分段函数常见题型汇总

分段函数常见题型汇总

分段函数是高中阶段的一个非常重要的内容，在近几年各省的高考中频繁出现。必修一（人教版）第21页例5、例6都是关于分段函数的，课后习题第23页第3题、24页A组第7题、25页B组第3题以及45页第4、7题都是针对分段函数设置的，可见，教材对分段函数非常重视。

对于分段函数，我们必须首先认识到它是一个函数，不是几个函数，是自变量在不同范围对应不同的解析式。下面分类对一些题目进行分析。

1.画分段函数的图像并求值域

例1.已知y=x-1+x-2，作出这个函数的图像，并求值域.

分析：对于这种类型的题目，必须首先根据绝对值的概念把绝对值符号去掉，转化为分段函数处理，对于端点要特别注意，应分清是空心还是实心。

解：由绝对值的概念，得：y=3-2x（x≤1），1（12）

所以，函数y=x-1+x-2的图像如图所示，根据图像，我们可以得出函数的值域为［1，∞）.

2.求分段函数的函数值

例2.设函数f（x）=1-x2（x≤1），x2+x-2（x>1）求f（）的值.

分析：求分段函数的函数值，首先应确定自变量的范围，然后按相应的对应关系求值，对于多层的求函数值的问题，要“由内及外”求，即先求最里面一层，然后依次往外求。

解：因为2>1，所以f（2）=22+2-2=4，所以=，因为<1，所以

f（）=f（）=.

例3.f（x）=x-4（x≥11），f［f（x+7）］（x<11）求f（6）的值.

分析：此类问题需注意的是多次“循环求值”，才能求出最后的结果。

解：f（6）=f［f（13）］=f（9）=f［f（16）］=f（12）=8.

3.解方程问题

例4.已知函数f（x）=2x2+1（x≤3），4x（x>3）如果f （x0）=33，求x0的值.

分析：这种问题考虑要全面，要分类处理，并且还要检验求出来的根是否在相应的自变量范围内。

解：当x0≤3时，2x02+1=33，解得x0=±4.又因为x0≤3，所以x0只能为

-4.当x0>3时，4x0=33，解得x0=>3，所以x0的值为-4或.

4.分段函数的奇偶性问题

例5.判断函数f（x）=x2+1（x>0），-x2-1（x<0）的奇偶

性.

分析：判断函数的奇偶性，首先应验证函数定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数，若关于原点对称再考查f（x）是否等于f（-x）或-f（x），或者f （-x）×f（x）=0，f（-x）-f（x）=0.但对于分段函数，则需分段判断。

解：f（x）的定义域为｛x｜x≠0｝，关于原点对称.当x0.故f（-x）=

-（-x）2-1=-x2-1=-f（x）.当x>0时，-x<0.故f（-x）=（-x）2+1=x2+1=-（-x2-1）=-f（x）.

综上，对于定义域内任意x都有：f（-x）=-f（x）.所以

f（x）在｛x｜x≠0｝上是奇函数。

另外，在实际生活中我们可以用分段函数描述很多问题，如出租车计费、个人所得税纳税问题等等，我们必须给与足够的重视，必须认识到它是一个函数，只是自变量在不同范围对应不同的解析式。

（作者单位广东省肇庆市端州区仕贤路1号肇庆中学

高中部）