＝_______．正确答案：－2，1解析：将方程的解代入方程eχ＋peχ＋qeχ＝0，即1＋P＋q＝0，①又y′2＝eχ＋2eχ，y?＝2eχ＋χeχ，即(2＋p)eχ＋(1＋p＋q)χeχ＝0，②由①②联立解得p＝－2，q＝1．10．若函数f(χ)＝aχ＋bχ在χ＝1处取得极值2，则a＝_______，b＝_______．正确答案：－2，4解析：由f(χ)在χ＝1处取得极值2知解答题解答时应写出推理、演算步骤。
广东专插本(高等数学)模拟试卷45(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷45(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．当χ→0时，下列无穷小量中与等价的是( ) A．χB．2χC．χ2D．2χ2正确答案：A解析：故应选A．2．函数y＝sinχ－χ在区间[0，π]上的最大值是( )A．B．0C．－πD．π正确答案：B解析：y′＝cosχ－1≤0，故y在[0，π]上单调递减，故最大值为y(0)＝0，故应选B．3．若∫f(χ)dχ＝F(χ)＋C，则∫e-χf(e－χ)dχ( )A．e-χ)＋F(e－χ)＋CB．e－χ－F(e－χ)＋CC．F(e-χ)＋CD．－F(e-χ)＋C正确答案：D解析：∫e-χf(e-χ)dχ＝－∫f(-χ)d(e-χ)＝－F(e-χ)＋C，故应选D．4．曲线y＝在χ＝1处的切线方程是( )A．3y－2χ＝5B．－3y＋2χ＝5C．3y＋2χ＝－5D．3y＋2χ＝5正确答案：D解析：，则切线方程为y－1＝－(χ－1)，整理得3y＋2χ＝5，故应选D．5．下列无穷级数中，发散的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：＝1，因为p级数发散，则发散，故应选D．填空题6．f(χ)＝χeχ，则f(n)(χ)的极小值点为_______．正确答案：χ＝－(n＋1)解析：f′(χ)＝eχ＋χeχ＝(1＋χ)eχ，f?(χ)＝eχ(1＋χ)eχ＝(2＋χ)eχ，…，f(n)＝(n＋χ)e2χ，f(n)(χ)＝(n＋1＋χ)eχ，令f(n+1)(χ)＝0，得χ＝－(n＋1)，当χ＞－(n＋1)时，f(n+1)(χ)＞0；当χ＜－(n＋1)时，f(n+1)(χ)＜0，故f(n)(χ)在χ＝－(n＋1)处取得极小值．7．函数f(χ)＝在χ＝0处是_______间断点．正确答案：第一类可去间断点解析：＝1故χ＝0是f(χ)的第一类可去间断点．8．＝_______．正确答案：0解析：令f(χ)＝，则f(－χ)＝＝－f(χ)，故f(χ)为奇函数，所以dχ＝0．9．交换二次积分I＝∫-11dy f(χ，y)dχ的积分次序，则I＝_______．正确答案：解析：二次积分区域为((χ，y)－1≤y≤1，0≤χ≤1－y2)，如图所示：又可表示为{(χ，y)｜0≤χ≤1，)，即I＝10．方程y?－4y′＋3y＝0满足初始条件y｜χ＝0＝6，y′｜χ＝0＝10的特解是_______．正确答案：y＝4χ＋2e3χ解析：方程对应的特征方程为r2－4r＋3＝0，即r1＝1，r2＝3，故方程的通解为y＝C1eχ＋C2e3χ，y′＝C1eχ＋3C2e3χ，代入初始条件得解得C1＝4，C2＝2，故所求特解为y＝4eχ＋2e3χ．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2024广东专插本考试高等数学试题
2024广东专插本考试高等数学试题2024广东专插本考试高等数学试题一、选择题1、下列函数中，在区间(0,1)内为增函数的是： A. y = ln(x + 1) B. y = e^(-x) C. y = sinx D. y = cosx2、设{an}为等比数列，a1 = 2，公比为q，则a2 等于： A. 2q B. qC. 1/qD. q^23、下列图形中，面积为S的平行四边形的个数是： A. 1 B. 2 C. 3D. 4二、填空题 4. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, -4)，则向量a 与向量b 的夹角为__________。
5. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3，则f(-2) = __________。
6. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| = __________。
三、解答题 7. 求函数y = sinx + cosx + sinxcosx + 1的最大值与最小值。
8. 求下列微分方程的通解：dy/dx = y/(x + 1)，其中y(0) = 1。
9. 在等差数列{an}中，已知a1 = 1，S100 = 100a10，求{an}的前n项和Sn的公式。
四、应用题 10. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本40万元，此外每生产100件产品还需增加投资2万元。
设总收入为R(x)万元，x为年产量，产品以每百件为单位出售，售价为47万元/百件。
若当年产量不足300件时，可全部售出；若当年产量超过300件，则只能销售75%。
试求该公司的年度总收入R(x)的表达式。
五、选做题 11. 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3, π/6)、(4, π/3)，求△AOB的面积S。
12. 已知函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。
试求证：存在一点ξ∈[0,1]，使得f(ξ) = -ξ。
六、附加题 13. 求证：在正整数中，n^3 - n一定是6的倍数。
广东专插本(高等数学)模拟试卷48(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷48(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(χ)＝lg(－χ)在(－∞，＋∞)是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数正确答案：A解析：故f(χ)为奇函数，故应选A．2．设函数f(χ)＝则f(χ)＝( )A．1B．0C．2D．不存在正确答案：D解析：，极限f(χ)不存在，故应选D．3．设函数f(χ2)＝(χ＞0)，则f′(χ)＝( )A．B．C．D．正确答案：C解析：令χ2＝t，则f(t)＝，即故应选C．4．设f(χ)是连续函数，则f(t)dt是( )A．f(χ)的一个原函数B．f(χ)的全体原函数C．2χ.f(χ2)的一个原函数D．2χ.f(χ2)的全体原函数正确答案：C解析：(f(t)dt)′＝2χf(χ2)，即f(t)dt是2χ.f(χ2)的一个原函数．5．若级数an收敛，则级数( )A．｜an｜收敛B．(－1)nan收敛C．anan+1收敛D．收敛正确答案：D解析：若收敛，k1，k2是与n无关的常数，则(k1un＋k2vn)也收敛．故本题选D．填空题6．曲线y＝χ－上的切线斜率等于的点是_______．正确答案：解析：y′＝1＋，解得χ＝±2，故切线斜率为的点为(2，)和(－2，－)．7．如果f(χ)＝χ2＋kχ＋3在[－1，3]上满足罗尔定理条件，则k＝_______．正确答案：－2解析：f(χ)＝χ2＋kχ＋3在[－1，3]上连续，在(1，3)上可导，若在[－1，3]满足罗尔定理，则f(－1)＝f(3)，即4－k＝12＋3k，解得k＝－2．8．＝_______．正确答案：4解析：9．已知某二阶线性非齐次微分方程的通解为y＝C1e-χ＋C2e2χ，则该微分方程为_______．正确答案：y?－y′－2y＝0解析：由微分方程的通解为y＝C1e－χ＋C2e2χ知特征方程的特征根为λ1＝－1，λ2＝2，即特征方程为λ2－λ－2＝0，故微分方程为y?－y′－2y＝0．10．交换积分I＝∫02dχf(χ，y)dy的积分次序，则I＝_______．正确答案：I＝f(χ，y)dχ解析：由I＝f(χ，y)dy知0≤χ≤2，χ2≤y≤2χ，则积分区域如图：交换积分次序：I＝f(χ，y)d．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
(完整版)《高等数学》专插本-2019年历年试卷(最新整理)
D．点 x 1 是 f (x) 的极大值点
3. 已知 f (x)dx x2 C, 其中 C 为任意常数，则 f (x2 )dx
A． x5 C
B． x4 C
C． 1 x4 C 2
D． 2 x3 C 3
4．级数 2 (1)n
n1
3n
A． 2 3
C．
4
B． 1 1
D．
2
5．已知 D {(x, y) | 4 x2 y2 9}，则
B． f (x)dx 2x tan x C
g(x)
C． f [g(x)]dx tan(2x ) C
[ f (x) g(x)]dx tan x 2x C
4．下列级数收敛的是
1
A． en n1
C．
2 n1 ( 3n
1 n3 )
D．
3 n
B． ( ) n1 2
D．
n1
(
2 3
x
g(x) 在 (0, ) 单调递减即 g(b) g(a) 即 ba ab 成立
，
即 20182019 20192018
广东省 2018 年普通高等学校本科插班生招生考试
高等数学
一、单项选择题（本在题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符合题目 要求）
1．
lim
x0
z
xy 1 y2
,
，求
z y
,
2z yx
17．求 1 x d ，其中 D 是由直线 y x 和 y 1, y 2 及 x 0 所围成的闭区域
D
y
n
18．判定设级数
的收敛性
n1 | sin n | 2
四、综合题（大题共 2 小题，第 19 小题 12 分，第 20 小题 10 分，共 22 分）
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
每小题只有一个选项符合题目要求）．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是．2x =- 和0x = ．2x =- 和1x = ．1x =- 和2x = ．0x = 和1x =．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → ．等于1 ．等于2 ．等于1 或2 ．不存在 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰ ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰．下列级数收敛的是．11nn e ∞=∑ ．13()2nn ∞=∑．3121()3n n n ∞=-∑ ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件．0,0a b b -=< ．0,0a b b -=>．0,0a b b +=< ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y = ．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,xxdz e ydx e ydy =+ 则2zy x∂=∂∂ ．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．求20sin 1lim x x e x x →--．设(0)21x x y x x =>+，求dydx．求不定积分221xdx x ++⎰．计算定积分012-⎰．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ ．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ ．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1nn a ∞=∑的收敛性．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间四、综合题（大题共 小题，第 小题 分，第 小题 分，共 分） ．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（ ）求()x ϕ；（ ）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ （ ）证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少； （ ）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） 二、填空题（本大题共 小题，每个空 分，共 分）13x2x cos xe y 13π 三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰,t =则211,22x t dx tdt =-=20121021420153011,,2211()221()2111()253115t x t dx tdt t t tdtt t dtt t -==-==-=-=-=-⎰⎰⎰解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyz x xyz y xyzz xyz xyz xyz xyzf x y z yze f x y z xze f x y z xye z yze z xze x xye y xye ∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤222020ln()3(4ln 2)23(4ln 2)|2(8ln 23)Dx y d d ππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰ 解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-414(1)1lim lim 1,3213n x x nb n b n n +→∞→∞+∴==<+- 由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛．解()()()()(1)xx x x df x x de df x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞（ ）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰证明（ ）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++ 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（ ）设2019,2018a b ==则201820192019,2018b a a b ==比较,a b b a 即可，假设a bb a>即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
广东专插本高等数学2024年试卷
广东专插本高等数学2024年试卷一、下列哪个函数是偶函数？A. f(x) = x2 + 1B. f(x) = x3 - xC. f(x) = exD. f(x) = ln(x)（答案：A）解析：偶函数的定义是对于所有在其定义域内的x，都有f(-x) = f(x)。
检查各选项，只有A选项满足f(-x) = (-x)2 + 1 = x2 + 1 = f(x)，所以A是偶函数。
二、设函数f(x)在x=a处连续，且f(a) = 0，则lim(x→a) f(x)/x 的值为？A. 0B. f'(a)C. 不存在D. 无法确定（答案：D）解析：由于f(x)在x=a处连续且f(a) = 0，但题目没有给出f(x)在x=a处的导数信息，因此无法直接应用洛必达法则。
lim(x→a) f(x)/x的形式为0/0型，其极限值取决于f(x)在x=a附近的增长或减小速度，这需要具体的函数表达式才能确定，所以答案是D。
三、下列哪个选项是函数f(x) = x2 - 4x + 3的零点？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案：A、C）解析：函数f(x) = x2 - 4x + 3的零点可以通过求解方程x2 - 4x + 3 = 0得到。
该方程可以分解为(x-1)(x-3) = 0，解得x = 1或x = 3，所以A和C都是正确答案。
四、设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) = f(b) = 0，f((a+b)/2) > 0，则根据罗尔定理，下列哪个结论是正确的？A. 在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) > 0B. 在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) < 0C. 在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0D. 在(a, b)内f'(x)恒等于0（答案：C）解析：根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
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广东专插本（高等数学）模拟试卷43(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列四组函数字f(χ)与g(χ)表示同一函数的是( )
A．f(χ)＝tanχ，g(χ)＝
B．f(χ)＝lnχ3，g(χ)＝3lnχ
C．f(χ)＝，g(χ)＝χ
D．f(χ)＝ln(χ2－1)，g(χ)＝ln(χ－1)＋ln(χ＋1)
正确答案：B
解析：A、D选项中，两函数的定义域不同；C选项中，当χ＞0时，f(χ)≠g(χ)；B选项中，f(χ)＝lnχ3＝3lnχ＝g(χ)，定义域均为χ＞0，故本题选B．
2．当χ→0时，χ3＋sinχ是χ的( )
A．高阶无穷小
B．等价无穷小
C．同阶但不等价无穷
D．低阶无旁小
正确答案：B
解析：＝1，故χ3＋sinχ是χ的等价无穷小．
3．设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则曲线y＝f(χ)在(a，b)内平行于χ轴的切线( )
A．仅有一条
B．至少有一条
C．有两条
D．不存在
正确答案：B
解析：f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则f(χ)满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0，则f(χ)在(a，b)内至少有一条平行于χ轴的切线，故选
B．
4．定积分dχ＝( )
A．0
B．2
C．
D．π
正确答案：C
解析：考察定积分在对称区间上积分的性质．
5．级数(c≠0，b≠0)收敛的条件是( )
A．a＜b
B．｜a｜＞｜b｜
C．｜a｜＜｜c｜
D．｜a｜＜｜b｜
正确答案：D
解析：根据等比级数的敛散性可知，当且仅当＜1时，级数
收敛，即｜a｜＜｜b｜，故选
D．
填空题
6．已知χ→0时，无穷小1－cosχ与asin2χ等价，则a＝_______．
正确答案：
解析：当χ→0时，(1－cosχ)～χ2，asin2χ～aχ2，由1－cosχ与asin2
χ等价知＝1，于是a＝．7．函数y＝f(χ)由参数方程所确定，则_______．正确答案：
解析：
8．＝_______．
正确答案：
解析：
9．设f(χ，y)＝，则f(1，)＝_______．
正确答案：
解析：
10．微分方程y?－4y′＋13＝0的通解为_______．
正确答案：y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)
解析：对应的特征方程为r2－4r＋13＝0，解得r＝2±3i，故通解为y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)，其中C1，C2为任意常数．
解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．设f(χ)＝作f(χ)的图形，并讨论当χ→3时，f(χ)的左右极限及(χ)的存在性．
正确答案：函数f(χ)的图形如图，从几何图形上可判断出：(1)＝3；(2)(2χ＋1)＝7；由(1)、
(2)知，f(χ)不存在．
12．求极限
正确答案：
13．求曲线y＝的凹凸区间与拐点．
正确答案：函数y＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，因为y′＝，y?＝．所以y?＝0，得χ＝e2．曲线的凸凹性列表讨论如下：
所以，由上述讨论可知，曲线的凸区间为(0，1)与(e2，＋∞)，凹区间为(1，e2)；拐点为(e2，)．
14．求不定积分∫ln(χ＋)dχ．
正确答案：
15．过曲线y＝χ2(χ≥0)上某点A作切线，若过点A作的切线，与曲线
y＝χ2及χ轴围成的图形面积为，求该图形绕χ轴旋转一周所得旋转体体积V．
正确答案：如图，设A点坐标(χ0，χ02)．由y′＝2χ，得切线方程为y －χ02＝2χ0(χ－χ0)或χ＝，由已知得：
所以χ0＝1，A(1，1)，切线方程为2χ－y－1＝0，切线与χ轴交点为(，0)．于是
16．计算二重积dχdy，其中。
是由直线χ＝2，y＝χ与双曲线χy
＝1所围成的区域．
正确答案：先沿y方向积分，区域D可表示成：则
17．求微分方程y?＋2y′＋y＝0满足初始条件y(0)＝4和y′(0)＝－2的特解．
正确答案：特征方程为r2＋2r＋1＝0，特征根为r1＝r2－1，因此所给方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－χ，求导，得y′＝(C2－C1－C2χ)e-χ．将
初始条件代入上面两式，得解方程组，得C1＝4，C2＝2．于是所求特解为y＝(4＋2χ)e－χ．
18．判断级数的敛散性．
正确答案：因为un＝＝un(n＝1，2，…)，
而等比级数是收敛的，由比较审敛法知级数也收敛．综合题
19．设χ＝±1是f(χ)的两个极值点，且f(－1)＝2，又知f′(χ)＝3χ2＋aχ＋b，求函数f(χ)．
正确答案：由f′(χ)＝3χ2＋aχ＋b，积分得∫f′(χ)dχ＝∫(3χ2＋aχ＋b)dχ＝χ3＋χ2＋bχ＋C＝f(χ)，χ＝±1是f(χ)的极值点，f′
(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝0，b＝－3，故f(χ)＝χ3－3χ＋C，又有f(－1)＝2，代入得C＝0，所以f(χ)＝χ3－3χ．
20．设F(χ)＝S表示夹在χ轴与曲线y＝F(χ)之间的
面积，对任何t＞0，S1(t)表示矩形－t≤χ≤t，0≤y≤F(t)的面积，求：(1)S(t)＝S－S1(t)的表达式；(2)S(t)的最小值．
正确答案：(1)画出F(χ)和S1(t)的图形(如
图)．则S＝2∫0＋∞edχ＝－e-2χ｜0＋∞＝1，S1(t)＝2te-2t，因此S(t)＝S－S1(t)＝1－2te-2t，t∈(0，
＋∞)．(2)今S′(t)＝－2(1－2t)e-2t＝0．得唯一驻点t＝．又＞0，所以为极小值，即最小值．。