复数项级数与函数项级数

k 1
z k n i n ,
n
由于序列 { sn } 收敛的充要条件是 { n } 和 { n } 都收敛，
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
二、复数项级数
3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
n
lim z n a , 或 zn a , ( n ) .
一、复数序列
2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是
n n
lim xn , lim yn .
n
证明 必要性 “ ” 若 lim z n a , 则 e 0 , N ,
n
| zn - a |
zn
| yn - |
a
当 n N 时，| zn - a | e ,
| xn - |
| x n - | | z n - a | e , | yn - | | z n - a | e ,
i
π n 2
1 πn 1 πn 记为 x n i yn , 2 cos i 2 sin 2 2 n n
由于级数 | xn | 和 | yn | 均为收敛， (绝对收敛) 故有级数 x n 和 yn 均收敛，即得级数 z n 收敛。 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？
lim yn , lim yn .
n n
一、复数序列
2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是
n n
lim xn , lim yn .
n
证明 充分性 “ ” 若 lim xn , lim yn ,
n n
| zn - a |
zn
| yn - |
a
则 e 0 , N , 当 n N 时，
| xn - |
| x n - | e , | yn - | e , | zn - a | | xn - | | yn - | 2e , lim zn a .
1 解 级数 n 收敛， n 1 2


n (几何级数 a , 0 a 1 时收敛) n 1

1 1 但级数 发散， ( p 级数 p , p 1 时发散) n 1 n n 1 n
因此级数 z n 发散。
1 n 1 解 zn 2 i 2 e n n
n
证明 由于级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛，
而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是：
n
lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 ,
n n n
因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
n
i 解 zn i e n
n
π in 2
nπ nπ 1 i cos i (sin ). 2 2 n n
nπ nπ 1 } 或 {sin }发散， 即得 { zn } 也发散。 由 {cos 2 2 n
附 考察实序列 { | zn | } 的收敛性。(其中 z n 见上例)
n 已知 | z n | i
i , 根据复数模的三角不等式有 n 1 1 1 - | zn | 1 , lim | zn | 1 , n n n
故序列 { | zn | } 收敛。
二、复数项级数
1. 基本概念 定义 设 { zn }n1 , 2 , 为一复数序列，
二、复数项级数
4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。
2 2 收敛， yn 证明 由 | z n | 收敛， xn
(1) 称 z n z1 z 2 为复数项级数， 简记为 z n .
n 1

(2) 称 sn z k z1 z 2 z n 为级数的部分和；
k 1
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n
(3) 如果序列 { sn } 收敛，即 lim sn s , 则称级数收敛，
n
并且极限值 s 称为级数的和；
§4.1 复数项级数
一、复数序列 二、复数项级数
一、复数序列
1. 基本概念 定义 设 z n 为复数，称 { zn }n1 , 2 , 为复数序列。
极限 设 { zn }n1 , 2 , 为一复数序列，又设 a 为一确定的复数， 如果对任意给定的 e > 0，相应地存在自然数 N， 使得
当 n > N 时，总有 | zn - a | < e 成立，则称复数序列 { zn } 收敛于复数 a，或称 a 为复数序列 { zn } 的极限， 记作
(4) 如果序列 { sn } 不收敛，则称级数发散。
二、复数项级数
2. 复数项级数收敛的充要条件 定理 设 zn xn i yn , 则级数 z n 收敛的充分必要条件是 级数 x n 和 yn 都收敛。 证明 令 n 和 n 分别为级数 x n 和 yn 的部分和， 则级数 z n 的部分和 sn
又 | xn |
2 2 2 2 xn yn , | yn | x n yn ,
根据正项级数的比较法可得， | xn | 和 | yn | 均收敛，
x n 和 yn 均收敛， z n 收敛。