平面向量内积坐运算

平面向量内积坐运算

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课 题：平面向量数量积的坐标表示
教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式
新疆 王新敞
奎屯
⑶能用所学知识解决有关综合问题 新疆 王新敞 奎屯
教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
a与
b
，作
OA
＝
a，
OB
＝
b
，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤
π）叫
a与
b
的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
a与
b
，它们的夹角是
θ，则数量|
a||
b
|cos叫
a与
b
的数量积，记作
a
b
，即有
a
b
=
|
a||
b
|cos，
（０≤θ≤π）.并规定
0
与任何向量的数量积为
0 新疆 王新敞
奎屯
3．向量的数量积的几何意义：
数量积
a
b
等于
a的长度与
b
在
a方向上投影|
b
|cos的乘积
新疆 王新敞
奎屯
4．两个向量的数量积的性质：
设
a、
b
为两个非零向量，
e是与
b
同向的单位向量
新疆 王新敞
奎屯
1 e a =
a
e
=|
a|cos；2
a
b
a
b
=0
3当
a与
b
同向时，
a
b
=
|
a||
b
|；当
a与
b
反向时，
a
b
= | a || b |新疆
王新敞
奎屯
特别的 a a = | a|2 或| a| a a
3

4cos = | aa||bb|
；5|
a
b
|
≤
|
a||
b
|
5． 平面向量数量积的运算律
交换律： a
b
=
b
a
数乘结合律：(
a)
b
=
(
a
b
)
=
a(
b
)
分配律：( a +
b
)
c
=
a c
+
b
c
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量
a
( x1 ,
y1 )
，b
(x2
,
y2
)
，试用
a和
b
的坐标表示
a
b
新疆 王新敞
奎屯
设 i 是 x 轴上的单位向量， j 是 y 轴上的单位向量，那么
a
x1i
y1 j ， b
x2i
y2
j
所以
a
b
(x1i
y1 j )( x2i
y2
j)
x1 x2i 2
x1 y2i
j
x2
y1i
j
y1 y2
j2

又i i 1， j j 1，i j j i 0
所以
a
b
x1 x2
y1 y2
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 新疆 王新敞 奎屯
即
a
b
x1 x2
y1 y2
2.平面内两点间的距离公式
（1）设 a (x, y) ，则| a|2 x2 y 2 或| a|
x y 2
2
新疆 王新敞
奎屯
（ 2 ） 如 果 表 示 向 量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 (x1, y1 ) 、
(x2 , y2 ) ，那么| a| (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定
设 a
( x1 ,
y1 ) ， b
(x2 ,
y2 ) ，则 a
b
x1 x2
y1 y2
0
4

4.两向量夹角的余弦（ 0 ）
cos
=
|
a
b
a| | b
|
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
三、讲解范例：
例1
设
a
=
(5,
7)，
b
=
(6,
4)，求
a
b
解：
a
b
=
5×(6)
+
(7)×(4)
=
30
+
28
=
2
例2
已知
a(1,
2)，
b
(2,
3)，
c(2,
5)，求证：△ABC
是直角三角形 新疆 王新敞
奎屯
证明：∵ AB =(21, 32) = (1, 1), AC = (21, 52) = (3, 3)
∴ AB AC =1×(3) + 1×3 = 0 ∴ AB AC
∴△ABC 是直角三角形
例3
已知
a
=
(3,
1)，
b
=
(1,
2)，求满足
x
a
=
9
与
x
b
新疆 = 4 的向量 x 王新敞
奎屯
解：设
x=
(t,
s)，
由
xxba94
3t t
s9 2s 4
t 2 s 3
∴
x=
(2,
3)
例 4 已知 a＝（１，
3 ），b ＝（
3 ＋１，
3
－１），则
a与
b
的夹角是多
少?
分析：为求
a与
b
夹角，需先求
a
b 及｜
a｜·｜
b
｜，再结合夹角θ的范围
确定其值.
解：由 a＝（１，
3 ）， b ＝（
3 ＋１，
3 －１）
有
a·
b
＝
3 ＋１＋
3（
3
－１）＝４，｜
a｜＝２，｜
b
｜＝２
2．
记
a与
b
的夹角为θ，则
cosθ＝
a
b
a
b
2 2
又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 4
5