浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试数学试题
【高三上数学】浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题(解析版)
浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知12i,1i z a z b =−=+（,R a b ∈，i 为虚数单位），若12z z ⋅是实数，则（ ） A ．10ab −= B ．10ab += C ．0a b −= D ．0a b +=【答案】A 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.【详解】因为12(i)(1i)=()(1)i z z a b a b ab =−++−⋅+是实数， 所以10ab −=， 故选：A2．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =−≥==−，则{|2}x x <=（ ）A ．M N ⋃B ．()UN MC ．U ()M ND ．()UMN【答案】B【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为()22{|20}(,0][2,),{|log 1}(,1)M x x x N x y x =−≥=−∞+∞==−=−∞，所以(,1)[2,)M N ⋃=−∞+∞，()U(,1)(0,2)(,2){|2}Nx x M −∞==−∞=<，U 1(,0)][2,)(()[,)[]10,,MN −∞+∞=+∞=+∞∞−，因为(,0]M N =−∞，所以()U(0,)M N =+∞，故选：B3．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b −+垂直，则λ=（ ） A ．18B ．14C ．78D ．74【答案】B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅的值，然后将a b λ+与32a b −+垂直”等价转换为)()032a b a b λ−⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有22221,1,cos 60a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=又因为a b λ+与32a b −+垂直，所以()()()22132323322a ab a a b b b λλλλ+⋅=−+−⋅+=−+⨯−+1202λ−+=，解得14λ=.B.4．已知数列{}n a 为等比数列，且55a =，则（ ） A ．19a a +的最小值为50 B ．19a a +的最大值为50 C ．19a a +的最小值为10 D ．19a a +的最大值为105．已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x ⎛⎫=+=−=+ ⎪⎝⎭的零点分别为,,a b c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>由图象可知，a c <，所以a 故选：D6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（ ）A ．13−B ．0C ．13D ．3122PF PF PO +=，即可得【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得由余弦定理可知1cos 2F PF mn ∠又因为122PF PF PO +=，所以()()22122PF PF PO +=，又22122cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；()22216210n m n mn mn =+−=−=，即3mn =； 所以可得21281081cos 263m n F PF mn ∠+−===；7．已知二面角P AB C −−的大小为3π4，球O 与直线AB 相切，且平面PAB 、平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径分别为1O 半径的最大可能值为（ ）AB ．C ．3 D的最大值即为MNE 外接圆的OMOE O =，同理可知，AB ⊥平面为MNE外接圆的一条弦，半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为π=时，4为MNE外接圆的一条弦，的最大值即为MNE 外接圆的直径，即为的半径的最大可能值为108．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到()()()212232252f f f ⎧−≤≤⎪−≤≤⎨⎪−≤≤⎩，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.二、多选题9．已知5250125(12)x a a x a x a x −=++++，则下列说法正确的是（ ）A ．01a =B ．380a =−C ．123451a a a a a ++++=−D ．024121a a a ++=【答案】ABD【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A ， 取 0x =, 则 01a = ，则A 正确；对B ，根据二项式展开通式得5(12)x −的展开式通项为()55C 12r r rx −−，即()5C 2rr r x ⋅−⋅，其中05,N r r ≤≤∈所以3335C (2)80a =−=−，故B 正确；对C ，取1x =，则0123451a a a a a a +++++=−， 则12345012a a a a a a ++++=−−=−，故C 错误；对D ，取=1x −，则50123453243a a a a a a −+−+−==，将其与0123451a a a a a a +++++=−作和得()0242242a a a ++=， 所以024121a a a ++=，故D 正确； 故选：ABD.10．设O 为坐标原点，直线20x my m +−−=过圆22:860M x y x y +−+=的圆心且交圆于,P Q 两点，则（ ）A ．5PQ =B ．12m =C ．OPQ △的面积为D ．OM PQ ⊥【答案】BCOPQS=)0,0与由直线方程11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上为单调函数，且图象关于直线2π3x =对称，则（ ）A ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 在[]π2π，上单调递减 C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99− D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB 【分析】12．已知函数：R R →，对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z ，均有()()()3333f x f y f z xyz ++=，则（ ）A ．(0)0f =B ．(2023)2024f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是周期函数三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3P ，则()sin πα+= .14．已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为 .15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . )()()()710A B P A P B P A B =+−=，进而求)()3110A B P A B =−=，再利用条件概率公式求出答案【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件)310=，()12P B =，()110P A B =，)()()()31171021010A B P A P B P A B =+−=+−=)()3110A B P A B =−=， )()()3310152P AB B P B ===. 故答案为：3516．已知抛物线Γ：22y x =与直线:4l y x =−+围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是 .【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知12cos cA b =+.(1)证明：2A B =； (2)若3sin 5B =，13c =，求ABC 的面积. 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积sin A B =，， ABCS=18．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数m ，n 都有2.m n n m a a a mn +=++(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{(1)}n n a −的前n 项和n S .()(112135212n n n n a a n −+−++−=++++−=，符合上式，所以2n a n =.)()2222221234(1)n n ⎡⎤−++−+++−−+⎣⎦(()()321121n n n n +−+++−=， 为奇数时，若n =，则21n n n n S S n −−=+−=时，满足1S 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，点E 满足3DE EA =，点F 是1CC 的中点，点G 满足135DG GD =(1)求证：,,,B E G F 四点共面；(2)求平面EFG 与平面1A EF 夹角的余弦值.，即可得出结论；，证明//EG BF 即可；,AH FH ，因为F 由3DE EA =知DE EA ，由135DG GD =知DG GH =所以DE DGEA GH=，所以/AH ， 所以EG //BF ，所以,G F 四点共面；法2：如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系⎭因为()4,0,2,3,0,BF EG ⎛=−=− ⎝，所以34EG BF =，所以//EG BF ，,,,B E G F 四点共面；）由（1）知，()()()11,4,0,1,0,4,3,4,2BE A E EF =−−=−−=−， 设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，m BE m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40420x y x z −−=⎧⎨−+=⎩，可取()4,1,8m =−，平面1A EF 的法向量(),,n a b c =，则有1403420n A E a c n EF a b c ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，可取()8,7,2n =−设平面EFG 与平面1A EF 夹角为993m n m nθ⋅==⨯EFG 与平面 20．已知函数()()2e 4e 2x xf x a a x =+−−（e 为自然对数的底数，e 2.71828=）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a >时，()7ln 4.f x a a >−− 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n ()*N n ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望； （ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n −⋅−附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d −==+++++++)(2422212C 2n n ⋅==))21!2!!n n −=本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果点(),0()t t a >的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点,T N (1)求C 的方程； (2)求MP MQ OT MN的取值范围.试卷第21页，共21页。
浙江省宁波市 2023—2024学年高三第一学期高考模拟考试语文试题及答案
浙江省宁波市 2023—2024学年高三第一学期高考模拟考试语文试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
现代文阅读(35 分)(一)现代文阅读I (本题共 5小题，35 分)阅读下面的文字，完成1~5 题。
对于中国动画电影而言，民族风格既是起点，也是高峰，同时还是整个行业的一大执念，各个时期价动画电影的标准都离不开民族风格这一标尺。
尤其是 21 世纪之交，面对好莱坞“狼来了”的生死冲击中国动画电影在《宝莲灯》之后就陷入了长期的低迷。
直到《西游记之大圣归来》《哪吒之魔童降世》之前，中国动画电影甚至没有一部可以达到这一基本考核标准的作品。
对于出品方追光动画而言，在《长安三万里》之前也创作了《白蛇：缘起》《新神榜：杨》等作品，历经了三个发展阶段。
在其小切口实践创意表达、技术实现等第一阶段，《小门神》《阿唐奇遇》《猫与桃花源》等相对中小成本影片，就呈现出了非常清晰的将中华优秀传统文化与现代价值融会贯通的尝试，并且在现代动画技术上完成了多维度的经验积累。
在完成创意表达、技术实现等初步积累进入到第二阶段之后，《白蛇：缘起》《新神榜：哪重生》等影片呈现出了“重工业化”的样貌，除了动画视效上接近世界主流动画电影的水平，在类型上也非常大胆地尝试了赛博朋克、蒸汽朋克和废土朋克等 20 世纪 70 年代以来北美的通俗流行文化类型。
这种整体性“突进”的尝试，在中国动画电影史上还是首次。
所以在经过第二阶段类型、风格等“极限”式探索之后，到了第三阶段，《白蛇2：青蛇劫起》《新神榜：杨》等影片尽管作为各自系列影片前作的延续，但在题材和类型上都已经呈现出相对“回撤”的艺术上的均衡性，更注重整体的协调度和完成度，特别是《新神榜：杨》在动画的视觉特效上又默默将行业标尺提升到了新的高度。
浙江省2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题
四､解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
已知等差数列 满足 数列 是以1为首项公比为3的等比数列.
（1）求 和 ；
（2）令 求数列 的最大项.
18.（本小题12分）
在 中 为 中点 .
（1）若 求 的面积；
（2）若 求 的长.
19.（本小题12分）.
9.已知函数 则（）
A. 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位
B. 在 上பைடு நூலகம்减
C. 的图象关于直线 对称
D.当 时 的取值范围是
10.甲袋中有4个红球4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋分别以 表示事件“取出的是红球”､“取出的是白球”､“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球以 表示事件“取出的是红球”则下列的结论中正确的是（）
生产线
甲
4
9
23
28
24
10
2
乙
2
14
15
17
16
15
1
（1）完成 列联表依据 的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？
一等品
非一等品
合计
甲
乙
合计
（2）将样本频率视为概率从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件每次抽取零件互不影响以 表示这2个零件中一等品的数量求 的分布列和数学期望
第1套：浙江宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷与答案
镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2{560},{13},A x x x B x x =-+≤=-≤<则A B = （）A.{13}x x -≤<B.{13}x x -≤≤C.{23}x x ≤<D.{23}x x ≤≤2．函数3()29x f x x =+-的零点所在区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.(2,3)D.()3,45.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l m ⊥，l n ⊥，则下列说法中正确的是（）A.//l αB.l β⊥ C.若a αβ⋂=，则//a lD.αβ⊥e ．．C ．D ．8.设实数,x y 满足3,32x y >>，不等式3322(23)(3)8123k x y x y x y --≤+--恒成立，则实数k 的最大值为（）A.12B.24C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z ⋅=⋅ C.1212z z z z =⋅ D.1212z z z z +=+10.已知()f x ，()g x 的定义域为R ，且()()1f x g x a +-=（0a ≠），()()11g x g x +=-，若()2f x +为奇函数，则（）A.()g x 关于x =1对称B.()g x 为奇函数C.()02f = D.()f x 为偶函数11.已知O 为坐标原点，曲线()()22222:3x y ay x y Γ+=-，0a >，()00,P x y 为曲线Γ上动点，则（）A.曲线Γ关于y 轴对称B.曲线Γ的图象具有3条对称轴C.09,16y a a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.OP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷(附答案)
2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷(附答案)一、选择题（每题5分，共50分）1. 设集合A={x|1≤x＜3}，B={x|x＞4}，则A∪B 的取值范围是（）A. [1，3)B. (4，+∞)C. [1，+∞)D. (1，4]2. 若函数f(x)=x²-2x+3在区间（-∞，a）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. a＜-1B. a≤1C. a＜0D. a≤23. 已知函数y=2x-1与y=kx+3的图象有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A. k＜2B. k＞2C. k≠2D. k=24. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15的值为（）A. 50B. 60C. 70D. 805. 设函数f(x)=2x³-3x²+x+1，若f(x)在区间（-∞，a）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a＞1D. a＜1答案：1.C 2.D 3.C 4.C 5.A二、填空题（每题5分，共30分）6. 若函数f(x)=x²-4x+c在区间（-∞，2）上是减函数，则实数c的取值范围是______。
答案：c≤47. 已知函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若f(3)=4，则f(1)=______。
答案：48. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则公差d=______。
答案：19. 设函数f(x)=x²-2x+3，若f(x)在区间（-∞，a）上单调递增，则实数a的取值范围是______。
答案：a≥110. 若函数y=2x-1与y=kx+3的图象有两个不同的交点，则实数k的取值范围是______。
答案：k≠2三、解答题（共70分）11. （本题15分）已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间（-∞，a）上的单调性，并给出实数a的取值范围。
2025届浙江省宁波市镇海中学高三3月份模拟考试数学试题含解析
2025届浙江省宁波市镇海中学高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D ．12e -2．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 5．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） A ．55B ．35C ．79D ．2356．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．227．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 8．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ） A ．2()1x f x x =+ B ．727)2(f x x x =++-，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x -+=9．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．16010．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-11．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．526612．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年浙江省宁波市高三上学期高考一模数学试卷带讲解
宁波市2022学年第一学期高考模拟考试高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}ln 1A x y x ==-，{}260B x xx =--<，则AB =（ ）A. {}12x x << B. {}13x x <<C. {}2x x >-D. {}1x x >【答案】B【分析】先求对数函数的定义域化简集合A ，再解二次不等式化简集合B ，从而利用集合的交集运算求得结果. 【详解】因()ln 1y x =-，所以10x ->，得1x >，故{}1A x x =>，由260x x --<得()()320x x -+<，解得23x -<<，故{}23B x x =-<<， 所以利用数轴法易得{}13A B x x ⋂=<<. 故选：B.2. 已知数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，且354a b +=，598a b +=，则47a b +=（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为354a b +=，598a b +=， 所以355912a b a b ++=+， 即 355912a a b b ++=+，根据等差数列的性质可知3559472212a a b b a b ++=+=+， 所以476a b +=. 故选:B.3. 若i12i 1ia +=-++（a R ∈，i 为虚数单位），则i a -=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据复数的运算法则求得参数a ，再求目标复数的模长即可. 【详解】因为i12i 1ia +=-++，故()()i 1i 12i 3i a +=+-+=-+，故3a =-，则i 3i a -=--== 故选：B.4. 一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg 20.301≈，结果精确到0.1）（ ） A. 2.7 B. 2.9C. 3.1D. 3.3【答案】C【分析】根据题意列出关于n 的式子，根据对数的运算性质即可求解. 【详解】设注射n 个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，则()41lg 23000120%15005212lg 2nnn ⎛⎫⨯-≥⇒≥⇒≤⎪-⎝⎭， 由lg 20.301≈得： 3.1n ≤ 故n 的最大值为3.1, 故选：C5. 已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且()2a a b ⊥-，则a ba b+=-（ ）A.13B.3C.D. 3【答案】C【分析】根据向量的垂直关系可得a b =，进而根据模长公式即可求解. 【详解】由()2a a b ⊥-得2222=0=2=2cos60aa b a a ba ab a b ，22223a b a b aba b a 2222a ba b aba ba ，所以33a ba a ba+==-，故选：C6. 已知()0,2A ，()(),00B t t <，动点C 在曲线T ：()2401y x x =≤≤上，若△ABC 面积的最小值为1，则t 不可能为（ ） A. 4- B. 3- C. 2-D. 1-【答案】D【分析】设200,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，求出直线AB 的方程，利用点到直线的距离公式求出点C 到直线AB 的距离，再求出AB ，可得[]20022,2,22ABCy ty tS y +-=∈-△，分别代入4t =-、3t =-、2t =-及1t =-，判断最小值是否为1即可.【详解】设200,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，因为[]0,1x ∈，所以[]2,2y ∈-，即[]02,2y ∈-. 直线AB 的方程为12x yt +=，即()2200x ty t t +-=<. 因为[]02,2y ∈-，0t <，所以()22000022022y y ty t y t +-=+->.则点C 到直线AB的距离为2002y ty t d +-==. 因为()0,2A ，(),0B t，所以AB =所以220000221222ABCy y ty t ty tS +-+-==△. 当4t =-时，[]200482,2,22ABC y y S y -+=∈-△，可得当02y =时，()min 1ABC S =△，符合题意；当3t =-时，[]2000362,2,22ABC y y S y -+=∈-△， 可得当02y =时，()min 1ABC S =△，符合题意； 当2t =-时，[]2000242,2,22ABCy y S y -+=∈-△， 可得当02y =时，()min 1ABC S =△，符合题意； 当1t =-时，[]200022,2,22ABCy y S y -+=∈-△，可得当01y =时，()min 34ABC S =△，不符合题意. 故t 不可能为1-. 故选:D.7. 若函数()2f x x mx n =++在区间()1,1-上有两个零点，则2221n m n -++的取值范围是( ) A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()0,4 D. ()1,4【答案】A【分析】令()()()212f x x mx n x x x x =++=--，且()12,1,1x x ∈-，12x x ≠，注意到()()()()()22222111111n m n n m m n m n f f -++=+-=++-+=-，则将问题转化为求()()11f f -的范围即可．【详解】令()()()212f x x mx n x x x x =++=--，且()12,1,1x x ∈-，12x x ≠，根据，将()()()()()22222111111n m n n m m n m n f f -++=+-=++-+=-，()()()()()()()()()()221212121111111111f f m n m n x x x x x x -=++-+=------=--，又21011x <-≤，22011x <-≤，∴()()(]110,1f f -∈，又12x x ≠，∴()()()110,1f f -∈，即()22210,1n m n -++∈，故选：A ．8. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =的表面积为（ ） A.332πB. 33πC.572πD. 57π【答案】D【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，1,O O 分别是上下底面的中心，连结1OO ，11O A ，OA ， 根据边长关系，知该棱台的高为2h，则11112173224ABCD A B C D h a h V -==，由1AA 11AOO A为直角梯形，111124O A A B a ==，22OA AB a ==，可得=h =11112724ABCD A B C D a h V -==283=≤=当且仅当22482a a =-，即4a =时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径111r AO==r AO ==，设球的半径为R ，显然球心M 在1OO 所在的直线上.显然球心M 在1OO 所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段1OO 上，如图2，设OM x =，则11O M x =-，01x <<，显然1MA MA R ====解得0x <，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M 在线段1O O 的延长线上，如图3，设OM x =，则11O M x =+，显然1MC MA R ====解得52x =，2R ==，此时，外接球的表面积为2244572R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象关于直线6x π=对称，则（ ）A. ()102f =B. ()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C. ()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 在区间()0,π上有2个极值点 【答案】ABD【分析】先根据图象关于直线6x π=对称可求得ϕ，从而得到解析式，赋值法可判断AB ，整体代入法可判断C ，根据三角函数中极值点的含义可判断D.【详解】若函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象关于直线6x π=对称，则262k ππϕπ⨯+=+，解得6k πϕπ=+，Z k ∈，而0ϕπ<<，所以6πϕ=，故()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭. 对于A ，()10sin 62f π==，A 正确；对于B ，5()sin 012f π=π=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，B 正确； 对于C ，令222262k x k πππππ-≤+≤+，即36k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，当0k =时，单调递增区间为[,]36ππ-，0,3π⎛⎫⎪⎝⎭不是其子区间，C 错误； 对于D ，三角函数的极值点即为函数图像对称轴所对应的横坐标，令262x k πππ+=+，得26k x ππ=+，当0k =和1k =时，6x π=和23x π=为()f x 在区间()0,π上的2个极值点，D 正确. 故选：ABD10. 已知直线l ：()31002mx y m m -++=>与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，与两坐标轴分别交于,C D 两点，记AOB 的面积为1S ，COD △的面积为2S ，则（ ）A. 12S ≤B. 存在m ，使23S =C. AB ≥D. 存在m ，使AB CD =【答案】ABC【分析】运用数形结合思想，结合面积公式和点到直线距离，两点间距离，直线与圆弦长公式即可. 【详解】A.直线l ：()31002mx y m m -++=>， 当0x = 时，312y m =+ ， 当0y = 时，312x m=--，所以CD =，因为圆心为(0,0),2O r =，所以圆心到直线的距离d = ， 所以根据直线被圆截得的弦长公式有2242AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得AB =，所以()22141222d d S AB d d -+=⨯===，当且仅当224d d-=即d =d ==解得6m =时取得等号.所以12S ≤，故A 正确. B.直线l ：()31002mx y m m -++=>， 当0x = 时，312y m =+ ； 当0y = 时，312x m=--，所以21331(1)()222S m m =++191(3)24m m =++113)2m m≥+3=当23m = 时，23S =，故B 正确.C.直线l ：()31002mx y m m -++=>过定点3(,1)2P - 在圆内，因为圆O ：224x y +=，圆心为(0,0),2O r =，所以圆心到直线的距离d=因为AB =≥==， 当且仅当l OP ⊥时，d PC =,所以l 被截得的弦长最短AB =所以AB ≥故C 正确.D.要使AB CD =，则AB 与CD 重合，此时AB 的直线方程为2y x =+不过定点3(,1)2P -，故D 错. 故选:ABC.11. 已知正实数a 、b 满足()221a b a b ab +-++=，则（ ）A. a b +的最大值为2B. a b +的最小值为12C. 22a b +的最小值为2D. 22a b +的最大值为3【答案】AC【分析】利用基本不等式可得出关于a b +的不等式，解出a b +的取值范围，可判断AB 选项；由已知可得出()()22222a b a b a b +=-++++，利用二次函数的基本性质结合a b +的取值范围，可得出22a b +的取值范围，可判断CD 选项.【详解】因为正实数a 、b 满足()221a b a b ab +-++=，则()()221112a b a b a b ab +⎛⎫<+-+=+≤+ ⎪⎝⎭，因为0a b +>，解得122a b +<+≤，当且仅当1a b ==时，a b +取最大值2，则A 对B 错； 因为()()()()222222212a b a b a b a b ab a b a b +-++-++=+-++=，所以，()()22222a b a b a b +=-++++，令122t a b ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，因为函数222y t t =-++在1,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以，()()22222a b a b a b ⎡+=-++++∈⎢⎣⎭，C 对D 错. 故选：AC.12. 如果定义在R 上函数()f x 满足：对任意x y >，有()()2f x f y ≤，则称其为“好函数”，所有“好函数”()f x 形成集合Γ．下列结论正确的有（ ）A. 任意()f x ∈Γ，均有()0f x ≥B. 存在()f x ∈Γ及0x ∈R ，使()02022f x =C. 存在实数M ，对于任意()f x ∈Γ，均有()f x M ≤D. 存在()f x ∈Γ，对于任意x ∈R ，均有()f x x ≥ 【答案】AC【分析】首先对于A ，取y x >，即可证明；对于BCD ，利用归纳推理以及反证法即可求解. 【详解】A 项：()f x ∀∈Γ，取y x >，由于2()()f x f y ≥，故()0f x ≥，正确； B 项：假如()f x ∈Γ及0x ∈R ，使()02022f x =，现任取00,0x x δδ+>>，有24200002()()()()nf x f x f x f x n nδδδ≥+≥+≥≥+，因此20()2022nfx δ+≤，从而120()2022nf x δ+≤，令n →+∞，得0()1f x δ+≤，再任取00,0x x δδ-，有()()222220*********n nn n f x f x f x f x n n δδδ--⎛⎫⎛⎫-≥-≥-≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令n →+∞，得0()f x δ-=+∞，这表明()0,f x δ→在0x 处无定义，与()f x 定义在R 上矛盾，错误；C 项：用反证法，反设结论得R M ∀∈ ,()f x ∃∈Γ ,使得()f x M >，那么取02021,R M x =∃∈，使得()020222021f x =>，由B 分析知有矛盾，所以假设不成立，因此原命题为真，正确；D 项：若此选项成立，则()()f x x →+∞→+∞，与C 矛盾，错误. 故选：AC【点睛】方法点睛：对于抽象函数以及函数不等式常用的证明方法： （1）特殊值法：可以通过例举特殊值，验证结论错误；（2）反证法：可以通过反证法，先假设，再证明得出矛盾，则原命题为真；（3）归纳推理法：归纳推理的一般步骤是先证明当n 取第一个值时，命题正确；假设当n k =时，命题正确，证明当1n k =+时命题也正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若sin 2x x =，则cos2x =__________． 【答案】12##0.5 【分析】利用辅助角公式得πsin 13x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可求出π2π,6x k k =+∈Z 即可求解cos2x .【详解】因为πsin 2sin 23x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以ππ2π,32x k +=+ 即π2π,6x k k =+∈Z ， 所以π24π,3x k k =+∈Z ，所以ππ1cos 2cos 4πcos 332x k ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭故答案为:12.14. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n 层放n a 个物体堆成的堆垛，则1210111a a a +++=__________．【答案】2011【分析】由累加法即可求得n a ，再利用裂项相消法即可求解. 【详解】由题可知：1231,3,6a a a ===，即有()12n n a a n n --=≥， 所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++(1)12342n n n +=+++++=，当n=1成立 所以1222(1)1n a n n n n ==-++，所以121011122222222223341011a a a +++=-+-+-++- 22021111=-=. 故答案为：201115. 在棱长均相等的四面体ABCD 中，P 为棱AD （不含端点）上的动点，过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，则m ，n 所成角的正弦值的最大值为__________． 【答案】3【分析】根据面面平行的性质可得//,//m BP n PC ，进而得BPC ∠或其补角即为m ，n 所成的平面角，结合余弦定理即可求解余弦的最小值，即可求解正弦的最值.【详解】过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，由于平面//α平面PBC ，平面PBC ⋂平面ABD PB =,，平面PBC ⋂平面ACD PC = 所以//,//m BP n PC ,所以BPC ∠或其补角即为m ，n 所成的平面角，设正四棱锥ABCD 的棱长为1，,01AP x x =<<，则1PD x =-，在ABP中，由余弦定理得：601BP ==+=， 同理601PC ==+=, 故在PBC 中，()()22222221211112cos 11221211324x x PB PC BC BPC PB PC x x x x x -+-+-∠===-=-⋅-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭， 由于2133244x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，则212231324x ≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，进而2112131324x -≥⎛⎫-+⎪⎝⎭，当12x =时取等号， 故cos BPC ∠的最小值为13，进而sin3BPC ∠=≤， 故sin BPC ∠， 故答案为：316. 已知A ，B 为椭圆22195x y +=上两个不同的点，F 为右焦点，4AF BF +=，若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，则FT =__________．【答案】43【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,利用焦半径公式得到123x x +=,设()0,0T x ，写出垂直平分线方程121212322x x y y y x y y -+⎛⎫=--+⎪-⎝⎭，代入()0,0T x ，化简得到0x 值，最终求出FT 的值. 【详解】取椭圆方程为22221x y a b+=，c =2a x a c =>（椭圆右准线）， 椭圆上点()0,Px y ，右焦点(),0F c ，设点()0,P x y 到直线的距离为d ，则200d x cPF===-020c c a x c a a c x a⎛⎫⎪-- ⎝⎭==，所以200c a x a c PF a ex ⎛⎫- =⎪-⎝⎭=， 因本题椭圆离心率:23e =，设()()1122,,,A x y B x y 由焦半径公式:122233433x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得:123x x +=, 即AB 中点()123,,,022y y T m +⎛⎫⎪⎝⎭，1212AB y y k x x -=-，则AB 垂直平分线斜率为1212x x y y --- 根据点,A B 在椭圆上，则有2211195x y +=，2222195x y +=，作差化简得()2222122159y y x x =--，则线段AB 的垂直平分线方程为121212322x x y y y x y y -+⎛⎫=--+⎪-⎝⎭,代入(),0T m 得: ()()()()2222211212121255359922226x x x x y y m x x x x -+--===-=---,即023x =,则24||233FT =-=. 故答案为：43.【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，10PF ex a =+，20PF a ex =-，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*22Nn n S a n =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令4n n b a n =-，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）2n n a = （2）2282n n n T n -+=+- 【分析】（1）由n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前n 项和. 【小问1详解】当1n =，11122S a a ==-，故12a =， 因为22n n S a =-，当2n ≥时，1122n n S a --=-,两式相减得：1122n n n n n S S a a a ---==-，即12n n a a -=， 故数列{}n a 为等比数列，公比2q，所以1222n nn a -=⨯=．【小问2详解】424n n n b a n n =-=-，故224122n n n n n b n n a --==-，故10121232222n n n T n --⎛⎫=-++++⎪⎝⎭， 令10121232222n n n H --=++++①， 0121112322222n n nH -=++++②，①-②得 1012211111112222222n n n n H ---=+++++-1112122412212n n n n n --⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--即2282n n n H -+=-，故22228822nn n n n T n n --++⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ,4cos a bC b a+=． （1）求222a b c+的值； （2）若111tan tan tan B A C=+，求cos A ． 【答案】（1）2 （2）6【分析】(1)利用余弦定理角化边即可求解;(2)根据弦化切将原等式变为2sin cos sin sin BBA C=，角化边即可得到2223a c b+=，再结合2222a b c +=可得b =，a =，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为4cos a bC b a+=, 结合余弦定理，得2222242a b a b c ab ab++-=， 即2222a b c +=，所以2222a b c+=．【小问2详解】 由111cos cos sin cos cos sin sin tan tan tan sin sin sin sin sin sin A C C A C A BB AC A C A C A C+=+=+==，即22sin cos sin sin B b B A C ac ==，即22222a c b b ac ac+-=即2223a c b +=，又2222a b c +=，所以2b c =，2a =，所以22222235cos 2c c c b c a A bc +-+-=== 19. 已知函数()sin f x x ax =-，R a ∈． （1）若2a =，求曲线()y f x =在点,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若()f x a ≥在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）412122y x =-+ （2）365a π≤+【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）参变分离可得sin 1x a x ≤+在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()sin 1x g x x =+，5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】解：当2a =时，()sin 2f x x x =-， 所以1sin 266623f ππππ⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，()cos 2f x x '=-，所以cos 2266f ππ⎛⎫'=-=⎪⎝⎭，故所求切线方程为412122yx =-+．【小问2详解】解：因为()f x a ≥()sin sin 11x x a x a x ⇔≥+⇔≤+在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()sin 1x g x x =+，5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2cos cos sin 1x x x x g x x +-'=+， 令()cos cos sin h x x x x x =+-，则()sin sin 0h x x x x '=--<，所以()h x 在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为1066222h ππ⎛⎫=⋅+->⎪⎝⎭，551066222h ππ⎛⎫=-⋅--< ⎪⎝⎭， 由零点存在定理知，存在唯一05,66x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =， 所以()g x 在0,6x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在05,6x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 5333min ,min ,6666565g x g g πππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭， 从而365a π≤+．20. 如图，直三棱柱111ABCA B C 中，2ACB π∠=，E ，F 分别是AB ，11B C 的中点．（1）证明：EF ⊥BC ；（2）若2AC BC ==，直线EF 与平面ABC 所成的角为3π，求平面1A EC 与平面FEC 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2）35【分析】(1)取BC 中点H ，分别连结EH ，FH ，则1FH BB ∥，得FH ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质和判定定理证明BC ⊥平面EFH ，即可证明；(2)根据题意，由（1）知⊥FEH 为EF 与平面ABC 所成角，求出1CC ，建立如图空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面CEF 与平面1CA E 的法向量，结合空间向量数量积的定义计算即可. 【小问1详解】 证法1：取BC 中点H ，分别连结EH ，FH ，因为F 为11B C 的中点，所以1FH BB ∥，因为三棱柱为直棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ，所以FH ⊥平面ABC ， 由BC ⊂平面ABC ，所以FH ⊥BC ，又E 为AB 的中点，则//EH AC ，且AC BC ⊥，所以EH BC ⊥，因为EH ，FH⊂平面EFH ，EHFH H =，所以BC ⊥平面EFH ，因EF ⊂平面EFH ，所以EF BC ⊥．证法2：设CA a =，CB b =，1CC c =，则()1111222EF CF CE CC CB CA CB a c =-=+-+=-+，由题知，CA CB ⊥，1CC CB ⊥， 所以0a b ⋅=，0b c ⋅=， 从而102CB EFb ac ⎛⎫⋅=⋅-+= ⎪⎝⎭，即EF BC ⊥．【小问2详解】由（1）知⊥FEH 为EF 与平面ABC 所成的角，所以3FEH π∠=，由2AC BC ==，得1CC =CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正向，建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0B，(1C，(1A，(10,B ，()1,1,0E ，()0,1,0H，(F ，()1,1,0CE =，(CF =，(1CA =，设平面CEF 的一个法向量为()111,,m x y z =，由00m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111100x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()3,m =，平面1CA E 的法向量为()222,,x n y z =，由100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222020x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，取()3,2n =-，设平面CEF 与平面1CA E 的夹角为θ，则270cos 35m nm nθ⋅==． 所以平面CEF 与平面1CA E 夹角的余弦值为35. 21. 已知点()2,0A ，104,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>上．（1）求双曲线E 的方程；（2）直线l 与双曲线E 交于M ，N 两个不同的点（异于A ，B ），过M 作x 轴的垂线分别交直线AB ，直线AN 于点P ，Q ，当MP PQ =时，证明：直线l 过定点．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解,a b 的值，进而得双曲线方程；（2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得,m k 的关系，进而可得直线过定点. 【小问1详解】由题知，222224111014133a a b ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ ，得21b =， 所以双曲线E 的方程为2214x y -=．【小问2详解】由题意知，当l ⊥x 轴时，Q 与N 重合，由MP PQ =可知：P 是MQ 的中点，显然不符合题意， 故l 的斜率存在，设l 的方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()222148440k x kmx m ----=，则 ()()()222222641611416140k m m k m k ∆=++-=+->，即2214m k +>，且2140k -≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，122814km x x k +=-，21224414m x x k+=--，AB 方程为()124y x =-，令1x x =，得112,4x P x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，AN 方程为()2222y y x x =--，令1x x =得11222,2x Q x y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 由MP PQ =，得111222222x x y y x --=+⋅-，即12121222y y x x +=--， 即()()()()()12211212122242kx m x kx m x x x x x +-++-=-++⎡⎤⎣⎦， 即()()()121214422480k x x k m x x m -+--+++=，将122814km x x k +=-，21224414m x x k+=--代入得即22416161680m km k k m ++--=，所以()()2220m k m k ++-=，得22m k =-或2m k =-，当22m k =-，此时由0∆>，得58k <，符合题意； 当2m k =-，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去所以l 的方程为22y kx k =+-，即()22y k x =-+，所以l 过定点()2,2．22. 已知函数()()()2e 32e 10,xf x ax b x b a a b =+-++-+>∈R ，且()00f >，()10f >． （1）若2a =，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数b 的取值范围；（2）证明：对于任意实数x ∈R ，()()()20310f x f f ++>．参考数据：e 2.7182818≈．【答案】（1）03e 2b <≤+- （2）证明见解析 【分析】(1)利用导数与单调性最值的关系求解；(2)利用导数讨论单调性并证明不等式.【小问1详解】2a =时，()()2e 62e 1xf x x b x b =+-++-， 由题知()()1220x f x e x e b '=+-+≥对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 因为()f x '在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则()()min 162e 02f x f b ⎛⎫''==-+≥ ⎪⎝⎭，得3e 2b ≤+-． 又()00f b =>，()1e 50f b =--+>，得05e b <<-，综上03e 2b <≤+-． 【小问2详解】法1：由题()020f b a =-+>，()12e 10f a b =--+>，则221e a b a -<<+-，而()()'e 62e x f x ax b =+-+，显然()f x '在R 上单调递增，()()()012e 12e 252e 20f b a a '=-+<-+-=--<，()()()1e 62e e 62212e 20f a b a a a '=+-+>+-+=+->，由零点存在定理知存在唯一()00,1x ∈使()0'0f x =，()00e 2e 6x b ax =+-所以()f x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞单调递增，所以()()0min f x f x =，()()()02200000e 32e 132e 332e 1x f x ax b x b a ax b a x b a =+-+++-=-+++++-，()()2031422633e 3473e f f b a a b a b +=+-++--=-+-，所以()()()()()()()20002031203132e 3328e f x f f f x f f ax b a x a b ++≥++=-+++++-()()20002232e 338e x b ax a x a =-+-+++-()()()()220000022232e 338e 324e 254ex a ax a x a ax a x a >--+-+++-=-+-++-()()()()()200000038542e 4e 13542e 4e x x a x x x a x =-++-+-=--+-+-()042e 4e x >-+-记()()42e 4e g x x =-+-，()g x 单调递减，又()()()()ln2e 6ln 22e 26ln 22e 26ln 22216ln 240a b a b a a a +-+=+-+>+-+=->，故00ln 2x <<，又3e 16>，故3ln 24<， 则()()35145e 42e 4e 7e 0422g x ->-⨯+-=-=>， 命题得证．（2）法2：由题()020f b a =-+>，()12e 10f a b =--+>，则221e a b a -<<+-，而()()'e 62e xf x ax b =+-+，显然()'f x 在R 上单调递增，()()()'012e 12e 252e 20f b a a =-+<-+-=--<，()()3334443991'e 2e e 221e 2204222f a b a a a ⎛⎫=+-+>+-+=+->> ⎪⎝⎭，由零点存在定理知存在唯一030,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使()0'0f x =，()00e 2e 6x b ax =+-，所以()f x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所以()()0min f x f x =，()()()()()()()20002031203132e 3328e f x f f f x f f ax b a x a b ++≥++=-+++++-记()()232e 3328e h x ax b a x a b =-+++++-， 则对称轴e 313b a x a++=>， 所以()()039332e 3328e 4164h x h a b a a b ⎛⎫≥=⋅-++⋅+++-⎪⎝⎭ ()3153151158e 28e 7e 016221622162a b a a a =++->+-+-=+->命题得证．。
2025届浙江省宁波市高三上学期高考与选考模拟考试历史试卷(含答案)
宁波市2024学年第一学期高考与选考模拟考试历史试卷考生须知：1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试时间90分钟。
2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题Ⅰ（本大题共15小题，每小题2分，共30分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.中国考古学家曾在湖北郧县发掘出3个头骨化石和300多件石制品，距今约100万年。
其中，2022年发掘的“郧县人”3号头骨是迄今欧亚内陆发现的同时代最为完好的古人类头骨化石。
由此可知，“郧县人”（）A.头骨最为完好，最早迈进文明时代B.从事渔猎和采集，成为食物生产者C.过着群居生活，进入氏族公社阶段D.使用打制石器，处于旧石器时代2.“汉家天马出蒲梢，苜蓿榴花遍近郊”，这出自唐代诗人李商隐《茂陵》中的诗句，描述了当时中西文化交流的景象。
该景象的出现缘于（）A.汉武帝设中朝B.张骞出使西域C.汉设西域都护府D.甘英出使大秦3.据《北京历史地图集》记载，金中都城从南门——丰宜门向北，过龙津桥、宣阳门（丹凤门）、千步廊御道，直抵宫城南门——应天门；过应天门，便进入宫殿群，轴线上依次排列着大安门、大安殿、宣明门、仁政门、仁政殿、昭明宫、昭明门，一直到宫城北门——拱辰门；出拱辰门外又是一条笔直的大街，一直通向中都城北门——通玄门。
由此推断，金中都城的“轴线”（）A.体现女真族吸收中原王朝文化B.具有行政、防御、商业的功能C.适应女真族草原迁徙生活习俗D.成为元、明两朝北京的中轴线4.有史家认为，及至清代，总督、巡抚成为省级正式的行政长官，几经调整后定型为18行省，8总督、15巡抚的格局。
宁波市2023学年第一学期高考模拟考试(一模)数学试卷(含答案)
绝密★启用前宁波市2023学年第一学期高考模拟考试（一模）高三数学试卷全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知z₁=a−iz₂=1+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，若z₁·z₂是实数，则A.ab-1=0B.ab+1=0C.a-b=0D.a+b=02.设集合U=R,集合.M={x|x²-2x≥0}N={x|y=log₂(1-x)},则{x|x<2}=A.MUNB.NU(CUM)C.MU(CvN)D.CU(M∩N)3.若a,b是夹角为60°的两个单位向量,λa+b与-3a+2b垂直,则λ=1 8B.14C.78D.744.已知数列{an}为等比数列，且a₅=5,则A.a₁+a₉的最小值为50B.a₁+a₉的最大值为50C.a₁+a₉的最小值为10D.a₁+a₉的最大值为105.已知函数f(x)=2x+log2x,g(x)=(12)x−log2x, (x)=x3+log2x的零点分别为a，则A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a6.设O为坐标原点,F₁,F₂为椭圆C:x 24+y22=1的焦点，点P在C上，|OP|=√3,则cos∠F₁PF₂=A.−13B.0 C.．13D.2√237.已知二面角P-AB-C的大小为³π．．/₄，球O与直线AB相切，且平面PAB，平面ABC截球O的两个截面圆的半径分别为1，√2，则球O半径的最大可能值为A.√2B.2√2C.3D.√108.已知函数f(x)=x²+ax+b,若不等式|f(x)|≤2在x∈[1,5]上恒成立,则满足要求的有序数对(a,b)有A.0个B.1个C.2个D.无数个A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市镇海中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测模拟试题含解析
浙江省宁波市镇海中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 2．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6133．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）AB C D4．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+5．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．2536．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-7．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．988．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．329．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若集合}{}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤，则A B =（ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤ C ．()2,3 D ．{}32x x -≤< 11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期高考模拟考试数学试卷
浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期高考模拟考试数学试卷一、单选题1．集合{}2,0,1A =-，{}2,B y y x x A ==∈，则A B = （）A ．{}2,0,1-B ．{}0,1,4C ．{}0,1D ．{}2,0,1,4-2．复数z 满足5i 2z =-，则z =（）A ．1B ．2CD ．53．向量a ，b 满足1a b == ，a b ⊥ ，则3a b -= （）AB C D 4．研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：[)2,4，[)4,6，[)6,8，[)8,10，[)10,12，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（）A ．7B ．7.5C ．7.8D ．85．圆台的高为2，体积为14π，两底面圆的半径比为1:2，则母线和轴的夹角的正切值为（）A ．3B ．2C ．3D 6．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过上顶点A 作直线2AF 交椭圆于另一点B .若1AB F B =，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C D ．27．不等式()()210x ax x b ---≥对任意0x >恒成立，则22a b +的最小值为（）A．2B ．2C．D．28．设a ∈R ，函数()()sin 2π2π,,136,.x a x a f x x a a x a ⎧-<⎪=⎨---+≥⎪⎩若()f x 在区间()0,∞+内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A ．72,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]2,3C ．7572,,322⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ D ．752,,332⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、多选题9．已知数列{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，则（）A ．数列{}n n a b +是等比数列B ．数列{}n n a b ⋅是等比数列C ．数列n na b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D ．数列{}n b n a 是等比数列10．函数()e ln x f x a x =-，则（）A ．()f x 的图象过定点B ．当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增C ．当1a =时，()2f x >恒成立D ．存在0a >，使得()f x 与x 轴相切11．已知曲线C ：()3222217sin 7cos 6x y x y +--+=，下列说法正确的是（）A ．曲线C 过原点OB ．曲线C 关于y x =对称C ．曲线C 上存在一点P ，使得1OP =D ．若(),P x y 为曲线C 上一点，则3x y +<三、填空题12．已知()3x f x =，则()3log 2f =.13．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为C 上一点且3PF =，O 为坐标原点，则OPF S = .14．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.四、解答题15．在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 是边长为2的等边三角形，AB =2PB =，π2ABC ∠=.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求平面PAB 与平面PAC 的夹角的余弦值.16．已知数列{}n a 为等差数列，且满足()221n n a a n *=+∈N .(1)若11a =，求{}n a 的前n 项和n S ；(2)若数列{}n b 满足215134b b -=，且数列{}n n a b ⋅的前n 项和()13428n n T n +=-×+，求数列{}n b 的通项公式.17．已知53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>上一点，E的渐近线方程为2y x =±.(1)求E 的方程；(2)直线l 过点()1,1A ，且与E 的两支分别交于P ，Q 两点.若AP AQ PQ ⋅=l 的斜率.18．已知函数()sin f x ax x =.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若12a =-，求证：()1f x ≤；(3)若存在()00,πx ∈，使得对任意()00,x x ∈，均有()1f x <，求正实数a 的取值范围.19．开启某款保险柜需输入四位密码123s a a a x ，其中123a a a 为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是09 中的一个整数），s x 是根据开启时收到的动态校验钥匙s （s 为1~5中的一个随机整数）计算得到的动态校验码.s x 的具体计算方式：s x 是32123M a s a s a s =⋅+⋅+⋅的个位数字.例如：若静态密码为301，动态校验钥匙2s =，则3232021226M =⨯+⨯+⨯=，从而动态校验码26x =，进而得到四位开柜密码为3016.(1)若用户最终得到的四位开柜密码为2024，求所有可能的动态校验钥匙s ；(2)若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙5s =，求动态校验码s x 的概率分布列；(3)若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙()15,s i i i =≤≤∈N 的概率为i p ，其中i p 是互不相等的正数.记得到的动态校验码()09,s x k k k =≤≤∈N 的概率为k Q ，试比较0Q 与1Q 的大小.。
浙江省宁波市2024高三冲刺(高考数学)统编版能力评测(综合卷)完整试卷
浙江省宁波市2024高三冲刺（高考数学）统编版能力评测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（）A．B．C．D．第(2)题设实数，已知函数f(x)=，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（）A．4B．12C．16D．18第(4)题已知等差数列的前项和为，若，当时，有，则（）A．B．C．D．第(5)题如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．圆柱第(6)题若双曲线C：过点，则双曲线C的离心率为（）A．2B．4C．D．第(7)题若实数，满足，且，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，集合，则集合（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（）A．B．C．D．第(2)题已知是单位向量，且，则下列说法正确的是（）A．B．若，则C．的最大值为D．的最小值是第(3)题已知双曲线经过点，则（）A．的实轴长为B．的焦距为C．的离心率为D．的渐近线方程是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，则______第(2)题在中，，则_________，_________.第(3)题设是等差数列{}的前n项和，, ，则_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列是正项等比数列，是等差数列，且.(1)求数列和的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：；(3)表示不超过的最大整数，，求①；②.第(2)题有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下个球，则求的分布列与数学期望.第(3)题设，记的解集为．（1）求集合；（2）已知，比较与的大小．第(4)题已知椭圆的离心率为经过点P(0，1)与椭圆C的右顶点的直线斜率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点P且与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.第(5)题已知椭圆的离心率是，分别是椭圆C的左、右焦点，以线段为直径的圆的内接正三角形的边长为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点，直线与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值．。
浙江省宁波市(新版)2024高考数学统编版质量检测(强化卷)完整试卷
浙江省宁波市（新版）2024高考数学统编版质量检测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题等比数列的前项和为，若，，，，则（）A．30B．31C．62D．63第(2)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(3)题若能被13整除，则可以是（）A．0B．1C．11D．12第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．第(6)题已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为A．B．C．D．第(7)题设集合则A．B．C．D．第(8)题为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（）分A．84B．85C．86D．87二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若，则下列结果正确的是（）A．B．C．D．第(2)题下列说法中，其中正确的是（）A．命题：“”的否定是“”B．化简的结果为2C．…D．在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为.第(3)题下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知三棱锥P－ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线，，，则PB＝___．第(2)题已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是________.第(3)题若，则的最大值为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列的首项为1，前n项和为，且，其中．(1)求证：数列是等比数列；(2)当时，求证：．第(2)题已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求证．第(3)题如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且E，F分别为棱的中点，．(1)证明：平面．(2)求平面与平面的夹角的余弦值．第(4)题记的内角的对边分别为.已知．(1)求；(2)若为的中点，且，求．第(5)题随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为．(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；(2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？。
浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 下列选项中，角是第一象限角的是（ ）A．B．C．D．2. 已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．3. 如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD 是圆柱的轴截面，点E 在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（）A．B ．4C．D．4. 已知函数对任意都有，当时，（其中为自然对数的底数），若存在实数满足，则得取值范围为（ ）A．B．C．D．5.已知为等差数列，且，则（ ）A．B．C．D．6. 已知平面向量与的夹角是，且，则（ ）A．B．C．D．7. 在中，，，，，则（ ）A．B．C．D．8.已知边长为的正的顶点和点都在球的球面上.若，且平面，则球的表面积为（ ）A．B．C．D．9. 设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ）A．B．C ．直线的斜率为D ．的面积为浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题三、填空题四、解答题10. 截至2019年年末，中国大陆总人口约为14亿，为实现人口分布和就业结构更加合理，自上世纪90年代至今，我国城镇化发展迅速，如图是我国2011年至2019年的城镇化率走势图．预计到2035年，中国大陆总人口将增至亿，其中城市人口有亿．2011-2019年中国城镇化率走势图依据以上信息，下列判断正确的是（ ）．A ．我国城镇化率逐年提高B ．2019年我国城市人口比农村人口约多一倍C ．预计2035年我国农村人口比2019年农村人口少亿D ．预计2035年我国城镇化率高于70％11. 从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照，，…，分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示，则（）A ．直方图中的的值为0.0040B ．这100户居民月用电的平均数约为186度C ．这100户居民月用电的中位数约为200度D ．这100户居民月用电的众数约为175度12. 已知圆锥SO （O 是圆锥底面圆的圆心，S 是圆锥的顶点）的母线长为3，底面半径为．若P ，Q 为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ）A ．圆锥SO的侧面积为B ．SPQ面积的最大值为C ．三棱锥O -SPQ体积的最大值为D ．圆锥SO的内切球的体积为13. 若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是_________14. 教授对外汉语的张老师要求班上的留学生们从周一到周四每天学习2首唐诗及正确注释，每周五对一周内所学唐诗随机抽取4首进行检测.若已知抽取进行检测的4首唐诗中有一首是周四学的，则所抽取的4首唐诗中恰有3首来自本周后两天所学内容的概率为______.15. 设，为单位向量，且，则__．16. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.(1)求角A ；(2)若，且的周长为，求的面积.17. 已知椭圆：的右焦点为，且过点.(1)求的方程；(2)若点是上的一点，过作直线与相切，直线与轴的正半轴交于点，过与平行的直线交轴于点，且，求直线的方程.18. “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的互联网学习平台.该平台学习采取积分制管理，内容丰富多彩，涉及政治､经济､文化､社会､生态，表现形式有图片､文字､视频､考试､答题､互动等，让人们的生活充实而有质量.某市为了了解教职工在“学习强国”平台的学习情况，从该市教职工中随机抽取了200人，统计了他们在“学习强国”中获得的积分(单位：千分)并将样本数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）以样本估计总体，该市教职工在“学习强国”获得的积分近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，取.若该市恰有1万名教职工，试估计这些教职工中积分位于区间内的人数.（2）若以该市样本的频率估计邻市的概率(邻市对教职工学习“学习强国”的要求与该市相同，教职工的人数也与该市教职工的人数相当)，若从邻市教职工中随机抽取20人，设积分在3千分至9千分内的教职工人数为，求的期望.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.19. 已知数列满足，数列满足，记为数列的前项和.(1)是否存在，使为等比数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；(2)求.20. 如图，在三棱柱中，平面ABC ，D ，E 分别为AC ，的中点，，．(1)求证：平面BDE ；(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面ABE 的距离．21. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n +1．（1）求S n ；（2）设b n，求证：b 1+b 2+b 3+…+b n．。
浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）A．B．C．D．2. 在中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D的三等分点，则（ ）A．B．C．D．3. 在△中，，E是上一点．若，则（ ）A．B．C．D．4. 若f （x ）=x 3，f′（x 0）=3，则x 0的值是（ ）.A ．1B ．﹣1C ．±1D ．35. 函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ）A．B．C ．0D．6.在空间直角坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是，则的取值范围是( )．A．B．C．D．7. 若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（）A ．5000元B ．5500元C ．6000元D ．6500元8. 已知函数的定义域为R ，对任意实数x ，y 都有，当时，，且，则关于x 的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．9. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A．点的坐标为B ．若直线过点，则C ．若，则的最小值为D ．若，则线段的中点到轴的距离为10. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题三、填空题四、解答题对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（）A ．数列是公比为的等比数列B．C ．数列是公比为的等比数列D ．数列的前项和11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.给出下列命题，其中正确的命题为（）A ．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个B．函数可以是某个圆的“太极函数”C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”D ．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形12. 已知直线与函数的图象相交，A ，B ，C是从左到右的三个相邻交点，设，，则下列结论正确的是（ ）．A．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称B．若，则C ．若在上无最值，则的最大值为D．13.函数的最小正周期为________14. __________．15.记为数列的前项和，若，则______．16.如图，直三棱柱中，，，，D 为上的点，二面角的余弦值为.（1）求证：；（2）求点A到平面的距离.17. 已知函数.(1)求的最小值；(2)记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围.18. 已知函数.(1)若，求实数a的值；(2)已知且，求证：.19. 如图，在四棱锥中，平面，点E为的中点，连．(1)求证：平面；(2)求点D到平面的距离．20. 设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有唯一的零点，求实数的值；（3）讨论函数的零点个数.21. 如图，四边形为正方形，，，为锐角三角形，，分别是边，的中点，直线与平面所成的角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.。
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宁波市2023学年第一学期高考模拟考试
高三数学试卷
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知z 1=a −i z 2=1+bi (a,b ∈R ，i 为虚数单位），若z 1⋅z 2是实数，则A. aa −1=0 B. aa +1=0 C. a −a =0
D. a +a =0
2．设集合U =R ，集合M ={x|x 2−2x ≥0} N ={x|y =log 2
(1−x)}，则{x|x <2}=A.N M C. )N C (M U
B. N ∪(C U M) D. ∁U (M ∩N)
3．若b ,a 是夹角为60°的两个单位向量， aa +a 与−3a +2a 垂直，则a = A.81
B.41
C.87
D.
4
7 4．已知数列{a n } 为等比数列，且a 5=5，则
A. a 1+a 9的最小值为50 C. a 1+a 9的最小值为10
B. a 1+a 9的最大值为50 D. a 1+a 9的最大值为10
5．已知函数f(x)=2x +log 2x, ，x log )()x (g x 221
-=ℎ(x)=x 3+log 2x 的零点分别为a ，则
A. a >b >c C. c >a >b
B. b >a >c D. b >c >a
6．设O 为坐标原点， F 1,F 2为椭圆C ：12
42
2=+y x 的焦点，点P 在C 上， |OP|=√3，则cos∠F 1PF 2=
A.31
- B.0 C.31 D.
3
2
2 7．已知二面角P −AB −C 的大小为
4
3π
，球O 与直线AB 相切，且平面PAB ，平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径
分别为1，2，则球O 半径的最大可能值为
A.
2 B.22 D.10
8．已知函数f(x)=x 2+ax +b ，若不等式|f(x)|≤2在x ∈[1,5]上恒成立，则满足要求的有序数对（a ，b ）有 A ．0个 B ．1个 C ．2个
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知(1−2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，则下列说法正确的是A. 10=a C.154321-=++++a a a a a
B ．803-=a D. 121
420=++a a a 10．设O 为坐标原点，直线x +my −m −2=0过圆M:x 2+y 2−8x +6y =0 的圆心且交圆于 P,Q 两点，则A. 5=PQ B ．2
1
=
m C.OPQ ∆的面积为55 D. PQ OM ⊥ 11．函数)(x sin )x (f 0>=ωω在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-22ππ，上为单调函数，且图象关于直线32π=x 对称，则
f(x) 的图象向右平移 π个单位长度，所得图象关于y 轴对称3
2
f(x)在[]ππ2，上单调递减
f(x) 在区间),
a (914π上没有最小值，则实数a 的取值范围是),(9
1492π
π- D.若函数 f(x) 在区间),a (914π上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是),(03
4π
-
12．已知函数 : R →R ，对任意满足x +y +z =0 的实数z ,y ,x ，均有 f(x 3)+f 3(y)+f 3(z)=3xyz
，则
A.00=)(f
B.20242023=)(f
C.)x (f 是奇函数
D.)x (f 是周期函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P(1,3) sin(α+π)=，则
14．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为
3
14π
，则该圆台的侧面积为 15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为
21 ，200米比赛未能站上领奖台的概率为10
3
，两项比赛都未能站上领奖台的概率为10
1
，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是
16．已知抛物线Γ：x y 22=与直线4+-=x y :l 围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是
四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ， b ，c ，已知
A cos b
c
21+= （1）证明：A=2B
（2）若135
3
==c ,B sin ，求ABC ∆的面积.
18．（12分）已知数列{a n } 满足a 1=1 ，且对任意正整数m ，n 都有 a m+n =a n +a m +2mn. （1）求数列{a n } 的通项公式； （2）求数列{(−1)n a n }的前n 项和S n
19．（12分）如图，已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E 满足DE =3EA ，点F 是CC 1的中点，点G 满足DG =3
5GD 1
（1）求证：B 、E 、G 、F 四点共面； （2）求平面EFG 与平面A 1EF 夹角的余弦值.
20．（12分）已知函数f(x)=ae 2x +(a −4)e x −2x （e 为自然对数的底数， e =2.71828⋯...).
（1）讨论f(x) 的单调性；
（2）证明：当a >1时， f(x)>7lna −a −4.
21．（12分）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
（1）根据以上数据，能否有99％的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
（2）现有n (n ∈N +)根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i ）当n =3，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望； （ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为22n−1⋅n!(n−1)!
(2n)!
.
附： K 2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n =a +b +c +d.
22．（12分）已知双曲线C ：
)b ,a (b
y a
x 0012
2
>>=-
的焦距为6，其中一条渐近线l 的斜率为 ，过点
√5
2
(t,0)(t >a) 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与
1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点N ,T
（1）求C 的方程； （2）求
MN
OT MQ MP 的取值范围.。