基本不等式的向量形式

基本不等式的向量形式

[思维扩展]

波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．

我们知道，a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R)以及

a ＋b

2

≥ab (a ，b ∈R ＋)是

两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？

由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．

但将

a ＋b

2

≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为

a ＋b

2

≥a ·b 就不行

了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．

注意到a ＋b

2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

≥a ·b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2

＋4a ·b ≥4a ·b

可得⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．

这样，我们就得到如下两个结论：

定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．

定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

≥a ·b ，当且仅当a ＝b

时等号成立．

例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98

解析 方法一 由定理1得 32≥|2a －b |2＝(2a －b )2 ＝(－2a )2＋b 2－4a ·b

≥2·(－2a ·b )－4a ·b ＝－8a ·b ，

所以a ·b ≥－9

8，当且仅当b ＝－2a 时等号成立，

故a ·b 的最小值是－9

8.

方法二 由定理2得

2a ·(－b )≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a －b 22＝|2a －b |24≤9

4， 则a ·b ≥－9

8，当且仅当b ＝－2a 时等号成立．

故a ·b 的最小值是－9

8

.

说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a ，b 满足：|λa ＋b |≤

m (m >0)，则当λ>0时，a ·b 的最大值为m 2

4λ；当λ<0时，a ·b 的最

小值为m 2

4λ

.

例2 已知a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的最小值为________．

分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．

答案 12

解析 引入正参数λ，

由(a ＋b )·(a －2b )＝0得a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，则1－2b 2＝a ·b ，

1－2b 2

＝a ·b ≤12⎝

⎛⎭⎪⎫λa 2

＋1λb 2

＝12(λ＋1λb 2

)， 当且仅当λa 2

＝

1

λ

b 2，即b 2＝λ2时等号成立．

所以1－2λ2＝a ·b ≤12⎝

⎛⎭⎪⎫λa 2

＋1λb 2

＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫λ＋1λ·λ2

，

解得λ＝|b |≥1

2，

故|b |的最小值为1

2

.

例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，求|c |的最大值． 解 由(a －c )·(b －c )＝0得c 2＝c ·(a ＋b )， 由定理1及已知条件得 c 2

＝c ·(a ＋b )≤12

[c 2

＋(a ＋b )2]

＝12(c 2＋a 2＋b 2)＝1

2(c 2＋2)， 解得|c |2≤2，故|c|的最大值是 2.

拓展1 已知a ，b 是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是

1cos

θ

2

.

拓展2 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a |＝m ，|b |＝n ，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是m 2＋n 2. 例4 平面上三点A ，B ，C 满足AB →·BC →>0，求AC →2＋

1

AB →·BC

→的最小值．

解 由定理2得0

⎪⎪⎫AB →＋BC →22＝1

4AC →2， 则 AC →2＋

1

AB →·BC →≥AC →2＋4AC →2

＝|AC →|2＋4|AC →|2≥2·|AC →|·2|AC →|＝4，

故当且仅当AB →＝BC →，且|AC →|＝2时，AC →2＋

1

AB →·BC →取得最小值4.

例5 设a ，b 满足a 2＋a ·b ＋b 2＝3，求a 2－a ·b ＋b 2的取值范围． 解 由定理1得a ·b ≤

a 2＋

b 2

2

，

所以a ·b ≤3－a ·b

2，

解得a ·b ≤1.

又由定理1得(－a )·b ≤－a 2＋b 2

2，

所以a ·b ≥－

a 2＋

b 2

2＝－3－a ·b 2

，解得a ·b ≥－3.

所以－3≤a ·b ≤1.