人教B数学选修21课时分层作业 25 二面角及其度量 含解析

课时分层作业(二十五)二面角及其度

量

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则()

A．∠ADE是二面角A-PC-B的平面角

B．∠AED是二面角A-PB-C的平面角

C．∠DAE是二面角B-PA-C的平面角

D．∠ACB是二面角A-PC-B的平面角

B[由二面角的定义及三垂线定理，知选B.]

2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝

3

2a，则二面

角A-BC-D的大小为()

A．30°B．45°C．60°D．90°C[如图取BC的中点为E，连接AE，DE，

由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，

且AE＝DE＝3

2a，又AD＝

3

2a，

∴∠AED＝60°，即二面角A-BC-D的大小为60°.]

3．如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8，则侧面与底面所成的二面角为()

A.π

12 B.

π

4

C.π

6 D.

π

3

D [设正四棱锥的底面边长为a ，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h ，斜高为h ′，则1

2×2ah 4×1

2

ah ′＝68，∴h h ′＝32，∴sin θ＝32，即θ＝π

3.]

4．已知二面角α-l -β中，平面α的一个法向量为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1

2，－2，平

面β的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，12，2，则二面角α-l -β的大小为( )

A ．120°

B ．150°

C ．30°或150°

D ．60°或120°

C [设所求二面角的大小为θ，则|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝3

2，所以θ＝30°或150°.]

5．如图所示，P 是二面角α-AB -β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α-AB -β的大小为( )

A ．60°

B ．70°

C ．80°

D ．90°

D [不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，作M

E ⊥AB 交AB 于点E ，N

F ⊥AB 交AB 于点F (图略)，因为∠EPM ＝∠FPN ＝45°，故PE ＝a 2，PF ＝b

2，于是EM →·FN →＝(PM

→－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →

＝ab cos 60°－a ·b

2cos 45°－

a 2·

b cos 45°＋a 2·b 2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab 2＝0.因为EM ，FN 分别是α，β内的两条与

棱AB 垂直的线段，所以EM 与FN 之间的夹角就是所求二面角的大小，所以二面角α-AB -β的大小为90°.]

二、填空题

6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则

这个二面角的大小是________．

60°或120° [设二面角大小为θ，由题意可知 cos θ＝82＋52－722×8×5＝64＋25－4980＝12，

所以θ＝60°或120°.]

7．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，则二面角P -BC -A 的大小为________．

90° [取BC 的中点O ，连接PO ，AO (图略)，则∠POA 就是二面角P -BC -A 的平面角．又PO ＝AO ＝3，PA ＝6，所以∠POA ＝90°.]

8．在空间四面体O -ABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π

3，则cos 〈OA →

，

BC →

〉的值为________．

0 [OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →

＝|OA →|·|OC →|cos π3－|OA →|·|OB →

|·cos π

3

＝1

2|OA →|(|OC →|－|OB →

|)＝0. ∴cos 〈OA →·BC →

〉＝|OA →·BC →

|

|OA →||BC →|＝0.]

三、解答题

9．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，平面ABCD 是一个直角梯形，AB ⊥AD ，AB ，CD 为梯形的两腰，且AB ＝AD ＝AA 1＝a .

(1)若截面ACD 1的面积为S ，求点D 到平面ACD 1的距离； (2)当AB

BC 为何值时，平面AB 1C ⊥平面AB 1D 1?

[解] (1)由VD -ACD 1＝VC -ADD 1，过C 作CE ⊥AD ，垂足为E . ∵AA 1⊥平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面AA 1D 1D ，

∴CE ⊥平面AA 1D 1D ，∴CE ＝a 是C 到平面ADD 1的距离，设点D 到平面ACD 1的距离为h ，

由13Sh ＝13×12a 2×a ，得h ＝a 32S

. (2)分别以A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则A 1(0,0,0)，A (0,0，a )，B 1(a,0,0)，

设C (a ，b ，a )，且n 1＝(x ，y ，z )是平面AB 1C 的法向量， ∴AB 1→＝(a,0，－a )，AC →

＝(a ，b,0)．

则n 1·AB 1→＝0，n 1·AC →＝0，即ax －az ＝0，ax ＋by ＝0， 得z ＝x ，y ＝－a b x ，取x ＝1，则y ＝－a

b ，z ＝1，