专题01特殊平行四边形的中点四边形问题教师版

专题01 特殊平行四边形中的中点四边形问题

【典型例题】

1．（2020·山东河东初三一模）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形

B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形

C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

【解析】根据题意，可知，连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断：

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；

B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；

C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确；

D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；故选D．

2．（2019·湖北安陆）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，对角线AC，BD满足________，才能使四边形EFGH 是矩形．

【解析】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，

∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．

【专题训练】

一、选择题

1．（2019·四川大英）已知：如图，在矩形ABCD中，E ,F ,G ,H分别为边AB, BC ,CD, DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )

A．5 B．4.5 C．4 D．3.5

【解析】连接AC，BD，FH，EG，

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，

∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴HG=1

2

AC,EF∥AC,EF=

1

2

AC,EH=

1

2

BD，GF=

1

2

BD，

∴EH=HG =EF=GF，∴平行四边形EFGH是菱形，∴FH⊥EG，

∴阴影部分EFGH的面积是1

2

×HF×EG=

1

2

×2×4=4，故选C.

2．（2020·全国）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形

解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，

同理：HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴GH＝1

2

AD，GF＝

1

2

BC，

∵AD＝BC，∴GH＝GF，∴平行四边形EFGH是菱形；故选B．

二、填空题

3．

（2019·山东莱州）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，HF＝2，EG＝4，则四边形EFGH的面积为____________．

【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∵E、F、G、H分别是四条边的中点，∴AE＝DG＝BE＝CG，AH＝DH＝BF＝CF，

∴△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF(SAS)，∴EH＝EF＝FG＝GH，∴四边形EFGH是菱形，

∵HF＝2，EG＝4，∴四边形EFGH的面积为1

2

HF·EG＝

1

2

×2×4＝4.

4．（2019·广东揭阳初三期中）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件_____．

【解析】添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=1

2

AC；同理EF∥AC且EF=

1

2

AC，同理可得EH=

1

2

BD，

则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．

5．（2019·全国初三课时练习）如图，点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，当四边形EFGH满足条件_______时，四边形EFGH是菱形．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）

【解析】解：在四边形ABCD中，∵E、F、G、H分别四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点

∴HG=EF=1

2

AC，GF=HE=

1

2

BD∴四边形EFGH是平行四边形

若HG=GF∴平行四边形EFGH是菱形．故答案为HG=GF.

6．（2019·黑龙江省红光农场学校初三期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．