分段函数常见题型汇总
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分段函数常见题型汇总
分段函数是高中阶段的一个非常重要的内容,在近几年各省的高考中频繁出现。必修一(人教版)第21页例5、例6都是关于分段函数的,课后习题第23页第3题、24页A组第7题、25页B组第3题以及45页第4、7题都是针对分段函数设置的,可见,教材对分段函数非常重视。
对于分段函数,我们必须首先认识到它是一个函数,不是几个函数,是自变量在不同范围对应不同的解析式。下面分类对一些题目进行分析。
1.画分段函数的图像并求值域
例1.已知y=x-1+x-2,作出这个函数的图像,并求值域.
分析:对于这种类型的题目,必须首先根据绝对值的概念把绝对值符号去掉,转化为分段函数处理,对于端点要特别注意,应分清是空心还是实心。
解:由绝对值的概念,得:y=3-2x(x≤1),1(12)
所以,函数y=x-1+x-2的图像如图所示,根据图像,我们可以得出函数的值域为[1,∞).
2.求分段函数的函数值
例2.设函数f(x)=1-x2(x≤1),x2+x-2(x>1)求f()的值.
分析:求分段函数的函数值,首先应确定自变量的范围,然后按相应的对应关系求值,对于多层的求函数值的问题,要“由内及外”求,即先求最里面一层,然后依次往外求。
解:因为2>1,所以f(2)=22+2-2=4,所以=,因为<1,所以
f()=f()=.
例3.f(x)=x-4(x≥11),f[f(x+7)](x<11)求f(6)的值.
分析:此类问题需注意的是多次“循环求值”,才能求出最后的结果。
解:f(6)=f[f(13)]=f(9)=f[f(16)]=f(12)=8.
3.解方程问题
例4.已知函数f(x)=2x2+1(x≤3),4x(x>3)如果f (x0)=33,求x0的值.
分析:这种问题考虑要全面,要分类处理,并且还要检验求出来的根是否在相应的自变量范围内。
解:当x0≤3时,2x02+1=33,解得x0=±4.又因为x0≤3,所以x0只能为
-4.当x0>3时,4x0=33,解得x0=>3,所以x0的值为-4或.
4.分段函数的奇偶性问题
例5.判断函数f(x)=x2+1(x>0),-x2-1(x<0)的奇偶
性.
分析:判断函数的奇偶性,首先应验证函数定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称,则是非奇非偶函数,若关于原点对称再考查f(x)是否等于f(-x)或-f(x),或者f (-x)×f(x)=0,f(-x)-f(x)=0.但对于分段函数,则需分段判断。
解:f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.当x0.故f(-x)=
-(-x)2-1=-x2-1=-f(x).当x>0时,-x<0.故f(-x)=(-x)2+1=x2+1=-(-x2-1)=-f(x).
综上,对于定义域内任意x都有:f(-x)=-f(x).所以
f(x)在{x|x≠0}上是奇函数。
另外,在实际生活中我们可以用分段函数描述很多问题,如出租车计费、个人所得税纳税问题等等,我们必须给与足够的重视,必须认识到它是一个函数,只是自变量在不同范围对应不同的解析式。
(作者单位广东省肇庆市端州区仕贤路1号肇庆中学
高中部)