3生命表PPT课件

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x岁余寿的生存函数
考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了 x岁 ，tqx实际是一个条件概率
t qx Pr[ x X t x | X x] F (t x) F (x)
1 F(x) s(x) s(x t)
s(x)
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x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u qx ，以
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生存分布
一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力 四、整值平均余寿与中值余寿
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新生儿的生存函数
F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F (x ) PX r x ( ) (x 0 )
fxF'x,x0
s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
qx
dx lx
lx
dxn
lxn
n
px
lxn lx
nqx n px 1
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生命表基本函数
nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。 人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是
1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假
设下，x~x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到
n｜m qx：表示x岁的人在x+n~x+n+m岁之间死亡的概率。 n ｜ m q x ＝ m d lx x n lx n lx lx n m n p x n m p x n p x m q x n
当 m 0 时 ， n ｜ 0 q x 0 ； 当 m 1 时 ， n ｜ m q x n ｜ 1 q x n ｜ q x ； 当 m 时 ， n ｜ q x np x 。
x
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死亡力
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死亡力
实际上生命表x岁平均余寿 e x 正是T(x)随机变量的期望值
exE [T (x)]0ttp x x td t0tp xd t
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死亡力
生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 0~1上的积分
dx
1
l0 xt xtdt
生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在0~1上的积分
1
Lx 0 lxtdt
生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0~∞上的积分
Tx 0 lxtdt
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死亡力
0
对于x岁期望剩余寿命 e x ，可以证明：
0 t t px xtdt
d ( t px ) tdt 0 dt
t
pxt
0
0 t pxdt
0
0 t p x d t e x
第三章 生命表
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生命表相关定义
生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。
封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
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生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx
lx=l0s(x)
而s(x)曲线形状如下图所示，
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x岁余寿的生存函数
x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
tqx Pr[T(x)t]
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示
x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t px 1t qx Pr[T(x)t]
(t0)
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
s ( x ) 1 F ( x ) P X r x )( ( x 0 )
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
P x X r z ) ( F ( z ) F ( x ) s ( x ) s ( z )
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新生儿的生存函数
生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积，
Pr(K(X)k)Pr(kT(x)k1) k1qxkqx kpxk1px kpxqxk kqx
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死亡力
定义：( x ) 的瞬时死亡率，简记 x
xss((xx))sf((xx))ln[s(x)]
死亡力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds}
0
xt
t p x e x p { s d s }
lx+n岁的人存活了n年，故
nLxnx lnn 2ndxn 2(lxlxn)
当n=1时，
Lx
1 2(lx
lx1)
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生命表基本函数
Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。x1
TxLxLx1 L1 Lxt t0
在均匀分布假设下，
Tx
i0
1 2
lxi
lxi1
e x ：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。
t2
k k｜q x 1｜q x 2｜q x 3｜q x
当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生
到死亡平均每人存活的年数。
ex
Tx lx
0t
pxdt
l xt 0 lx
dt
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生命表基本函数
n｜q x ：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，
或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。 n｜ qx＝ dlxx nlxl xnd lxx n nnpxqxn
概率的方式表示为：
q t｜u x Pr[t T (x) t u] tu qx t qx t px tu px t px u qxt
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整值剩余寿命
定义：( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x )
K ( X ) k , k T ( x ) k 1 ,k 0 ,1 , 概率函数
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整值平均余寿与中值余寿
x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数， 不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x) 的期望值，以ex表示，
exE [K (x) ] kkpxqxk kk ｜ qx
k0
k0
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整值平均余寿与中值余寿
由于，
px t qx
t 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 px t qx
nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
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生命表基本函数
lxdxn lxn
(1)
1
l0 d x
(2)
x0
n qx
ndx lx
d x d x1 lx
d xn1
(3)
qx 1 qx 2 qx q n1 x
n1
t qx
t0
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生命表基本函数
npx： x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。