运筹学 整数规划( Integer Programming )
割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
运筹学常用的方法
运筹学常用的方法运筹学（Operations Research）是一门研究如何优化决策和资源分配的学科。
在实践中，运筹学常常使用一系列方法来解决问题。
以下是一些常用的运筹学方法：1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是一种优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它的目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
2. 整数规划（Integer Programming）：整数规划是线性规划的扩展，其中变量被限制为整数。
这种方法常用于需要作出离散决策的问题，如物流路线选择、生产安排等。
3. 优化理论（Optimization Theory）：优化理论是研究最优化问题的数学理论。
它提供了一系列算法和技术，用于确定最优解的存在性、性质和求解方法。
4. 模拟（Simulation）：模拟是通过构建模型来模拟实际系统的运行过程，以评估各种决策方案的效果。
它可以帮助决策者理解系统的行为和特性，并支持决策的制定。
5. 排队论（Queueing Theory）：排队论研究等待行为和排队系统的性能。
它可以用于评估服务系统的效率、确定最优的服务策略，并优化资源的分配。
6. 博弈论（Game Theory）：博弈论研究决策者在竞争或合作情境下的行为和策略选择。
它可以用于分析决策者之间的相互作用、制定最优策略，以及预测他们的行为。
7. 图论（Graph Theory）：图论研究图和网络的性质和算法。
它可以应用于许多问题领域，如路径规划、资源分配、网络流等。
除了上述方法，运筹学还可以使用统计分析、模糊数学、决策树等技术来解决问题。
根据具体问题的特点和需求，运筹学方法可以相互组合和扩展，以提供更准确和有效的解决方案。
《运筹学》第6章 整数规划
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
运筹学08整数规划
8.2 整数规划的应用
二、固定成本问题
例5．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为 金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表 所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5 万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有 100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的 费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定 一个生产计划，使获得的利润为最大。
8.2 整数规划的应用
解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表示第 i 年年初给项目 A，B，C，D的投资额； 设yiA， yiB，是0—1变量，并规定取 1 时分别表示第 i 年给A、B投资， 否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。 设yiC 是非负整数变量，并规定：第2年投资C项目8万元时，取值为4； 第 2年投资C项目6万元时，取值3；第2年投资C项目4万元时，取值2； 第2年投资C项目2万元时，取值1；第2年不投资C项目时，取值0； 这样我们建立如下的决策变量： 第1年 A x1A B C D x1D 第2年 x2A 第3 年 x3A x3B x2C=20000y2C x2D x3D 第4年 第5年 x4A x4D x5D
8.3整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看，整数规划似乎是线性规划的一 种特殊情况，求解只需在线性规划解的基础上， 通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但是实际上整数规划与线性规划之间确实有着很 大的不同，通过舍入取整得到的整数解也不一定 就是整数规划问题的最优解，有时甚至不能保证 所得的解是整数可行解．例98 Nhomakorabea1
运筹学模型的类型
运筹学模型的类型运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。
根据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型：1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性函数取得最大或最小值。
线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。
2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。
3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投资决策等问题。
5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。
排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。
6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。
总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
运筹学4整数规划
例4.4 对如下整数规划
max z x1 x2 x1 x2 1 s.t 3 x1 x2 4 x , x 0, x , x 为整数 1 2 1 2
17
步骤1：不考虑整数条件，引入松弛变量 x3 , x4，
化为标准形式，用单纯形法求解得到： 表4－2
xB
x1
b
3/4
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4
1/4
x2
7/4
0
0
1
0
3/4
-1/2
1/4
-1/2
最优解为： x1
3/ 4, x2 7 / 4
。
18
步骤2：
最优表中 x1 1/ 4x3 1/ 4x4 3/ 4 -1/4 -整数和非负真分数之和
x1 x3 3/ 4x3 1/ 4x4 3/ 4
5
解：设 x i (i 1, 2,,7) 表示是否在位置i 建立门市 部，有 ，当Ai点被选用 i 1, 2,, 7 1 xi 0，当Ai点没被选用
则可以建立如下的数学模型：
max z c i x i
i 1
7
目标函数表示寻求获利最大
x1 x 2 x 3 2 s.t x 4 x5 1 x6 x7 1 x i 0或1
问题（B1）和（B2）的可行域中包含了原整数 规划问题的所有整数可行解，而在 4 x1 5中不 可能存在整数可行解。
10
分别求解这两个线性规划问题，得到的解是：
x1 4, x2 2.1, z 349 和 x1 5, x2 1.57, z 341 变量 x2 仍不满足整数的条件，对问题（B1）， 必有 x2 3或x2 2，将（B1）增加约束条件，得到
运筹学的优化算法
运筹学的优化算法运筹学是一门研究如何对复杂问题进行优化的学科，通过利用数学、统计学和计算机科学等方法，运筹学可以帮助解决各种决策和优化问题。
在该领域中，存在着许多不同的优化算法，下面将介绍其中几种常见的算法。
1. 线性规划（Linear Programming，LP）：线性规划是一种常见的数学规划方法。
它的目标是优化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。
通过将问题转化为标准形式（即将约束条件和目标函数都表示为线性等式或不等式），线性规划可以使用诸如单纯形法、内点法等算法进行求解。
2. 整数规划（Integer Programming，IP）：整数规划是一种在线性规划的基础上，引入了变量为整数的约束条件。
这样的问题更具挑战性，因为整数约束使得问题成为NP困难问题。
针对整数规划问题，常用的方法包括分支定界法、回溯法、割平面法等。
3. 非线性规划（Nonlinear Programming，NLP）：与线性规划不同，非线性规划的目标函数或约束条件至少有一个是非线性的。
非线性规划的求解需要使用迭代算法，例如牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。
这些算法通过逐步优化解来逼近最优解。
4. 动态规划（Dynamic Programming，DP）：动态规划通过将问题分解为子问题，并使用递归方式求解子问题，最终建立起最优解的数学模型。
动态规划方法常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
例如，背包问题、最短路径问题等。
5. 启发式算法（Heuristic Algorithm）：启发式算法是一种近似求解优化问题的方法，它通过启发式策略和经验知识来指导过程，寻找高质量解而不必找到最优解。
常见的启发式算法包括模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法等。
6. 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）：蒙特卡洛模拟是一种基于概率的数值模拟方法，用于评估随机系统中的不确定性和风险。
它通过生成大量随机样本，并使用这些样本的统计特征来近似计算数学模型的输出结果。
运筹学整数规划
例题4 某单位有5个拟选择的投资项目，其所需投资额与期望收益 如下表。由于各项目之间有一定联系，A、C、E之间必须选择一 项且仅需选择一项；B和D之间需选择也仅需选择一项；又由于C 和D两项目密切相关，C的实施必须以D的实施为前提条件，该单 位共筹集资金15万元，问应该选择哪些项目投资，使期望收益最 大？
x21 a21 x11 M (1 y1) x32 a32 x22 M (1 y2) x33 a33 x13 M (1 y3) x24 a24 x14 M (1 y4)
产品2的开始加工时间是x21，结束加工时间是x24+a24，故应有：
x24 a24 x21 d
2
（二）、整数规划的数学模型
一般形式
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1
n
n aij x j bi (i 1.2 m) j 1 x 0 (j 1.2 n) 且部分或全部为整数 j
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
例5 某服务部门各时段（每2小时为一时段）需要的服务员人数如下表， 按规定，服务员连续工作8小时（即四个时段）为一班，现要求安排服 务员的工作时间，使服务部门服务员总数最小。
时段 服务员最少数目 1 10 2 8 3 9 4 11 5 13 6 8 7 5 8 3
min Z x1 x 2 x3 x 4 x5 解：设在第j时段开始时上班的服务员人 x1 10 数为xj，由于第j时段开始时上班的服务 x1 x 2 8 员将在第(j+3)时段结束时下班，故决策 x1 x 2 x3 9 变量只需考虑x1,x2,x3,x4,x5，此问题的数 x1 x 2 x3 x 4 11 学模型为： x 2 x3 x 4 x5 13 x x x 8 3 4 5 x 4 x5 5 3 x5 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0且为整数
运筹学基础(整数规划2)
0-1型整数规划的解法
时间复杂度
算法的时间复杂度，是度量算法执行的时间长短， 但是这里的“长短”不是具体消耗的时间，一个算 法执行所耗费的具体时间，与具体的计算机有关。 时间复杂度是独立于具体计算机的。 我们以“执行一条语句”的为计量基本单位，那么 ，一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成 正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间 就多。一个算法的时间复杂度，记为O(f(n))。n是问 题的规模，f(n)是n的函数，例如n，n2，n3，logn， n!等。
插入排序的时间复杂度也是O(n2)
快速排序
任意选取一个数据（通常选用第一个数据）作为关 键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面，所 有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快 速排序。 例：将{49 38 65 97 76 13 27}进行排序：
{27 38 13} 49 {76 97 65} {13 27 38} 49 {65 76 97}
贪心算法求解背包问题
背包问题，根据贪心的策略：
每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是 否最优？ 每次挑选所占重量最小的物品装入,是否能得到最优 解？ 每次选取单位重量价值最大的物品，是否是解本题 的最佳策略？
例题
某工程招标，整个项目分为五部 分：地基铺设(F)、构架建设(S)、 管道与供热设备建设(P)、电器安 装€和室内装修(I)。招标规定，可 对项目一个部分或几个部分组合 一起投标，还允许多重投标。四 家经资质审查的建筑商甲、乙、 丙、丁参与了投标，情况如表所 示。甲、乙在投标书上指出：坚 决不与对方合作。丁声明“若自 己能中标3个项目及以上，将给予 投标金额的10%作为回扣”。试 对此建立数学模型，使整个项目 签约的总支出金额最少。
运筹学的基本名词解释
运筹学的基本名词解释运筹学（Operations Research）是一门应用数学领域，通过使用数学模型和优化算法来研究和解决复杂问题。
它结合了数学、统计学和计算机科学等多个学科的理论和方法，旨在提供科学而有效的决策支持和问题解决方案。
运筹学被广泛应用于工业、商业、军事、交通、医疗和社会管理等各个领域。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是运筹学中最基本和常用的数学模型之一。
它通过建立数学模型描述问题，并使用线性目标函数和线性约束条件，寻找使目标函数最优化的变量取值。
线性规划在生产调度、资源分配、运输和网络设计等问题中有广泛应用。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是线性规划的扩展，变量的取值限制为整数。
这种限制使得问题更加复杂，但也更贴近实际应用中的许多情况。
整数规划在生产计划、物流管理、投资决策和组合优化等领域具有重要意义。
三、网络优化（Network Optimization）网络优化是研究如何在一个复杂网络中寻找最优解的问题。
该网络可以是交通网络、电力网络、通信网络，也可以是供应链和金融网络等。
网络优化考虑多个节点和连接之间的关系，通过优化算法寻找最小代价、最大流量或最短路径等目标。
四、排队论（Queuing Theory）排队论是运筹学中研究排队系统行为的数学模型。
排队论可以用来分析和优化各种服务系统，如银行窗口、电话呼叫中心和交通信号控制等。
它考虑顾客到达的规律、服务时间的分布以及等待时间和队列长度等指标。
五、决策分析（Decision Analysis）决策分析是一种运筹学方法，用于支持决策者在面临风险和不确定性的情况下做出最佳决策。
决策分析考虑决策者的偏好、不确定性的可能性和影响，并通过数学模型和决策树等工具来选择最优决策。
六、模拟（Simulation）模拟是运筹学中一种重要的工具，用于研究和分析复杂系统的行为。
通过构建系统的数学模型和仿真实验，模拟可以模拟和评估系统在不同条件下的运行情况，以便提供决策支持和改进建议。
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。
一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。
整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。
本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。
第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。
整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。
当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。
先来看下面的例子。
例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？表4－112量都要求为整数，建立模型如下：2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解，首先不考虑整数约束条件④，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：x 1＝3.25 x 2＝2.5 max z ＝14.75由于x 1＝3.25，x 2＝2.5都不是整数，不符合整数约束条件。
运筹学第10讲：整数规划(一)
x14-80y4<=0
x14-0.01y4>=0
x24-x14<=15
x34-x24<=15
x44-x34<=15 x54-x44<=15
取L=0.01，M=10000
x16-60y16>=0 x26-60y26>=0
最优值: Z*=1752.19
x36-60y36>=0 x46-60y46>=0
最优解：
x34+320y5+x36+x37-120y1-28y2-0.25x24-1.2x26-1.15x27=150
x44+x46+x47-140y1-28y2-65y3-0.25x34-1.2x36-1.15x37=0
x54+x56+x57-140y1-28y2-65y3-0.25x44-180y5-1.2x46-1.15x47=0
x6 + x7 + x8 ≥ 1 x1 + x4 + x6 ≤ 2 x2 + x8 ≤ 1 ∑xi = 5 xi=0或1, i =1,2,…,8
最优值: 9.32 最优解：
x2 = x3= x4=
x5= x6=1
其余xi = 0.
例2
混合整数规划问题
工厂A1 和 A2生产某种物资。由于该物资供不应求，故需再建一家工厂。
工厂A3 或 A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3 还是 A4，才能使今后每年的总费用（即全部物 资运费和新工厂生产费用之和）最少。
运筹学
二、Ip问题的求解
第10讲：整数规划(一)
例：max
管理运筹学4 整数规划
甲
乙
丙 丁
39
34 24
38
27 42
26
28 36
20
40 23
33
32 45
x ij 0或1 ，i、j 1,2,3,4
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法
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匈牙利法（指派问题）
分配问题与匈牙利法
指派问题的数学模型的标准形式：
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设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作， 每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第j 件工作的效率 （ 时间或费用）为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应 如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？ 设决策变量
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x 21 x 31 x 41 x12 x 22 x 32 x 42 x13 x 23 x 33 x 43 x14 x 24 x 34 x 44 1 1 1 1
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变量约束：
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
如
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1. 变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数 2. 对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变 量 x，当x=1表示投资，x=0表示不投资； 3. 人员的合理安排问题，当变量xij=1表示安排第i人去做j工作，
整数规划的特点及应用
min z c ij x ij [1200y1 1500y 2 ]
i 1 j 1 4 4
运筹学课件 第5章：整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯 整数规划/全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划
整数规划解的性质
求解整数规划问题
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 ( IP)2 x1 3 x2 14 x1 , x2 0且为整数
分析：考虑对应的线性规划问题(LP)
b
x1
2
2 3
x2
1
3 2
x3
1
0 0
x4
0
1 0
b
x1
1
0 0
x2
0
1 0
x3
3/4
-1/2
x4
-1/4 1/2
0
0
x3 9 x4 14
9/2
14/2
3
2
x1 13/4 x2 5/2
-5/4
-1/4
初始表
最终表
可见，最优解为x1=3.25 x2=2.5 z(0) =59/4=14.75
选 x2 进行分枝，即增加两个约束x2≤2 和x2 ≥3 ，则
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP1) 1 x2 2 x1 , x2 0且为整数
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP2) 1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
b
7/2 2 1 3 -29/2 7/2 2 1 -1/2 -29/2
x1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x3
1/2 0 -1 0 -3/2 1/2 0 -1 -1/2 -3/2
整数规划的产生和发展报告
整数规划的产生和发展报告整数规划（Integer Programming，简称IP）是运筹学中的重要分支之一，主要研究目标函数和约束条件皆为整数的最优化问题。
整数规划的发展经历了多个阶段，从最早的线性规划发展到目前应用广泛的混合整数规划和二次整数规划等。
整数规划最早起源于20世纪40年代的工程优化问题。
在实际问题中，人们发现很多问题的决策变量只能取整数值，线性规划并不能完全满足这些实际需求。
因此，研究者开始探索能够解决这些整数限制问题的方法。
最早的整数规划方法是通过枚举法，对所有可能的整数解进行遍历，找出最优解。
然而，这种方法在计算复杂度上具有指数级的增长，对于大规模问题求解效率较低。
为了提高整数规划问题的求解效率，研究者陆续提出了一系列剪枝法和分支策略。
其中，分支定界法（Branch and Bound）是应用最广泛的方法之一、分支定界法利用线性规划松弛问题的解来提供一个整数规划问题的上界，并通过将解空间划分为多个子问题来逐步缩小最优解的范围。
通过剪枝和分支策略，可以有效地减少无效的，进而提高整数规划问题的求解效率。
随着计算机技术的发展，整数规划的求解能力得到了显著提高。
1990年代，随机和启发式算法开始应用于整数规划问题的求解中。
这些方法通过引入随机性和局部策略，能够在可接受的时间内找到较优的整数解。
典型的随机算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
这些算法被广泛应用于组合优化等领域，并取得了良好的效果。
近年来，整数规划研究向更复杂的问题领域发展，如混合整数规划（Mixed Integer Programming，简称MIP）和二次整数规划（Quadratic Integer Programming）。
混合整数规划是同时包含整数变量和实数变量的最优化问题，广泛应用于物流优化、资源分配等领域。
二次整数规划则是目标函数中包含二次项，并且变量要求为整数的最优化问题。
这些问题在实际应用中具有较高的难度，需要研究者不断提出新的求解方法和算法来解决。
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检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
Page 18
通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
Page 33
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1
x1
,
x2
0
整数规划的特点及应用
整数规划图解法
x2
Page 14
3
2
1
B
A
1 2 3 4 5 6 7 x1
整数规划的特点及应用
图解法的启示：
Page 15
① A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不是IP问 题的可行解，B（4，1）才是IP的最优解
②纯整数规划的可行解就是可行域中的整数点
其基本的步骤是:
(1) 把约束条件中所有的系数整数化;
(2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只
包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也 是原整数规划问题的最优解;否则, 转(2)
③非整数点不是可行解，对于求解没有意义，故 切割掉可行域中的非可行解，不妨碍整数规划问 题的优化
IP问题的最优解不优于LP问题的最优解
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法 匈牙利法（指派问题）
Page 16
解纯整数规划的割平面法
Page 17
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题.
从而得到
Page 32
xi Nik xk - Ni fi - fik xk
k
k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
fi - fik xk 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广
泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
x x
21 31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x41 x42 x43 x44 200y2
x
i
j
0
(i, j 1,2,3,4)
yi 0,1 (i 1,2)
Page 8
混合整数规划问题
整数规划的特点及应用
Page 9
例4.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不 同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成 绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构
成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问
题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
整数线性规划数学模型的一般形式：
n
max Z(或minZ ) c j x j j1
n
aij x j
bi
(i 1.2m)
j1
s.t. x1 x2 x3
1
3x1 x2 x4
4
3x3 x4 x5 3
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最P优age单28 纯 形表之中,得
cj
1 1 000
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
Page 12
整数规划问题解的特征：
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一 个子集，任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件， 因而不一定仍为可行解。
整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反 之不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解 的目标函数值。
整数规划的特点及应用
Page 26
3 4
3 4
x3
1 4
x4
0
即
3x3 x4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所Pag得e 27等 式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max z x1 x2
Page 30
显然,上表为最优单纯形表,且x1,x2的值已为整数, 从而知 原IP问题的最优解为(1,1), 最优值为2
问题的关键是求切割方程
求切割方程的步骤归纳为:
Page 31
(1) 令xi是相应的松驰问题最优解中为分数值的一个基变
量, 由单纯形表的最终表得到
xi aik xk bi
推论：对于目标最大化的纯整数或混合整数规划，其最优 目标值≤松弛问题的最优目标值；对于目标最小化，其最 优目标值≥松弛问题的最优目标值。
整数规划的特点及应用
Page 5
整数规划的典型例子 例4.1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每箱的体积、 重量、可获利润以及装运所受限制如下：
货物集装箱 体积（立方米） 重量（百斤） 利润（百元）
列单纯形表得: (初始单纯形表)
Page 20
cj
11 00
CB XB b x1 x2 x3 x4
0 x3 1 -1 1 1 0
0 x4 4 3 1 0 1
011 00
(最终单纯形表)
Page 21
cj
11 00
CB XB b x1 x2 x3 x4
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4
x12
x22
x32
x42
400
x13
x23
x33
x43
300
x14 x24 x34 x44 150
s.t
x11 x21
x12 x22
x13 x23
x14 x24
400 600
x
31
x32
x33
x34
200 y1
1 若建工厂
yi 0
(i 1,2) 若不建工厂
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
则该规划问题的数学模型可以表示为：
整数规划的特点及应用
44
minz
c xij ij [1200y1 1500y2 ]
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
工作
人员
A
B
C
D
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80Βιβλιοθήκη 88整数规划的特点及应用
Page 10
设
1
xij 0
数学模型如下：
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
x4
7 4
Page 24
将系数和常数项均分解成整数与真分数之和移项,P以age上25 两式变为：
x1
x3
3 4
3 4
x3
1 4
x4