高中数学 解三角形的实际应用举例
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1、正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，在同一铅垂面的水 平线和目标视线的夹角，视线在 水平线上方的角叫仰角，在水平 线下方的角叫做俯角。如图：
2、已知两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观 察站C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B 的距离为
3、如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡 走1000m至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 （ ） （A） 1000m （B） 1100m （C） 1200m （D）1300m
答：顶杠BC长约为1.89m.
试一试：
从地平面A、B、C 三点测得某山顶的仰角均为 15°，设 ∠BAC=30°,而BC=200 m.求山高（结果精确到0.1 m）
例题讲解：测量高度 例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 45和
答：烟囱的高为 29.89m.
试一试：
如图所示,在加工缝纫机挑线杆时，需要计算A，C两孔中心 的距离，已知BC=60.5 mm, AB=15.8mm ,∠ABC=80°,则 AC= mm（结果精确到 0.01 mm）
总结提升
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。
（3）如图，在200 m 高的山顶A处，测得山下一塔顶C
与塔底D的俯角分别是30ْ，60ْ，则塔高是400
3
A
米。
30°
E D
B
C
例题讲解：测量距离与边长
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油 泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
60，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。
（精确到0.01米） 想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：在BC1D1中, C1BD1 60 45 15,
（A） 南偏西 43°7‘
（B）北偏东43°7'
（C） 北偏西 46°53‘
（D） 南偏西46°53'
（2）有一长为10米的斜坡，它的倾斜角为，在不改变坡高和 坡顶的前提下，通过加长坡面的方法，将它的倾斜角改为，则 坡底要延长 （ C ） （A） 5m （B） 10m （C）10 2 m （D）10 3 m
1.40m
求BC的长，由于已知 ABC
的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC。
60
A
620'
解：由余弦定理，得
1.95m
B
BC2 AB2 AC2 2Aபைடு நூலகம் ACcos A
1.952 1.402 21.951.40 cos6620'
3.571
BC 1.89(m)
夹角为6 20，AC长为1.40m，计算BC的长度（结果精确到
0.01m）．
（1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
实例讲解
分析：这个问题就是在ABC
C
中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,
BAC 60 620' 6620'
由正弦定理可得: C1D1 BC1 sin B sin D1
A1
C1
D1
C
D
A
BC1
C1D1 sin sin B
D1
12 sin120 s in 15
18
26
6
2 A1B 2 BC1 18 6 3 28.392
AB A1B AA1 28.39 1.5 29.89(m)
数学模型
实际问题的解
解 三 角 形 检验（答）
数学模型的解
2、方向角：指北或指南方向 线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫方向角， 如图
解应用题的一般步骤
3、1.坡审度题与坡角:坡面与水 平面的夹角叫坡角，坡面 与垂直高度 h和水平宽度l
i
h l
tan
a
的比叫坡度
h
a
l
自主测评
（1）在某次测量中，A在B 的北偏东43°7', 则B在A 的 （ C ）
(2)解决实际应用问题的步骤
实际问题
分析转化
检 验
数学问题（画出图形）
数学结论
解三角形问题
能力拓展
1、如图，B、C、D在地平面同一直线上，DC=100 m,从D、C两地测得 A的仰角分别为30°和45°，则点A离地面的高AB等于 （ ）
（A） 100 m （C） 50( 3 1) m
（B）50 3 m （D）50( 3 1) m
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为： 实际问题 画图形
a b c 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，在同一铅垂面的水 平线和目标视线的夹角，视线在 水平线上方的角叫仰角，在水平 线下方的角叫做俯角。如图：
2、已知两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观 察站C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B 的距离为
3、如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡 走1000m至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 （ ） （A） 1000m （B） 1100m （C） 1200m （D）1300m
答：顶杠BC长约为1.89m.
试一试：
从地平面A、B、C 三点测得某山顶的仰角均为 15°，设 ∠BAC=30°,而BC=200 m.求山高（结果精确到0.1 m）
例题讲解：测量高度 例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 45和
答：烟囱的高为 29.89m.
试一试：
如图所示,在加工缝纫机挑线杆时，需要计算A，C两孔中心 的距离，已知BC=60.5 mm, AB=15.8mm ,∠ABC=80°,则 AC= mm（结果精确到 0.01 mm）
总结提升
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。
（3）如图，在200 m 高的山顶A处，测得山下一塔顶C
与塔底D的俯角分别是30ْ，60ْ，则塔高是400
3
A
米。
30°
E D
B
C
例题讲解：测量距离与边长
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油 泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
60，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。
（精确到0.01米） 想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：在BC1D1中, C1BD1 60 45 15,
（A） 南偏西 43°7‘
（B）北偏东43°7'
（C） 北偏西 46°53‘
（D） 南偏西46°53'
（2）有一长为10米的斜坡，它的倾斜角为，在不改变坡高和 坡顶的前提下，通过加长坡面的方法，将它的倾斜角改为，则 坡底要延长 （ C ） （A） 5m （B） 10m （C）10 2 m （D）10 3 m
1.40m
求BC的长，由于已知 ABC
的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC。
60
A
620'
解：由余弦定理，得
1.95m
B
BC2 AB2 AC2 2Aபைடு நூலகம் ACcos A
1.952 1.402 21.951.40 cos6620'
3.571
BC 1.89(m)
夹角为6 20，AC长为1.40m，计算BC的长度（结果精确到
0.01m）．
（1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
实例讲解
分析：这个问题就是在ABC
C
中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,
BAC 60 620' 6620'
由正弦定理可得: C1D1 BC1 sin B sin D1
A1
C1
D1
C
D
A
BC1
C1D1 sin sin B
D1
12 sin120 s in 15
18
26
6
2 A1B 2 BC1 18 6 3 28.392
AB A1B AA1 28.39 1.5 29.89(m)
数学模型
实际问题的解
解 三 角 形 检验（答）
数学模型的解
2、方向角：指北或指南方向 线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫方向角， 如图
解应用题的一般步骤
3、1.坡审度题与坡角:坡面与水 平面的夹角叫坡角，坡面 与垂直高度 h和水平宽度l
i
h l
tan
a
的比叫坡度
h
a
l
自主测评
（1）在某次测量中，A在B 的北偏东43°7', 则B在A 的 （ C ）
(2)解决实际应用问题的步骤
实际问题
分析转化
检 验
数学问题（画出图形）
数学结论
解三角形问题
能力拓展
1、如图，B、C、D在地平面同一直线上，DC=100 m,从D、C两地测得 A的仰角分别为30°和45°，则点A离地面的高AB等于 （ ）
（A） 100 m （C） 50( 3 1) m
（B）50 3 m （D）50( 3 1) m
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为： 实际问题 画图形