人教版高中数学全套教案导学案24 函数的奇偶性
《函数的奇偶性》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《函数的奇偶性》教学设计本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的。
教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图像，让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念。
因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然。
【知识与能力目标】1、使学生从形与数两个方面理解函数奇偶性的概念、图像和性质；2、判断一些简单函数的奇偶性。
【过程与方法目标】1、设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能力。
在概念形成的过程中，渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法；2、通过对函数单调性定义的探究，培养学生的抽象思维的能力。
【情感态度价值观目标】经过探究过程，培养学生严谨论证的良好思维习惯；使学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的理性认知过程。
【教学重点】函数奇偶性的概念及其判断。
【教学难点】函数奇偶性的掌握和灵活运用。
通过本节导学案的使用，引导学生对函数奇偶性有个初步的认识，带着问题学习。
(一)创设情景，揭示课题1、实践操作：（也可借助计算机演示）取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图像的图形，然后按如下操作并回答相应问题：○1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于y轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。
○2以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数。
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 知识与技能：理解函数奇偶性的概念，能够判断函数的奇偶性；学会运用函数的奇偶性解决一些简单问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索函数奇偶性的性质及其判断方法。
3. 情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义2. 函数奇偶性的判断方法3. 函数奇偶性的性质三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 教学难点：函数奇偶性的性质及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的性质；2. 通过实例分析，让学生掌握函数奇偶性的判断方法；3. 利用小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的奇偶性与什么有关。
2. 新课讲解：（1）介绍函数奇偶性的定义；（2）讲解函数奇偶性的判断方法；（3）分析函数奇偶性的性质。
3. 例题解析：选取典型例题，分析解题思路，引导学生运用函数奇偶性解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
注意：在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数奇偶性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数奇偶性的理解程度，及时发现并解决学生学习中存在的问题。
2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估学生对函数奇偶性知识的掌握情况。
3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否适合学生的认知水平。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思教学效果：总结本节课的教学成果，找出不足之处，为下一节课的教学做好准备。
人教版高中数学教案函数的奇偶性
人教版高中数学教案——函数的奇偶性一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念，掌握奇函数和偶函数的性质。
2. 能够判断给定函数的奇偶性，并能运用奇偶性解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学内容1. 函数奇偶性的定义与性质2. 判断函数奇偶性的方法3. 奇偶性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的概念及判断方法，奇函数和偶函数的性质。
2. 难点：函数奇偶性的运用和实际问题中的解决方法。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数奇偶性的定义、性质和判断方法。
2. 利用例题，展示奇偶性在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力。
4. 利用多媒体辅助教学，增强学生对函数奇偶性的理解。
五、教学过程1. 引入：通过回顾初中阶段的反比例函数和二次函数的性质，引导学生思考函数的奇偶性。
2. 讲解：讲解函数奇偶性的定义，引导学生理解奇函数和偶函数的概念。
3. 例题：出示典型例题，让学生掌握判断函数奇偶性的方法。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固函数奇偶性的判断方法。
5. 应用：结合实际问题，让学生学会运用函数奇偶性解决问题。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数奇偶性的重要性和应用价值。
7. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课后作业：检查学生对函数奇偶性概念的理解和判断方法的掌握。
2. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估他们对奇偶性性质的熟悉程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与度和合作能力。
4. 课堂问答：检查学生对函数奇偶性应用的理解和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 引入更复杂的函数奇偶性问题，如分数指数函数、复合函数的奇偶性。
2. 探讨函数奇偶性与图像的关系，让学生观察奇偶性对函数图像的影响。
3. 引导学生思考实际生活中的例子，如物理中的电磁场问题，应用函数的奇偶性。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容安排是否恰当，难度是否适合学生。
函数的奇偶性教案
函数的奇偶性导学案教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性．教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．※合作探究：1.对函数f(x)的定义域内任意一个x （1）f(-x)=f(x)〔或f(-x)-f(x)=0〕则f(x)为偶函数（2）f(-x)=-f(x)〔或f(-x)+f(x)=0〕则f(x)为奇函数注：（1）函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言，要与单调性区别开来. （2）奇，偶函数的定义域关于原点对称－－－必要条件（3）判断函数奇偶性的方法：①定义法②图象法（4）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式()1()f xf x=±-.2. 奇偶函数图象的性质（1）奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.（2）偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法.b、判断函数的奇偶性.3.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质.4. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.5.若奇函数()f x的定义域包含0，则(0)0f=．※典型例题：例1判断下列函数的奇偶性：小结：用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.练习：判断下列函数的奇偶性：例3、研究函数21xy的性质并作出它的图像.※当堂训练本课小结:1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。
如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。
人教版高中数学《函数的奇偶性》教学设计
人教版高中数学《函数的奇偶性》教学设计第一篇：人教版高中数学《函数的奇偶性》教学设计课题：函数的奇偶性的教学设计（一）[任务分析]“函数的奇偶性”是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。
函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的对称性。
利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。
函数的奇偶性也是今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等式问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。
[方法简述] 本节课有着丰富的内涵，是继函数单调性以后的又一个重要性质。
教法上本着“以教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题导引，分析、比较，自主探究，讲练结合”的教学方法。
通过复习提问呈上其下的引入，通过观察图像，从具体到抽象的引入，通过与单调性研究方法的的类比的引入，使学生对函数的奇偶性先有了一定的感性认识；通过设置一条问题链，采用多角度的，启发式的，学生积极参与的，有思想交锋的方式，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。
[目标定位]数学教学不仅仅是知识的教学、技能的训练，更应使学生的能力得到提高。
本节课应使学生掌握函数奇偶性的定义，会用定义判断简单函数的奇偶性。
在学生经历函数奇偶性的探究和应用过程中，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。
注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。
在教学中，重点应为理解函数奇偶性概念的本质特征；掌握函数奇偶性的判别方法。
对高一学生来说，由于初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清代数形式证明的意义和必要性。
《函数的奇偶性》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《函数的奇偶性》教学设计◆教学目标1．能抽象出函数奇偶性的定义，提升学生的直观想象素养和数学抽象素养；了解奇函数与偶函数的定义和图象特征，能从函数图象直观判断函数是否具有奇偶性．2．能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；能利用函数的奇偶性帮助画函数图象和计算函数值，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：了解奇函数与偶函数的定义和图象特征，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．教学难点：“图象关于y轴（原点）对称”转化为定量的符号语言．◆课前准备用软件制作动画；PPT课件．◆教学过程一、问题导入问题1：观察图1中的两个函数图象，你能发现它们的共同特征吗？图1师生活动：学生观察容易发现这两个图象都有对称性，老师顺势引出课题．预设的答案：图象的共同特征是它们都有对称性．设计意图：直接引出课题，形成对函数奇偶性的直观感受．引语：奇偶性是刻画函数对称性的一个性质．本节课我们一起来学习函数的奇偶性．（板书：奇偶性）二、新知探究1．确定研究思路问题2：你能说说如何研究奇偶性吗？师生活动：学生思考，老师在学生回答的基础上进行补充．预设的答案：先分析具体函数的图象特征（对称性），获得函数奇偶性的直观定性认识，然后利用动图或表格研究发现数量变化特征，再用符号语言定量刻画，抽象出奇偶性的定义，设计意图：引导学生回顾已有经验，给出研究函数性质的一般方法．2．定性刻画偶函数问题3：观察函数f(x)＝x2和g(x)＝2－|x|的图象（图2），思考以下问题：图2（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）你能用符号语言描述该特征吗？师生活动：问题（1）学生容易回答，但是观察流于表面，并不能进行深入的分析，所以直接回答问题（2）对学生来说难度较大，老师进行追问（追问1、追问2和追问3），启发学生深入思考，直至完成问题（2）．追问1：宏观上看，这两个图象关于y轴对称；微观上看，除了y轴上的点，其余的点都是成对出现．任取函数f(x)＝x2的图象上一点A，你能在图象上作出该点关于y轴的对称点吗？（若点A在y轴上，则对称点就是它本身；若点A不在y轴上，过A作y轴的垂线与函数图象交于另一点A′，此时点A与点A′就是一组对称点．）追问2：你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？（横坐标相反，纵坐标相同（如图3）．借助动态作图软件，老师在函数f(x)＝x2的图象上任意改变点A的位置，学生们随时观察点A与点A′的坐标，可以很清楚地找到规律．）追问3：你能用函数语言描述该特征吗？（当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．）预设的答案：（1）这两个的图象都关于y 轴对称．（2）∀x ∈R ，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．教师点拨：∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )，这时称函数f (x )＝x 2为偶函数．追问4：你能仿照上述过程，说明函数g (x )＝2－|x |也是偶函数吗？（首先，图象关于y 轴对称，任取图象上的一组关于y 轴对称的点，它们的横坐标相反，纵坐标相同（如图4）；其次，从函数符号的角度，当函数的自变量取一对相反数时，相应的函数值相等，即：∀x ∈R ，g (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝g (x )，g (x )＝2－|x |是偶函数．）教师点拨：一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数就叫做偶函数．追问5：“∀x ∈I ，都有－x ∈I ”说明定义域I 具有什么性质？（定义域关于原点对称．） 设计意图：以具体的函数为例，先借助图象直观感受偶函数的特征，定性刻画偶函数；再将图形语言转化为符号语言，实现定量偶函数的目标，提升学生的直观想象素养和数学抽象素养．3．定量刻画奇函数问题4：观察函数f (x )＝x 和g (x )＝1x 的图象（图5），思考以下问题：（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）你能用符号语言描述该特征吗？师生活动：此处的活动与问题3的大致相同，学生类比完成． 追问1：宏观上看，这两个图象关于原点中心对称；微观上看，除了原点（如果原点在图象上），其余的点都是成对出现．任取函数f (x )＝x 的图象上一点A ，你能在图象上作出该点关于原点的对称点吗？（若点A 是原点O ，则对称点就是它本身；若点A 不是原点，将A 绕原点O 旋转180°得到A ′，此时点A 与点A ′就是一组对称点．）追问2：你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？（横坐标相反，纵坐标相反（图6）．借助动态作图软件，老师在函数f (x )＝x 的图象上任意改变点A 的位置，学生们随时观察点A 与点A ′的坐标，可以很清楚地找到规律．）追问3：你能用函数语言描述该特征吗？（当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相反．）预设的答案：（1）两个的图象都关于原点成中心对称图形．（2）∀x ∈R ，f (－x )＝－x ＝－f (x )．教师点拨：∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )，这时称函数f (x )＝x 为奇函数．追问4：你能仿照上述过程，说明函数g (x )＝1x 也是奇函数吗？（首先，图象关于原点中心对称，任取图象上的一组关于原点轴对称的点，它们的横坐标相反，纵坐标也相反（图图5yxA': (2.12, 2.12)A : (–2.12, –2.12)–1–2–3–41234–1–2–3–41234f (x A )f (x A')x Ax A'A'OA图67）；其次，从函数符号的角度，当函数的自变量取一对相反数时，相应的函数值相反，即：∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，g (－x )＝1－x ＝－1x ＝－g (x )，函数g (x )＝1x 是奇函数．）教师点拨：一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数就叫做奇函数．设计意图：类比定量刻画偶函数的过程，不仅得到奇函数的定量刻画，而且能熟悉研究函数性质的路径与方法．4．奇偶性的判定师生活动：老师引导学生寻找判定的依据——定义，根据定义，求出函数的定义域I 后，需要判断两个条件：（1）∀x ∈I ，－x 是否属于I ；（2）f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立，只有（1）、（2）同时成立，才能判断函数的奇偶性．预设的答案：追问1：你能总结用定义法判断奇偶性的步骤吗？（第一步，求函数的定义域I．第二步，判断定义域是否关于原点对称．若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步．第三步，∀x∈I，计算f(－x)．若f(－x)＝f(x)，则为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则为奇函数；若f(－x)与f(x)既不相等也不相反，则既不是奇函数也不是偶函数．）追问2：思考（1）判断函数f(x)＝x3＋x的奇偶性．（2）图8是函数f(x)＝x3＋x图象的一部分，你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道y＝f(x)为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？（（1）∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－（x3＋x）＝－f(x)，函数f(x)＝x3＋x为奇函数．（2）因为是奇函数，所以图象关于原点中心对称，我们可以先将图象沿着y轴翻折，再沿着x轴翻折就可以得到y轴左边的图象（图9）．（3）一般我们只需要研究y轴一侧的性质，然后根据对称性推断得到它在整个定义域内的性质．）设计意图：例1和追问1帮助学生掌握应用定义判定奇偶性的程序，进一步加深对概念的认识，在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养．追问2让学生利用函数的奇偶性画函数的图象，体会奇偶性对于研究函数性质时的简化作用，提升学生的直观想象素养．三、归纳小结，布置作业问题5：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：（1）什么是奇（偶）函数？用定义判定奇偶性的步骤是怎样的？（2）请你比较奇函数的定义与偶函数的定义，说说这两者的异同．师生活动：师生一起总结．预设的答案：（1）概念和步骤略；（2）相同点：①定义域关于原点对称；②都是函数的整体性质．不同点：①偶函数的图象关于y轴对称，而奇函数的图象关于原点对称；②当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相同，而奇函数的函数值相反．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生更加明确函数奇偶性的内涵和判定．四、目标检测设计1．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整．设计意图：训练学生根据奇偶性补全函数图象的能力，考查奇偶性的定义．2．判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝2x4＋3x2；（2）f(x)＝x3－2x．设计意图：考查奇偶性的定义．3．（1）从偶函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）从奇函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．设计意图：通过证明符号语言与图象语言的等价性，深化理解奇偶性的定义．参考答案：1．略．2．（1）偶函数．（2）奇函数．3．（1）充分性：设P(x，y)是函数f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)．因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以点P关于y轴的对称点Q(－x，y)也在函数f(x)图象上，即y＝f(－x)，所以对任意的x，都有f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数．必要性：设P(x，y)是函数f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)．记点P关于y轴对称点为Q，则Q(－x，y)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即y＝f(－x)，所以点Q 在函数图象上，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．（2）类比（1）中的证明过程可证．。
人教版高一数学《函数奇偶性》教案
人教版高一数学《函数奇偶性》教案指对数的运算一、反思数学符号：“”“”出现的背景1.数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。
2.方程的根是多少？;①.这样的数存在却无法写出来？怎么办呢？你怎样向别人介绍一个人？描述出来。
②..那么这个写不出来的数是一个什么样的数呢？怎样描述呢？①我们发明了新的公认符号“”作为这样数的“标志”的形式.即是一个平方等于三的数.②推广: 则.③后又常用另一种形式分数指数幂形式3.方程的根又是多少？①也存在却无法写出来？？同样也发明了新的公认符号“”专门作为这样数的标志，的形式.即是一个2为底结果等于3的数.②推广: 则.二、指对数运算法则及性质：1.幂的有关概念:(1)正整数指数幂: = ( ). (2)零指数幂: ).(3)负整数指数幂: (4)正分数指数幂:(5)负分数指数幂: ( 6 )0的正分数指数幂等于0,负分指数幂没意义. 2.根式:(1)如果一个数的n次方等于a, 那么这个数叫做a的n次方根.如果,那么x叫做a的次方根,则x= (2)0的任何次方根都是0,记作. (3) 式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.(4) . (5)当n为奇数时, = . (6)当n为偶数时, = = .3.指数幂的运算法则:(1) = . (2) = . 3) = .4) = .二.对数1.对数的定义:如果,那么数b叫做以a为底n的对数,记作,其中a叫做, 叫做真数.2.特殊对数:(1) = ; (2) = . (其中3.对数的换底公式及对数恒等式(1) = (对数恒等式). (2) ; (3) ; (4) .(5) = (6) = .(7) = .(8) = ; (9) = 共3页，当前第1页123(10)三、经典体验：1.化简根式: ；；；2.解方程：; ; ；；3.化简求值:；4.【徐州六县一区09-10高一期中】16. 求函数的定义域。
四、经典例题例：1画出函数草图: .练习：1. “等式log3x2=2成立”是“等式log3x=1成立”的▲．必要不充分条件例：2. 若则▲．练习：1. 已知函数求的值▲．.例3：函数f(x)=lg( )是（奇、偶）函数。
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性的性质及应用3. 常见函数的奇偶性分析三、教学重点与难点：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性与图像的关系四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索函数奇偶性的性质。
2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。
3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。
2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断方法。
3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的4. 应用实例：分析生活中遇到的函数奇偶性问题，运用函数奇偶性解决问题。
教案示例：一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性的性质及应用3. 常见函数的奇偶性分析三、教学重点与难点：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性与图像的关系四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索函数奇偶性的性质。
2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。
3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。
2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的关系。
高中数学《函数的奇偶性》导学案
1．3.2 奇偶性1．奇偶函数的定义(1)偶函数的定义：□1如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数的定义：□2如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．函数奇偶性的几何特征(1)□3奇函数的图象关于原点对称；(2)□4偶函数的图象关于y 轴对称．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( )(2)函数f (x )＝x 2的图象关于原点对称．( )(3)对于定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝－f (1)，则函数f (x )一定是奇函数．( )答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(1)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，f (2)＝4，则f (－2)＝________.(2)(教材改编P 36T 1)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝x 4＋2x 2；②f (x )＝x 3＋1x ； ③f (x )＝x 3＋x 2.(3)(教材改编P 36T 2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的递增区间．答案(1)4(2)①是偶函数②是奇函数③是非奇非偶函数(3)完整图如下函数的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)『释疑解难』理解函数奇偶性的注意点(1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在[－3,5]上却不具有奇偶性．(2)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则根据定义可得，f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0，即奇函数的图象过原点．(3)若f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数．这样的函数有且只有一类，即f (x )＝0，x ∈D ，D 是关于原点对称的非空数集．探究1 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x －1＋1－x ；(3)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0.解 (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，所以定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－1＝－f (x )． 综上可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0是奇函数．拓展提升 函数奇偶性判断的方法(1)定义法(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中．【跟踪训练1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x －x 2，x >0；(2)f (x )＝0； (3)f (x )＝2x ＋1；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1. 解 (1)显然函数f (x )的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)＝－f (x )，当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )＝－f (x )，∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(2)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．(3)函数y＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1，∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．探究2 奇偶函数的图象及应用例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)[结论探究]本例条件不变，问题改为比较f(－1)与f(－3)的大小．解由例题图象知f(－1)＜0，f(－3)＞0，故f(－1)＜f(－3)．拓展提升巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．【跟踪训练2】(1)奇函数y＝f(x)的局部图象如图(1)所示，则f(2)与f(4)的大小关系为________；(2)已知f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图(2)所示，那么f(x)的值域是________．答案(1)f(2)>f(4)(2)[－3，－2)∪(2,3]解析(1)因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，由函数图象可知f (－2)<f (－4)，所以－f (－2)>－f (－4)，即f (2)>f (4)．(2)利用奇函数图象的性质可以得到函数f (x )在[－2,0)上的图象，如图所示，利用图象得到函数f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．探究3 利用函数奇偶性求解析式例3 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．解 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (x ＋2)．故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x ＋2)，x >0，0，x ＝0，x (2－x )，x <0.拓展提升求函数解析式的注意事项(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性解出f (x )．注意：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，则未必有f (0)＝0.【跟踪训练3】 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x >0时f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．解 设x <0，∴－x >0.∵当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，∴f (－x )＝(－x )3＋(－x )＋1＝－x 3－x ＋1.又∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x ＋1，x >0，0，x ＝0，x 3＋x －1，x <0.探究4 函数的奇偶性与单调性的综合应用例4 (1)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f (－5)与f (3)的大小；(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )是偶函数，所以f (－5)＝f (5)，因为f (x )在[2,6]上是减函数，所以f (5)<f (3)，所以f (－5)<f (3)．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |>|m |，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 拓展提升奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上．①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式求解．【跟踪训练4】 (1)已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－4)<f (－2)，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)(2)设f (x )在R 上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围．答案 (1)D (2)见解析解析 (1)因为函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，所以f (－4)<f (－2)⇒f (4)<f (2)．又f (x )在[0,5]上是单调函数．所以f (x )在[0,5]上递减，从而f (0)>f (1)．(2)由题意知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0， 且f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，所以a 2－2a ＋3>a 2＋a ＋1，即3a <2，a <23.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23.1.判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.2.奇偶函数的主要性质(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f (|x |)＝f (x )，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.(3)函数的单调性与奇偶性的关系①若f (x )是奇函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f (x )是偶函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性相反.②奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等.3.分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出的定义域内总有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，从而判定其奇偶性，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外，也可以用图象法来判断.1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝－|x |B ．y ＝2－xC ．y ＝1x 3D ．y ＝－x 2＋8答案 C解析 A ，D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶函数，而C 项中函数为奇函数．2．若函数f (x )满足f (－x )f (x )＝1，则f (x )图象的对称轴是( ) A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定 答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由题意知f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4.两式相加，解得g (1)＝3.4．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________.解析 ∵f (x )是奇函数，且在[3,6]上是增函数，∴f (3)＝－1，f (6)＝4.∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7.5．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋3.(1)若g (x )＝f (x )＋bx 为偶函数，求b ；(2)求函数f (x )在[－3,3]上的最大值．解 (1)g (x )＝f (x )＋bx ＝x 2＋(b ＋4)x ＋3，g (－x )＝x 2－(b ＋4)x ＋3，∵g (x )＝g (－x )，∴b ＋4＝0，∴b ＝－4.(2)f (x )＝x 2＋4x ＋3关于直线x ＝－2对称，因此f (x )在x ＝－2取得最小值－1，在x ＝3取得最大值24.A 级：基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.12 B.23 C.34 D ．1答案 A解析 函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，且x ≠a . 又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12.2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2解析因为函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数，因为f(a)≥f(－2)，所以|a|≤|－2|，解得－2≤a≤2，所以答案选D.3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3答案C解析解法一：∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.解法二：令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.选C.4．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))C．(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))答案D解析因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上，故选D.5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定解析 ∵x 2>－x 1>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x 2)<f (－x 1)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)，∴f (－x 2)<f (－x 1)．二、填空题6．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0 解析 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2·(－x )＝x 2＋2x ，又∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，故f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.答案 13 解析 由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b ＝0，所以a ＋b ＝13.8．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是________．答案 －13<x <43解析 由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <43.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝|x －1|－|x ＋1|；(2)f (x )＝x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x <－1，0，|x |≤1，－x ＋2，x >1.解 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －1|－|－x ＋1|＝|x ＋1|－|x －1|＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)对于函数f (x )＝x ，其定义域为[0，＋∞)，因为定义域不关于原点对称，所以函数f (x )＝x 既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．当x <－1时，－x >1，f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )；当|x |≤1时，|－x |≤1，f (－x )＝0＝f (x )；当x >1时，－x <－1，f (－x )＝(－x )＋2＝－x ＋2＝f (x )．所以对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数．B 级：能力提升练10．已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)证明：f(x)为奇函数；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)求函数f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．解(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，得f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)，即f(x)＝－f(－x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2∈R，且x2>x1，则x2－x1>0，于是f(x2－x1)<0.又f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，所以f(x2)－f(x1)<0.所以f(x)为R上的减函数．(3)由(2)知，函数f(x)在[－3,6]上的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4.于是f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.。
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》章节一：函数奇偶性的概念引入教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 掌握函数奇偶性的性质。
教学内容：1. 引入奇偶性的概念；2. 举例说明奇偶性的判断方法；3. 总结奇偶性的性质。
教学步骤：1. 引入奇偶性的概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶性例子；2. 给出函数奇偶性的定义，解释奇偶性的判断方法；3. 通过具体例子，让学生学会判断函数的奇偶性；4. 引导学生总结奇偶性的性质。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性概念的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性的判断方法。
章节二：奇函数和偶函数的性质教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的性质；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 介绍奇函数和偶函数的性质；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 回顾奇偶性的概念，引导学生理解奇函数和偶函数的性质；2. 通过具体例子，让学生学会运用奇偶性解决实际问题；3. 总结奇偶性在实际问题中的应用。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性性质的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性解决实际问题。
章节三：函数奇偶性的判定定理教学目标：1. 理解函数奇偶性的判定定理；2. 学会运用判定定理判断函数的奇偶性。
教学内容：1. 介绍函数奇偶性的判定定理；2. 举例说明判定定理的运用方法。
教学步骤：1. 引导学生理解函数奇偶性的判定定理；2. 通过具体例子，让学生学会运用判定定理判断函数的奇偶性；3. 总结判定定理的运用方法。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对判定定理的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用判定定理判断函数的奇偶性。
章节四：函数奇偶性在实际问题中的应用教学目标：1. 理解函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 介绍函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的解决方法。
人教版高中数学教案函数的奇偶性
人教版高中数学教案——函数的奇偶性教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的定义。
2. 掌握判断函数奇偶性的方法。
3. 能够运用奇偶性解决实际问题。
教学重点：1. 奇函数和偶函数的定义。
2. 判断函数奇偶性的方法。
教学难点：1. 理解函数奇偶性的概念。
2. 应用奇偶性解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学素材。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念。
2. 引导学生思考函数的性质。
二、新课讲解（15分钟）1. 介绍奇函数和偶函数的定义。
2. 通过实例讲解判断函数奇偶性的方法。
3. 总结判断函数奇偶性的步骤。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题。
2. 讲解练习题，巩固知识点。
四、应用拓展（10分钟）1. 让学生运用奇偶性解决实际问题。
2. 讲解实际问题的解题思路。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学内容。
2. 反思自己在学习过程中的不足。
教学评价：1. 课后作业批改。
2. 课堂练习的正确率。
3. 学生对实际问题的解决能力。
六、案例分析：具体函数的奇偶性分析1. 选取几个具体函数，如y=x, y=-x, y=x^2, y=-x^2等，分析其奇偶性。
2. 让学生通过观察函数图像，直观理解奇偶性的概念。
3. 引导学生运用奇偶性的定义，验证所选函数的奇偶性。
七、练习与巩固：判断函数的奇偶性1. 给出一些函数表达式，让学生判断其奇偶性。
2. 引导学生运用奇偶性的性质，简化解题过程。
3. 讨论并解答学生可能遇到的问题。
八、奇偶性在实际问题中的应用1. 提供一个实际问题，如物理学中的电流问题，让学生运用奇偶性解决。
2. 引导学生分析问题，运用奇偶性简化问题。
3. 讲解正确解题思路，并给出解答。
九、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结奇偶性的概念和判断方法。
2. 强调奇偶性在实际问题中的应用价值。
十、课后作业1. 布置一些有关奇偶性的练习题，让学生巩固所学知识。
人教版高一数学《函数奇偶性》教案
人教版高一数学《函数奇偶性》教案一、教学目标1.理解奇函数和偶函数的概念。
2.掌握奇函数和偶函数的图像特征。
3.学会判断函数的奇偶性，并且能够运用奇偶性进行简化计算。
二、教学重点1.函数的奇偶性的概念和判定方法。
2.奇函数和偶函数的图像特征。
三、教学难点1.运用奇偶性进行简化计算。
2.奇函数与偶函数的应用。
四、教学过程1. 导入•引入一个问题：假设已知一个函数的图像关于y轴对称，是否可以断定该函数是偶函数？为什么？2. 理解奇函数和偶函数的概念•引导学生观察函数的图像特点，提出奇函数和偶函数的定义。
•奇函数的定义：对于任意x，有f(-x) = -f(x)。
•偶函数的定义：对于任意x，有f(-x) = f(x)。
•提供学生自主查找奇函数和偶函数的例子。
3. 掌握奇函数和偶函数的图像特征•奇函数的图像特征：–关于原点对称。
–当函数图像经过第一象限和第三象限时，图像具有相同的形状和斜率。
•偶函数的图像特征：–关于y轴对称。
–当函数图像经过第一象限时，图像具有相同的形状和斜率。
4. 奇偶函数的判定方法•奇函数的判定方法：–如果函数为奇函数，可以证明 f(-x) = -f(x)。
–根据判定方法，可以通过计算 f(-x) 和 -f(x) 是否相等来验证函数的奇偶性。
•偶函数的判定方法：–如果函数为偶函数，可以证明 f(-x) = f(x)。
–根据判定方法，可以通过计算 f(-x) 和 f(x) 是否相等来验证函数的奇偶性。
5. 运用奇偶性进行简化计算•奇函数的简化计算：–当相加或相减的奇函数是关于同一个指标的同类项时，可以直接合并计算。
–奇函数与奇函数相加或相减的结果仍然是奇函数。
•偶函数的简化计算：–当相加或相减的偶函数是关于同一个指标的同类项时，可以直接合并计算。
–偶函数与偶函数相加或相减的结果仍然是偶函数。
6. 奇函数与偶函数的应用•奇函数的应用：–在一些对称问题中，可以运用奇函数进行简化计算。
–例如，当一个物体的速度关于原点对称时，可以判断考虑物体左侧或右侧的速度。
人教版高中数学教案函数的奇偶性
人教版高中数学教案——函数的奇偶性教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念。
2. 学会判断函数的奇偶性。
3. 能够运用函数的奇偶性解决实际问题。
教学重点：1. 函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 函数奇偶性的性质及其应用。
教学难点：1. 函数奇偶性的判断方法。
2. 函数奇偶性与实际问题的结合。
教学准备：1. 教材《高中数学》人教版。
2. 教案、PPT等教学资料。
3. 练习题及答案。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：复习已学过的函数概念，提问学生：“函数有哪些性质？”二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数奇偶性的定义：（1）奇函数的定义：若对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
（2）偶函数的定义：若对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
2. 讲解函数奇偶性的判断方法：（1）利用f(-x)=-f(x)判断奇函数。
（2）利用f(-x)=f(x)判断偶函数。
3. 讲解函数奇偶性的性质：（1）奇函数的图象关于原点对称。
（2）偶函数的图象关于y轴对称。
三、案例分析（10分钟）1. 分析案例一：判断函数f(x)=x^3的奇偶性。
（1）学生尝试判断，教师指导。
（2）得出结论：f(x)=x^3为奇函数。
2. 分析案例二：判断函数f(x)=x^2的奇偶性。
（1）学生尝试判断，教师指导。
（2）得出结论：f(x)=x^2为偶函数。
四、课堂练习（15分钟）1. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
2. 提问学生：“如何运用函数的奇偶性解决实际问题？”引导学生思考。
3. 给出实际问题案例，让学生尝试运用函数奇偶性解决。
教学反思：本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对函数奇偶性的理解和应用能力。
关注学生的学习兴趣，激发学生学习函数的积极性。
六、案例分析（续）1. 分析案例三：已知函数f(x)在区间[0, 1]上定义，且f(x)为奇函数，求f(0.5)。
新人教版高中数学《函数的奇偶性》导学案
函数的奇偶性1.理解函数的奇偶性及其几何意义,掌握奇函数、偶函数的定义,并会利用定义判断函数的奇偶性.2.了解奇、偶函数图象的对称性,能够根据函数的奇偶性和一半函数的图象画出另一半函数的图象.3.能够运用函数的奇偶性解答函数解析式,进一步运用函数的性质解答问题.美丽的蝴蝶,盛开的花朵,富有创意的图标等都蕴含了对称的美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映.问题1:观察上面的两个图片,说明它们各具备怎样的对称性?第一个图片可看作一个轴对称图形,第二个图片可看作一个中心对称图形.问题2:(1)奇函数、偶函数是如何定义的?(2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征?(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么f(x)就叫作偶函数.奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么f(x)就叫作奇函数.(2)偶函数的图象关于对称,奇函数的图象关于对称.问题3:奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数若在x=0处有定义,能得出什么结论?函数的奇偶性是函数的整体性质.由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于对称).若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则必有f(0)= ,即函数图象必过.问题4:奇偶性与单调性有什么联系?(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有的单调性.(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有的单调性. 判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=(x-1);(2)f(x)=+-;(3)f(x)=--;(4)f(x)=-利用奇偶性求值或求范围若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是().A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)利用奇偶性求解析式已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的解析式.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是().A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数考题变式(我来改编):函数的奇偶性知识体系梳理问题2:(1)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)(2)y轴原点问题3:原点0原点问题4:(1)相同(2)相反重点难点探究探究一:【解析】(1)由≥0,得定义域为[-1,1),关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.⇒x2=1⇒x=±1,∴f(x)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由-≥得定义域为[-1,0)∪(0,1],(3)由--≠=-,∴f(x)=---∵f(-x)=-=-=f(x),-∴f(x)为偶函数.(4)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x),当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x).综上所述,对任意的x∈(-∞,+∞),都有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.【小结】准确地理解掌握函数的奇偶性的定义是解决问题的前提.判断函数奇偶性的步骤:(1)考虑定义域是否关于原点对称,如果不是,那么它一定不具有奇偶性.(2)考虑f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若f(-x)既等于f(x),又等于-f(x),则函数既是奇函数又是偶函数;若f(-x)既不等于f(x),又不等于-f(x),则函数既不是奇函数,也不是偶函数.探究二:【解析】由题意知,函数f(x)的大致图象如图所示,易知f(x)<0的x 的取值范围为{x|-2<x<2},故选D.【答案】D【小结】在求解与奇偶性有关的抽象函数不等式时可画出函数的大致图象,利用数形结合思想求解.探究三:【解析】设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时,f(x)=x|x+2|.【小结】(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里.(2)转化为已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).全新视角拓展【解析】利用函数奇偶性的定义求解.A:令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),∴h(x)是奇函数,A错.B:令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),∴h(x)是偶函数,B错.C:令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,∴h(x)是奇函数,C正确.D:令h(x)=|f(x)·g(x)|,则h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|=h(x),∴h(x)是偶函数,D 错.【答案】C思维导图构建f(-x)=-f(x)原点f(-x)=f(x)y轴。
《函数的奇偶性》导学案
《函数的奇偶性》导学案一、学习目标1、理解函数奇偶性的概念，能够根据函数的解析式和图象判断函数的奇偶性。
2、掌握函数奇偶性的判定方法，会利用奇偶性的定义证明函数的奇偶性。
3、了解函数奇偶性的性质，能运用函数的奇偶性解决一些简单的问题。
二、学习重点1、函数奇偶性的概念和判定方法。
2、利用函数奇偶性的性质解决问题。
三、学习难点1、对函数奇偶性概念的理解。
2、函数奇偶性的判定和性质的综合应用。
四、知识回顾1、函数的定义：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
2、函数的图象：对于一个函数 y ＝ f(x)，如果把定义域内每一个自变量 x 的值和对应的函数值 y 组成的有序数对(x, y)，都作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，就得到函数 y ＝ f(x) 的图象。
五、新课导入观察以下函数的图象：1、函数 f(x) ＝ x²的图象关于 y 轴对称。
2、函数 f(x) ＝ x³的图象关于原点对称。
思考：函数的图象具有这样的对称性，那么函数的解析式又有怎样的特点呢？六、概念讲解1、偶函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。
例如，函数 f(x) ＝ x²，对于定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝（−（−x)²＝ x²＝ f(x)，所以 f(x) ＝ x²是偶函数。
2、奇函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝−f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。
例如，函数 f(x) ＝ x³，对于定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝（−x)³ ＝−x³ ＝−f(x)，所以 f(x) ＝ x³是奇函数。
人教新课标高中数学B版必修1《2.1.4 函数的奇偶性》教学设计
2.1.4《函数的奇偶性》教学设计一．教材分析：“函数的奇偶性”是普通高中课程标准试验教科书（必修）数学1的第二章第2.1.4节的内容。
函数的奇偶性是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。
函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的轴对称性和点对称性。
利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。
函数的奇偶性也是学生今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。
二．学情分析：这节课是函数奇偶性质学习的第一课时，因此通过学生先对实物图的观察、分析、理解来获得函数的奇偶性再结合理论推导来理解函数的奇偶性就显得比较流畅。
这样一方面与学生的认知结构相吻合，另一方面也可以增强学生的阅读理解能力。
另外根据我班学生的情况，本教案在例题的选择及处理方式方面也可作适当调整。
三．教学目标1、知识与技能目标：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会用定义判断函数的奇偶性。
2、过程与方法目标：在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.3、情感、态度、价值观目标：在学生感受数学美的同时激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神。
四．教学重点、难点教学重点：函数奇偶性概念。
教学难点：对函数奇偶性的概念的理解及判断。
五．教学方法本节课采用观察、探索、启发、讨论、归纳等多种教学手段和方法，采用媒体辅助教学，通过数形结合，增强直观性，通过函数奇偶性的图象对称性演示，使学生享受到数学的美感。
六．教学用具：多媒体。
七．教学过程：（一）导入新课设计：提出问题“我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家观察下列事物给你的感觉体现了什么样的美感呢？”在屏幕上给出一组图片设计理由：联系生活实际，激发学生的学习兴趣，使学生对函数的奇偶性反应在图像上的特点有一个初步的认识。
新人教版高中数学函数奇偶性导学案优秀
《函数的奇偶性》导学案【学习目标】1、从形与数的角度引导学生理解并掌握函数奇偶性的概念。
2、掌握判断函数奇偶性的基本方法。
3、通过概念的形成，培养学生的观察、抽象等能力，渗透数形结合的数学思想以及从特殊到一般的思想。
【学习重难点】重点：函数奇偶性的概念以及函数奇偶性的判断。
难点：函数奇偶性的概念的理解【学法指导】1、讨论法和勾画圈点法。
2、借助“导学教程”，从整体上把握本节的主要知识点。
3、将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面“我的疑问”处。
【预习导学】（一）、温习：1、初中平面几何学过的对称图形分为_____对称图形和_______对称图形。
2、列举生活中体现图形的对称美的例子(二)、探究任务一：画出2y x y x ==和的图像，并且从对称的角度观察他们的共性？你的结论任务二：函数图象的这种对称性除了可以从图象上认识外，是否可以用数量关系来表述？完成下列表格。
对于2()f x x =而言(1)f =_____ (1)f -=_____ (1)f =_____(1)f -(2)f =_____ (2)f -=_____ (2)f =_____(2)f -()f x =_____ ()f x -=_____ ()f x =_____()f x -分析此组结果，你的结论是我们把上面的函数称为偶函数。
你能否给偶函数下个定义： 任务三：类比探究函数3y x y x ==和此类函数的共性，并给奇函数下定义思考：判断一个函数的奇偶性有几种方法？判断函数奇偶性的步骤是？【预习自测】判断下列函数的奇偶性同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑?请记录下来【深化课堂】【理解新知】判断函数奇偶性方法：（1） 图像法()()()()()()()()32121113 4 f x x f x x f x f x x x x ==+==+ 如果函数图像关于y 轴对称，则函数是偶函数。
如果函数图像关于原点对称，则函数是奇函数。
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》第一章：引言1.1 课程目标：理解函数奇偶性的概念。
学会判断函数的奇偶性。
1.2 教学内容：引入函数的概念。
介绍奇函数和偶函数的定义。
举例说明奇函数和偶函数的性质。
1.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。
通过具体例子引导学生理解奇偶性的概念。
进行小组讨论，让学生互相交流思路。
1.4 教学活动：引入函数的概念，引导学生回顾已学的函数知识。
讲解奇函数和偶函数的定义，举例说明其性质。
布置练习题，让学生巩固奇偶性的判断方法。
第二章：奇函数的性质2.1 课程目标：理解奇函数的性质。
学会运用奇函数的性质解决问题。
2.2 教学内容：回顾奇函数的定义。
介绍奇函数的性质，如奇函数的图像关于原点对称等。
举例说明奇函数性质的应用。
2.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。
通过具体例子引导学生理解奇函数的性质。
进行小组讨论，让学生互相交流思路。
2.4 教学活动：回顾奇函数的定义，引导学生复习相关知识。
讲解奇函数的性质，举例说明其应用。
布置练习题，让学生巩固奇函数性质的理解。
第三章：偶函数的性质3.1 课程目标：理解偶函数的性质。
学会运用偶函数的性质解决问题。
3.2 教学内容：回顾偶函数的定义。
介绍偶函数的性质，如偶函数的图像关于y轴对称等。
举例说明偶函数性质的应用。
3.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。
通过具体例子引导学生理解偶函数的性质。
进行小组讨论，让学生互相交流思路。
3.4 教学活动：回顾偶函数的定义，引导学生复习相关知识。
讲解偶函数的性质，举例说明其应用。
布置练习题，让学生巩固偶函数性质的理解。
第四章：奇偶性的判断4.1 课程目标：学会判断函数的奇偶性。
理解奇偶性在实际问题中的应用。
4.2 教学内容：介绍判断函数奇偶性的方法。
举例说明如何判断函数的奇偶性。
探讨奇偶性在实际问题中的应用。
4.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。
通过具体例子引导学生理解判断函数奇偶性的方法。
进行小组讨论，让学生互相交流思路。
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2．4 函数的奇偶性
【知识络】
1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题．
【典型例题】
11A ）．（例）下面四个结论中，正确命题的个数是（f(x)f(0)?0y；③偶函数轴相交；②函数①偶函数的图象一定与为奇函数的充要条件是yfx=0xR ．（∈））的图象关于（轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是A1 B2 C3 D4
．．．．1y f(x)?提示：①不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；②不对，因为奇2xxf）既是奇函数又是偶函数的函数可以为（函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，aa
xA=0．∈（－〕，，答案为〔）2a2a?1,b??3ax)?ax?bxf( 2）是偶函数，且其定义域为［］（，则（）已知函数1?a a??1a?1a?3b0 AC b0 B Db0 b0 ＝，＝．．．，，＝＝，．
32f(x)?ax?bx?3a?bb0 ．＝为偶函数，得提示：由1(a?1)?2a?0aa?1,2a?A，∴，∴．故答案为又定义域为［．］3)f(fx)(x2x?x)?x2f(0?x R3R上的上的奇函数，当，则时，是定义在（）在）已知）表达式是（
2)?|?x(|xxyy?x(x?2)?x(|x|?2)y?||(x?2)y DC AB ．．．．)f(x2x?f(x)x?20x? R上的奇函数得：时，是定义在提示：由，2f(x)??f(?x)??(x?2x)?x(?x?2)0?x? x0，＜时，当
?2)xx?0)((x??f(x)?x(|x|?2))(xfD ．，答案为，即∴???2)(x?x(0)x?f(?2)?10358?ax?bxf(x)?x??26 f42（，那么（）已知）等于，且53f(?2)?8?18f(82)?26?f(?2)8?1?bx?x?ax??f(x)8 ．∴∴提示：，，为奇函数，1??f(xgf(x)(x)))xg(x)(f5的解析式为是奇函数，若，则（是偶函数，）已知?1x
1??)(x)gxf()g(xf(x)，是偶函数，联立可是奇函：提示由数，得??
1x111111?????)x)xg(f()xf(((x?))f ∴，得：，??????
221x1x1x1x2x12 ．判断下列函数的奇偶性：例1?x1)?xf()?(x(2)1 22；；（）1x?1?x??xf()1?x2?(x?0)x?x2)lg(1?x?f(x)??x)f( 43．（）（；）?
22|x?2|?2?x?x(x?0)??1?x?0[?1,1)f(x)为非奇非偶函数．，关于原点不对称，∴）由（解：1，得定义域为x?1．
∴．2，(2))(0xff(x)?1x??x??1?既是奇函数又是偶函数∴?
2?1?x?0?
2x?1?0??2?1?x?02)?xlg(1?2)xlg(1?(?1,0)(0,1)??，∴由得定义域为，（3）?)f(x?
22x22)?x?2?(|x?2|?2?0??22)x]lg(1(?x)?lg[1??f(x)f(x)为偶函数∵∴???f(?x)?
0x0??x? 4，（，则）当时，
22x?x)(22f(?x)??(?x)?x??(x?x)??f(x)
22)(xx)??f)?x??(?x?f(?x)?(?x0?0?xx?，，则当时，x?(??,??)f(?x)??f(x)f(x)为奇函数．综上所述，对任意的，∴，都有a)xf( 131?的不等式：）上的增函数，试解关于是定义在（例，．若奇函数2?4)?0?f(af(a?2) ．2f(a?2)??f(a?4) 解：由已知得222?f(a?4)?f(4?a)f(a?2)?f(4?a) f(x)．因，于是是奇函数，故?)(xf11 ）上的增函数，从而，是定义在（又?2?2?3?a?a4??2?a??
?1?a?2?1??3?a?21?a?3 ????214a???1??5?a?3或3?a?5??2)3,(．即不等式的解集是y xf(x)?f(y)?f(x?y))(xfx?0R4且当恒有，．已知定义在对任意实数上的函数、，例
20?(x)f??f(1) ．时，，又3)(xf(x)ff(x)3?6][R213上在在为奇函数；（）求证：）求上是减函数；（）求证：（，的最大值与最小值．(0)?ff(0?0)f(0)?f(0)?0y?x? f(0) = 01 ．，可得（，从而，）证明：令y??x f(x)?f(?x)?fx)(x?x)?f(0)?0f(?fx)??(f(x)为奇函数．即故，，令可得，x,xx?x?0f(x?x)?0x?x 2R．从而∈，且，则（）证明：设，于是22211121f(x)?f(x)?f[(x?x)?x]?f(x)?f(x?x)?f(x)?f(x)?f(x?x)?0 221112222221f(x)为减函数．所以，f(?3)f(6) 32．）解：由（，最小值为（）知，所求函数的最大值为
f(?3)??f(3)??[f(2)?f(1)]??[2f(1)?f(1)]??3f(1)?2
f(6)??f(?6)??[f(?3)?f(?3)]??4
f(x)[-36]2 -4 ．，最小值为于是，，上的最大值为在
【课内练习】1 C ）．下列命题中，真命题是（．
1?yA ．函数是奇函数，且在定义域内为减函数x031)?(xy?x B是奇函数，且在定义域内为增函数．函数?2xy? C30）上为减函数．函数，是偶函数，且在（20)?c(y?axac? D02）上为增函数．函数是偶函数，且在（，1?yADB中，中，在定义域内不具有单调性；提示：中，函数的定义域不关于原点对称；x20)(ac?y?ax?c0a? 02C．，）上为减函数，答案为时，在（当?????)x(2a)(xx))(bgxf()(xg52 0，都是奇函数，在（，．，＋∞）上有最大值若)(xf 0）在（－∞，则）上有（
3
1DA5B5 C．最大值－．最小值－．最小值－．最大值－?????)((x)x)f(x)2xabg()xg( 为奇函数．为奇函数，∴、提示：)(xf 0352．∴－，＋∞）上有最大值有最大值又在（，
)(xf(x)f0)??,((??,0) 123C．在，∴在－∴．答案为上有最小值－上有最小值－0)?0xf(xf(?3)?)f(x，则不等式3．定义在，+∞）上是增函数，又R上的奇函数在（0 A）的解集为（+∞）3）∪（3，B．（－∞，－，A．（－30）∪（0，3）
））∪（0，3 D．（－∞，－3）∪（C．（－3，03，+∞）
．提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A2)??f(xy)(xy?f 4.已知函数），2］上是单调减函数，则（A是偶函数，在［0(2)ff(0)?f?f(2)(?1)?f(0)?f(?1) A.B.
(0)f?1)?f(0)f(2)?f(f(?1)?f(2)?. D. C)xf(.
］上单调递减，∴02，］上单调递减在［－提示：由f（x－2）在［0，2(1)1)?f(x)f(?y?f(x)f ，故应选A在［0∵，2］上单调递增.又是偶函数，∴.1xx?)f(x)f(x)(xf0lg1051）时，∈（－，那么当奇函数，当．已知）时，∈（，，x1?)lg(1?x ．的表达式是
1)(fx)??f(?x)??lgxlg(1??xx??（－1，0）时，．∈（0，提示：当1），∴x?1x?2?alog)?f(x a2007 = 20086．＋是奇函数，则．已知2007a3x?a a?2?a2a20071a?10???f(0)log ．，提示：，
解得：，经检验适合，20082007a??3aax
0)?1f(x?1f(x)?x?)xf(∞∈的，则)是偶函数，当时，07．若［，+2}x?{x|0?解集是
0?)f(x)f(x由图可知的图象，提示：偶函数的图象关于y轴对称，先作出
0x?1)?f(2}0?x?{x?{x|1?x?1}|. ，∴的解集为的解集为 8．试判断下列函数的奇偶性：
||x2x1?02|??|x|f(x)?x?2|)1(f(x)?x??)f(x））（1．（2（3；）；
3?x3?x)x(?x2|?f|2|x???????x(f?)|x2||x2||??（解：1R）函数的定义域为，，)xf( 为偶函数．故．2??x01?[?1,0)(0,1] 20x?x?1且?1?，关于原点对称，，定义域为）由（得：?
|x?3|?3?0?
22xx?11?2x1?)xf(??f(x) 为奇函数．，，故)f?(xf(?x)??3x?3?x?x3(0)(01)(1+)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，∪，，（∞）函数的定义域为∪-∞，又非偶函数．aa??3)(y)f(?x?y)?f(x)f,f(x)xy?Rf(，用对一切．已知函数，都有，若9f(12)．表示
f(x)f(x?y)?f(x)?f(y)R中，，它关于原点对称．在解：显然的定义域是
y??x f(0)?f(x)?f(?x)，令，得x?y?0f(0)?f(0)?f(0)f(0)?0，，得令，∴f(x)?f(?x)?0f(?x)??f(x)f(x)是奇函数．∴∴，，即f(?3)?af(12)?2f(6)?4f(3)??4f(?3)??4a．∴，∵
2?1axac3(2)?f2(1)?fb)Zca,b,?xf()?(、、是奇函数，又，，．已知函数10，求bx?c的值.
f(?x)??f(x)?bx?c??(bx?c)f(1)?2a?1?2b，∴c=0. 解：由又得，得4a?1f(2)?321?a??3?，得. 而，解得a?1a?Za?0a?1.
又，∴或1a?0a?1Z??，则若若，则b=b=1∈Z.
，应舍去；2a?1,b?1,c?0. ∴。