电磁场习题答案

1-8 参照例图 1.1，设有标量 f ( R) ，求证：以 p ′( x ′, y ′, z ′) 为动点时的梯度 ∇ ′f ( R) 间与
以 p ( x, y, z ) 为 动 点 的 梯 度 ∇f ( R ) 间 满 足 关 系 ： ∇ ′f ( R ) = −∇f ( R ) 。 其 中
R = r − r′ 。
∇• （AR） 。
答案： ∇ ? R = ; ∇ × R = 0; ∇ × ( R R ) = 0; ∇ ? AR ) = 3 A 。
( )
1-12 证明： ∇ • ( A × B) = B • (∇ × A) − A • (∇ × B) 。 1-13 证明旋度定理（1.47） 。
2 2 1-14 在圆球坐标系中， 已知 A = (sin θ R )a R + R sin θa θ + R sin θ cos ϕa ϕ ， 求∇ • A 。
2
坐标原点一侧空间中的电场强度。 答案： E = 8.34( ax − 3a y + 6az ) 2—5
V m。
一点电荷 Q = 50 nC ，位于直角坐标系的原点，求点 （2，， 4 − 5） 处的电通量密度。
答案： D = 2—6
5 (2ax + 4a y − 5az ) 。 54π
两种理想电介质的相对介电常数分别为 ε r1 = 2.5和ε r 2 = 5 ，其分界面为 z = 0 的平 面。若已知介质 1 中的电场强度 E = 3a x + 4 a y + 6 a z ，求：① 介质 2 一侧的电场强 度 E2 和电位移矢量 D2 ；② E2 和 D2 是介质 2 中任意点处的场量表达式吗？为什 么？ 答案：① E2 = 3ax + 4a y + 3az ; D2 = ε 0 (15ax + 20a y + 15az ) 。
A = (a sin θ cos ϕ + b sin θ sin ϕ + c cos θ )aR + (a cosθ cos ϕ + b cosθ sin ϕ − c sin θ )aθ + (b cos ϕ − a sin ϕ )aϕ
2 1-23 已知直角坐标系中矢量为 A = a x x 2 + a y ( xy ) + a （ z x
1-9 已知一标量函数 φ = sin （πx 2） sin （πy 3） e − z ，求：① 点 p（ 1， 2， 3） 处 φ 增加速率最
快的方向及大小； ② 点 p（ 处向坐标原点方向 φ 增加速率 1， 2， 3） （方向导数） 的大小。 答案：① am =
-1
π 2 + 27
=
(π ay + 3 3az ), ∇u =
答案： I = (5 + 100 e 2—3
−1.5
)π
μA 。
2
圆球坐标系中，体电流密度 J = 10 sin θ a R A/m ，求穿过半径 R = 0.2 m 处的球 表面上的总电流。 答案： I = 0.4π aR 。
2
2—4
面电荷密度 ρ s = 1 nC/m 的电荷均匀分布于平面 − x + 3 y − 6 z = 6 m 上。求包含
1
答案： am =
∂V 1 (7ax − 4az ); ∂l 65
= ∇u = 65 。
max
1-7 求标量函数 φ = 2 x 2 y + 3 y 2 z + xz 2 在点 (1, − 1, 1) 处沿矢量 l = yzax + xza y + xyaz 方
向的方向导数。 答案：
∂φ = −2 3 。 ∂l p
Ay = (
2 xy
x +y
2 2
+ x 2 yz + y 3 z + yz 3 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ；
Az = (
2 xz
x +y
2 2
− x4 − 2 x2 y 2 − x2 z 2 − y 2 z 2 − y 4 ) ( x2 + y 2 + z 2 )2 。
1-26 球 坐 标 系 中 的 两 个 矢 径 r1 和 r2 的 终 点 p1 和 p 2 的 坐 标 分 别 为 ( R1 ,θ 1 , ϕ 1 ) 和
；
⑥ 和
A• （B × C）=（A • B ） × C = −42 A× （B × C）=55ax − 44a y − 11az 。
1-2
（A × B ） × C = 2ax − 40a y + 5az
已知 A = ax + 2a y − az ， B = aax + ba y ，若 B ⊥ A ，且 B 的模为 1，求 a, b 。
e −3 π 2 + 27 ； 6
②
∂V ∂l
(1,2,3)
14 −3 3 14 −3 e 。 πe + 42 28
1-10 根据散度定义式（1.31） ，证明直角坐标系下矢量 A 的散度表达式（1.32） 。 1-11 已知 R = a x x + a y y + a z z ，A 为一常量，R = R ， 求：∇ • R ；∇ × R ；∇ × R R ；
v
2 3 1-19 若矢量 A = a（ ， 1 ≤ R ≤ 2 ，求 ∫ ∇ • A d V 。 R cos ϕ R ）
答案：①
∫
V
(∇ ? A dV = −π 。
2 1-20 试证 ∇（ e − jkR R） = − k 2 (e− j kR R) ，式中 k 为常数。
1-21 已知圆柱坐标系中矢量为 A = a r (1 r ) + a ϕ (2 r ) ，求该矢量在直角坐标系中的表达
( R2 ,θ 2 , ϕ 2 ) 。 ① 根据 r1 和 r2 的终端坐标， 确定 r1 和 r2 之间的夹角的余弦 cos(r1 , r2 ) ；
② 求矢径 r1 和 r2 的球坐标分量。 答案：① cos(r1 , r2 ) =
r1 • r2 = sin θ1 sin θ 2 cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + cos θ1 cosθ 2 ； r1 r2
x = p cosh ξ cosη，y = p sinh ξ sin η，z = z ，其中 p 为常数，为 ξ = cost . 的椭圆
柱面和 η = cost . 的双曲柱面的半焦距。 求这两种坐标系单位矢量间的变换矩阵 [M ] 。
⎡ 2 sinh ξ cos η ⎢ ⎢ cosh 2ξ − cos 2η ⎢ 2 cosh ξ sin η 答案： [ M ] = ⎢ − ⎢ cosh 2ξ − cos 2η ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
cos θ ⎤ ⎡ Aix ⎤ ⎢ ⎥ − sin θ ⎥ ⎥ ⎢ Aiy ⎥ ， 0 ⎥ ⎦⎢ ⎣ Aiz ⎥ ⎦
而 Aix = Ri sin θ i cos ϕ i , Aiy = Ri sin θ i sin ϕ i , Aiz = Ri cos ϕ i 。
1-27 已 知 椭 圆 柱 坐 标 （ξ，η，z） 与 直 角 坐 标（x，y，z） 间 的 关 系 为
答案： ∇ • A =
sinθ + 2R cosθ − R sin ϕ 。 R2
2 2 2 2 1-15 已知矢量 A = a x x 2 + a （ ，求：① ∇ • A ；② ∇ • A 对中心 y xy） + a （ z 24 x y z ）
原点的一个单位立方体的体积分；③ A 对此立方体表面的面积分并验证散度定理。
1-25 已知圆球坐标系中矢量为 A = a R (2 cos ϕ R 3 ) + a θ sin θ ，求该矢量在直角坐标系中
的表达式。
3
答案： A = ax Ax + a y Ay + az Az 其中， Ax = (
2 x2 x +y
2 2
+ x3 z + xy 2 z + xz 3 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ；
2 5⎫ ⎪ 5 ⎪ 答案： ⎬ 或 5 ⎪ b= 5 ⎪ ⎭ a=−
1-3 1-4
2 5⎫ ⎪ 5 ⎪ ⎬ 5⎪ b=− 5 ⎪ ⎭ a=
2
若矢量 A 和矢量 B 是任意常矢量，证明： A × B
= A2 B 2 − A • B 。
(
)
2
求圆柱坐标系中从 z 轴上的 z = z 0 指向点处 p （r，ϕ，） 0 的单位矢量。 答案： aR =
式。 答案： A = a x
x − 2y y − 2x + ay 2 。 2 2 x +y x + y2
1-22 已知 A = a a x + b a y + c a z ，写出圆柱坐标系和圆球坐标系下 A 的表达式。
答案： A = (a cos ϕ + b sin ϕ ) ar + (b cos ϕ − a sin ϕ )aϕ + caz ；
2 2 2 2 1-17 已知矢量 A = a x x 2 + a （ ，①求 A 沿圆周 x + y = a 的线积分；② 应用斯 y xy ）
托克斯定理求解此线积分。 答案：①
∫
l
A •dl =
π
4
a 4 ；②
∫ (∇ × A) dS = 4 a
l
π
4
。
1-18 试在直角坐标系下证明： −
1 2 ∇ (1 R)=δ(r − r ′)。 4π