正多边形有关的证明及计算

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基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习 点
1. 掌握正多边形的相关概念，会依据圆的性质证明
础 达
睛
标
一个多边形是正多边形，并会利用等分圆周的方法画正多边
精
题 例
形.
知 能
解
· 2. 会进行与正多边形有关的角度、周长、面积等方面的计算，
提
举
升
一 反
并会用相关知识解决实际问题 .
作
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
正多边形的定义、相关概念及画法
练
·
·
预 习
【例1】已知：如图，△ ABC是⊙O的
基 础
点
达
睛 内接等腰三角形，顶角∠ BAC=36 °，
标
精 题
弦BD、CE分别平分∠ ABC、∠ACB，
知
例
能
解 求证：五边形 AEBCD 是正五边形 .
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
· 预
【思路点拨】
· 基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础 梳
【自主解答】 ∵△ABC 为等腰三角形，∠ BAC=36 °，
时 训
理
练
· ∴∠ABC=∠ACB=72°.又∵BD 、CE分别平分∠ ABC ，∠ACB ， ·
预
基
习 点
∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36° .
础 达
睛
标
∴ A? D ? C? D ? B? C ? B? E ? A? E.
精
题 例
∴AD=CD=BC=BE=E?ABED, ? B? CA ? 3∴A? ∠D.EAD=∠AEB.
知 能
解
· 同理：∠ EBC= ∠BCD= ∠CDA= ∠DAE. ∴五边形 AEBCD 是正
提
举
升
一 反
五边形 .
作
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
正多边形的判定方法由定义可知，须从两个方面进
练
·
·
预
基
习 行证明： (1) 各角相等；
础
点
达
睛 (2) 各边相等，二者缺一不可 .与圆有关的正多边形的判定，
标
精 题
证明的途径是根据等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等 .
知
例
能
解 正多边形的性质除边、角的相等关系之外，还有其对称性等 . 提
·
举 一
利用等分圆周的方法可以作圆内接正多边形 .
升 作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
· 1.下列命题中正确的有 ( )
·
预
基
习 ①各边相等的三角形是正三角形；②各角相等的多边形是正
点
础 达
睛
标
多边形；③各边相等的多边形是正多边形；④各边相等的圆
精
题 内接多边形是正多边形；⑤各角相等的圆内接多边形是正多
知
例
能
解 ·
边形.
提
举
升
一 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理 【解析】 选B. 判断一个多边形要紧扣定义，同时注意三角形
练
·
·
预 习
的特殊性，根据等边对等角，所以各边相等的三角形的各角
基 础
点
达
睛 也相等，故①正确；②、③不符合定义，如矩形满足各角相
标
精 等，菱形满足各边相等，但都不是正多边形；由正多边形和
题
知
例
能
解 圆的关系可知：弦相等→弧相等→多边形为正多边形，故④
提
·
举 一
正确.⑤不正确，如：圆内接矩形就不是正多边形 .故选B.
升 作
反
三
业
基
课
础 2.已知⊙ O,半径为 2 cm, 求作⊙O的内接正八边形 .
梳
时 训
理
练
· 【解析】 (1) 如图所示，作直径 AC.
·
预
基
习 点
(2) 作AC 的中垂线 BD 交⊙O于B，D两点.
础 达
睛
标
(3) 连接AD ，作AD 的中垂线交A? D 于M点.
精
题 例
(4) 同法作出 A? B,B? C的,C?中D 点分别为 E，F，G.
知 能
解 ·
(5) 依次连接 A，E，B，F，C，G，D，M，即得正八边形 .即 提
举
升
一
正
作
反
三
业
八边形AEBFCGDM 即为所求作的⊙ O的内接正八边形 .
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
正多边形的边数为偶数时，既是轴对称图形又是中
基
习
础
点 睛
心对称图形，它的对称中心就是正多边形的中心；边数为奇
达 标
精 数时，只是轴对称图形，但不是中心对称图形 .
题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
正多边形有关的证明及计算
理
训 练
·
·
预 【例2】如图，△ PQR是⊙O的内接正三角
基
习
础
点 睛
形，四边形 ABCD是⊙O的内接正方形，
达 标
精 BC∥QR，⊙ O的半径为 4.
题
知
例 (1)求∠AOQ；
能
解
提
·
举 (2)求△PQR与四边形 ABCD的周长 .
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预 【思路点拨】 求解∠AOQ 的度数，关键是求出圆内接正多边
基
习
础
点 睛
形的中心角，正多边形周长的计算，在多边形的外接圆的半
达 标
精 径、边心距和边长的一半构成的直角三角形中利用勾股定理
题
知
例 求解.
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
【自主解答】 (1) 延长PO 交QR于E，交BC于F，连接OR，
基
课
础
时
梳 ∵△PQR 为正三角形，∴∠ POQ=120 °，
训
理
练
· 预
∵OP=OQ,∴∠OPQ=∠OQP=30°，
· 基
习
础
点 同理∠OPR=30 °，∴∠OPQ=∠OPR.
达
睛
标
∵PR=PQ，∴PE⊥QR，
精 题
知
例 又∵BC∥QR，∴PE⊥BC.
能
解
提
· 举
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC，∴PE⊥AD，
升
一
反 ∵∠OAD=45 °，
作
三
业
∴∠AOP=45 °，∴∠AOQ=120 °－45 °=75 °.
基
课
础
时
梳
训
理 ·
(2) 连接OC，由(1) 的计算可知，
练 ·
预
基
习 点
OE=1 OR=2,∴ ER ? OR 2 ? OE 2 ? 2 3,? QR ? 4 3,
2
睛
础 达 标
∴△PQR 的周长是 12 3
精
题 例
设FC的长为x ，则x2+x 2=42，解得2x=2 ,
知 能
解 ·
∴四边形 ABCD 的周长为8 2 .
提
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
解决正多边形的有关计算，首先要辨清正多边形的
·
预
基
习 点
边长、半径、边心距、中心角等概念及它们之间的关系；计
础 达
睛
标
算其周长或面积时，需要利用正多边形外接圆的半径、边心