6.1 平方根、立方根—(含有教学反思)

6.1 平方根、立方根
（一）平方根
一、教材分析
本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。

这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。

二、学情分析
上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。

三、教学目标
1、掌握平方根及算术平方根的概念。

2、能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根。

3、培养学生观察问题和概括问题的能力。

四、教学重点、难点
1、教学重点：平方根和算术平方根的概念和性质。

2、教学难点：平方根与算术平方根的区别与联系。

五、教法设计
根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。

六、教学过程
㈠创设情境，导入新课
洋洋在玩“七巧板”时，不小心把“七巧板”里面的正方形丢了，爸爸决定自己做一个和原来一样的正方形．但现在只知道正方形的面积是25平方厘米，问爸爸能否完成这个任务?
(学生探讨，回答问题)
㈡观察概括
由正方形的面积容易得到其边长为5厘米，故爸爸要完成任务只需做一个边长为5厘米的正方形即可．由此引入平方根的意义。

1、平方根：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根。

问题：25的平方根只有一个吗?
(学生回答问题，引导发现一个正数的平方根有2个，且互为相反数)
2、 试一试：
(1) 144的平方根是多少?
(2) 0的平方根是多少? (3) 25
4的平方根是多少? (4) －4有没有平方根?为什么?
(请学生自己也编3道题目，同桌交换解答，你发现了什么?)
通过“试一试”让学生自己发现结论，教师再加以总结。

概括：
（1） 一个正数有两个平方根，且互为相反数；
（2） 零只有一个平方根；
（3） 负数没有平方根。

3、算术平方根：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根。

记作a ，读作“根号a ” 。

问题：
（1） 正数a 的平方根怎样记?
（2） 零的算术平方根是什么?
4、 开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

引导学生认识到将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根。

㈢练习反馈
例1 将下列各数开平方：
(1) 49； (2) 1.69．
(题(1)由学生口述，老师边纠正边板演，题(2)由学生独立完成)
㈣课堂小结
求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算是已知指数和幂求底数．平方与开平方互为逆运算．一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0．但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0．负数没有平方根．因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。

七、作业布置
1、课后练习与习题。

2、补充：判断下列说法是否正确：
(1) ±1的平方根是1．
(2) 1的平方根是1．
(3) －25的平方根是±5． (4)324＝±18．
(5) 9是(－9)2的算术平方根．
(6) －5是25的平方根．
八、板书设计
6.1．1 平方根
1、平方根的定义
2、开平方
3、例题讲解
九、教学反思
对于数学课堂教学，我们教师要时刻关注学生的参与程度、合作交流的意识、情感、态度的发展以及对问题探讨的深度与广度等，例如在探讨一个数的平方根
时，学生就提出了“2是什么数”的问题，对于出现这种情况，作为老师这是
意料之中的情况，但是从学生的角度这就足以说明学生是在“数学地”思考问题，所以在设计同一个问题时，教师要设计不同层次的问题，力求每一个学生都“有题可答”，真正意义上让每一个学生都能得到不同程度的发展,培养其学习数学的自信心.
（二）立方根
一、教材分析
类比着平方运算与开平方运算的互逆关系，探讨了立方运算与开立方运算的互逆关系，学习求数的立方根的方法。

在这个“议一议”栏目中，由学生归纳给出“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”等这些数的立方根的特征．最后，教科书介绍了立方根的符号表示，并利用这种符号表示探讨了立方根的一条性质。

二、学情分析
学生前而已经学习了数的平方报，有一定的知识基础，估计在本节课的学习中学生能够在教学的引导和点拨下，再过动手实践，自主挥索与合作交流艾学习方式下能够基本上得到掌握。

但对于几年级学生对问题的理解习惯于直观具体形象的感性认识，抽象思维能力不强。

三、教学目标
1、了解立方根和开立方的概念；
2、会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算；
3、培养学生用类比的思想求立方根的运算能力；
4、由立方与立方根的教学，渗透数学的转化思想；
5、通过立方根符号的引入体验数学的简洁美；
6、会用计算器求一个数的立方根。

四、教学重点、难点
1、教学重点：立方根的概念与性质。

2、教学难点：会求一个数的立方根。

五、教学设计
启发式，讲练结合
六、教学过程
㈠导入新课
上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=±a.
若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x 叫a的什么呢？
㈡新课讲解
师：请大家先回忆平方根的定义.
生：若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根.
师：在平方根定义的基础上，若x3=a，则x叫a的什么呢？请大家自己猜想然后讨论得出结果.
生：因为x2=a，x叫a的平方根，所以当x的立方等于a时，x叫a的立方根.
师：当x4=a时，x叫a的什么根呢？
生：当x的4次方等于a时，x叫a的4次方根.
师：大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？
生：能.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±a，读作x等于正、负二次根号a(根号a)，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.
师：请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.
生甲：我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=±a，x3=a时，x=±a
也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？
生乙：因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.
师：大家的分析非常有道理，请认真看书第5、6页可知，若一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)；如2是8
的立方根，记为x=3a，读作x等于三次根号a.
开立方的定义
师：大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.
生：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.
立方根的性质
师：2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？
生：2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.
师：－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？
生：－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.
师：0的立方等于多少？0有几个立方根？
生：0的立方等于0，0有1个立方根是0.
师：从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？
生：正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.
师：对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
平方根与立方根的区别与联系
师：我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.
生：从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.
生：一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.
生：它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为±a，立方根表示为3a.
师：很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非常有帮助，继续发扬下去，下面我再系统地总结一下.
联系：
(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
(2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.
(3)表示法不同
正数a的平方根表示为±a，a的立方根表示为3a.
(4)被开方数的取值范围不同
例题讲解：
［例1］求下列各数的立方根： (1) 278
；(2)-125；(3)-0.008.
解：(1)因为(32
)3=278，所以278的立方根是32，即3278=32
；
(2)因为(-5)3=-125，所以-125的立方根是-5，即3125-=-5；
(3)因为(-0.2)3=-0.008，所以-0.008的立方根是-0.2，即
3008.0-=-0.2.
［例2］用计算器求下列各数的立方根：
(1) 1331；(2)-343；(3)9.263.
解：（1）在计算器上依次键入
显示结果为11，所以31331=11.
（2）在计算器上依次键入
显示结果为-7，所以3343-= -7.
（3）在计算器上依次键入
显示结果为 ，所以39.263= .
［例3］求下列各式的值： (1) 38-；(2)3064.0；(3)－31258；(4)(39)3
解：(1) 38-=33(-2)=－2； (2) 3064.0=33(0.4)=0.4； (3) -31258=-33)52(=-52
； (4)(39)3
=9.
（3
（
3
（
3
㈢课堂练习
1、求下列各数的立方根
（1）512； （2）-0.027； （3）-
125
64. 2、用计算器计算
（1）36859； （2）3576.17； （3）3691.5（精确到0.01）.
3、下列说法对不对？
（1）－4没有立方根；
（2）1的立方根是±1；
（3）36
1的立方根是61； （4）－5的立方根是－35；
（5）64的算术平方根是8.
㈣课时小结
本节课主要学习了立方根的定义及其性质，要知道有理数都有立方根，要掌握立方根与平方根的区别与联系，并会用计数器求一个数的立方根。

七、作业布置：课后练习与习题。

八、板书设计
6.1.2 立方根
1.立方根的定义.
2.立方根的性质.
3.开立方的定义.
4.平方根与立方根的区别与联系.
5.会求一个数的立方根.
6.会用计算器求一个数的立方根.
九、教学反思
本节课教学从学生所熟悉的生活实际出发，在使用计算器过程中充分体现了学生动手能力的培养，以借助计算器挥索数学规律的活动，发展学生抽象的概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考。

合作交流的意识但也存在着某些不足之处：①有些教学环节中没有真正把课堂还给学生。

②由于班级差生多，对正节课教学任务的完成45分钟略显紧张。

在课前练习引入方面各把时间缩短些。