2019-2020学年高中数学 函数的基本性质导学案3 新人教A版必修1.doc
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 函数的基本性质课堂导学案 新人教A版必修1
1.3.1 函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例1】 证明函数y=x-x1在(0,+∞)上单调递增. 思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=x 1-11x -(x 2-21x )=(x 1-x 2)+21x -11x =(x 1-x 2)+2121)(x x x x -=(x 1-x 2)(1+211x x ). ∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0,1+211x x >0. 因此（x 1-x 2）(1+1x 1x 2)<0,∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=x-x1在（0，+∞）上单调递增. 温馨提示1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x 1)-f(x 2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x 1-x 2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f(2)<f(π),试判断f(-2)与f(2)的大小.思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小. 解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.又∵1<2<π,f(2)<f(π),可以得f(x)在［1,+∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，f(x)在(-∞,1)上单调递减.由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0).∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2).温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例3】 求f(x)=x+1-x 的最小值.思路分析：该题函数f(x)由x 与1-x 相加构成，x 与1-x 具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x 的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决. 解法一：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x 、1-x 同时单调递增，因此f(x)=x+1-x 在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+11-=1.解法二：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］，令1-x =t ≥0,x=t 2+1, ∴f(x)=g(t)=t 2+1+t=t 2+t+1=(t+21)2+43(t ≥0).由于g(t)的对称轴t=-21在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min =1，∴f(x)的最小值为1.温馨提示1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b ］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b ］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).三、函数单调性的应用【例4】 (1)若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)y=kx 2-32x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k 的取值范围. 思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx 2-32x+1中的k 是否为零要注意讨论. 解：(1)f(x)=x 2+2(a-1)x+2，其对称轴为x=12)1(2⨯--a =1-a ，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a ≥4,即a ≤-3.如图所示.(2)k=0时，y=-32x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=k31<0在［0,+∞］上单调递减. 综上，k ≤0.温馨提示f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.各个击破类题演练1证明二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-a b 2）上是增函数. 证明：设x 1、x 2∈(-∞,-ab 2)，且x 1<x,则f(x 1)-f(x 2)=ax 12+bx 1-ax 22-bx 2=(x 1-x 2)［a(x 1+x 2)+b ］. ∵x 1,x 2∈(-∞,-ab 2), ∴x 1+x 2<-ab ，∴a(x 1+x 2)>-b, ∴a(x 1+x 2)+b>0.∵x 1-x 2<0，∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴y=ax 2+bx+c 在（-∞,-a b 2］上单调递增. 变式提升1若函数f(x)=x+x1定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间. 解析：设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -(x 2+21x ) =(x 1-x 2)+2112x x x x - =(x 1-x 2)(1-211x x ) =(x 1-x 2)·21211x x x x -. 由于x 1-x 2<0,x 1x 2>0,只有x 1x 2-1>0或x 1x 2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然0<x 1<x 2≤1时，有x 1x 2<1,x 1x 2-1<0,f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,1)上单调递减. 当1≤x 1<x 2时，则有x 1x 2>1,从而x 1x 2-1>0,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在［1,+∞］上单调递增.当0<x 1<1<x 2时，x 1x 2与1的大小关系无法确定，在(0,+∞)上不具备单调性.综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增.类题演练2f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a 2-a+1)与f(21)的大小关系是_______________. 解析：∵a 2-a+1=(a-21)2+43>21, 又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，∴f(a 2-a+1)<f(21). 答案：f(a 2-a+1)<f(21) 变式提升2如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.解析：∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)的对称轴为x=2.故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).类题演练3已知函数f(x)=x x x 2122++,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.解析：f(x)=x+x 21+2, 设1≤x 1<x 2,f(x 2)-f(x 1)=(x 2-x 1)(1-2121x x ). 2x 1x 2>1,0<2121x x <1,得1-2121x x >0, 又x 2-x 1>0,∴f(x 2)-f(x 1)>0,f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=27. 变式提升3求函数f(x)=-x 2+2ax+1在［0,2］上的最大值.解析：f(x)=-x 2+2ax+1=-(x 2-2ax+a 2)+a 2+1=-(x-a)2+a 2+1.由于f(x)的对称轴x=a 对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a 2+1;当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3.综上，f(x)在［0,2］上的最大值为 g(a)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+<.2,34,20,1,0,12a a a a a 类题演练4二次函数y=x 2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：（1）m 的值是多少？（2）此函数的最小值是多大？解析：（1）由于y=x 2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2.(2)y min =3.变式提升4已知f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解析：f(x)=21++x ax =221)2(+-++x a x a =a+221+-x a . ∴y-a=221+-x a 与y ′='x k 比较，知f （x ）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.∴a>21. 温馨提示本题关键是将它化为y=m+cx n +型，再根据函数y=x k 的单调性来考虑a 应满足的条件，从而求出a 的取值.。
高中数学 1.2.3函数的基本性质导学案 新人教A版必修1
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.2.3函数的基本性质导学案新人教A 版必修1学习目标：掌握函数图象的平移变换、对称变换学习重点：函数图象变换的规则学习过程： 作出下列各组函数的图象，并观察规律一、平移变换1、2)(x x f = ()23-=x y ()23+=x y变换规则：_________________________，_________________________。
2、2)(x x f = 32+=x y 32-=x y变换规则：______________________________，_____________________________。
二、对称变换：1、23)(2+-=x x x f2)(3)(2+---=x x y)23(2+--=x x y变换规则：_________________________， __________________________。
2、23)(2+-=x x x f 232+-=x x y 232+-=x x y变换规则：______________________________，____________________________。
三、实践体验：求下列函数的值域1、111)(+-=x x f2、2)(-=x x f []4,1∈x3、xx f +-=12)( []3,2∈x4、2)(+-=x x f四、课后感悟1． 若f(x )的图象过(0,1)点，则f - －1(x )的图象过______点，f (x ＋1)的图象过______点，f -－1(x ＋1)的图象过______点。
2．1）把函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式为_____。
2）将函数y ＝2x 的图象向________平移_________个单位，再作关于直线y ＝x 对称的图象可得出函数y ＝log 2(x +1)的图象。
2019-2020学年人教A版必修 第一册3.1.1 函数的概念 学案
【新教材】3.1.1函数的概念（人教A版）1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
一、预习导入阅读课本60-65页，填写。
1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做，叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（ ） (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.（ ） (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) 2．函数y ＝1x ＋1的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B．[－1,0)C ．(－1，＋∞) D ．(－1,0) 3．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________． (2){x |x ＞1}用区间表示为________．题型一 函数的定义例1下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=( )2,g(x)= ;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)= -,g(x)=x-1;②f(x)=,g(x)=;③f(x)= ),g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 题型三 区间例3已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=)| |-; (2)f(x)=- -- .跟踪训练四1.求函数y= -的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 题型五 求函数值（域） 例5(1)已知f(x)＝(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1；②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝；④y ＝2x － .跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ ＋1；(2)y ＝.1．对于集合 ， ，由下列图形给出的对应 中，不能构成从 到 的函数有（ ）个A. 个B. 个C. 个D. 个2．函数()2121f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．a <0D ．a <13．函数f （x ）=的定义域为 A ． 或 B ． C ． D ．4．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A.B.C.D.5．下列各组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ）A ．()()2,2f x x g x x =-=-B ．()()32,f x x g x ==C ．()()22,2x f x g x x x=+=+D ．()()22,1x x x f x g x x x-==- 6．集合A ={x |x ≤5且x ≠1}用区间表示____________．7．已知函数8()2f x x =-（1）求函数()f x 的定义域； （2）求(2)f -及(6)f 的值． 8．求下列函数的值域： （1）f （x ）=211x x -+；（2）f （x ）=x ．答案小试牛刀1．（1）× （2） × （3）√ （4）× （5 ）× 2．C 3．D4. (1)[10,100] (2)(1，＋∞) 自主探究 例1【答案】D 跟踪训练一【答案】C 例2 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=( )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)= 的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 跟踪训练二【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.例3【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].跟踪训练三【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴实数a的取值范围是(-∞,3).例4【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0)(2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足,||-,即-,||,解得x<0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足-,-,即,故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].跟踪训练四【答案】(1)-,且(2)-,【解析】(1)要使函数有意义,需 ,- , ,解得-≤x<2,且x ≠0,所以函数y=-的定义域为 -,且 .(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤. ∴函数f(2x+1)的定义域是 - ,. 例5【答案】（1）13 17 （2）① R ② [2,6)③ {y|y ∈R 且y≠3}④⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞【解析】(1) ∵f(x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x 2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6， ∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.跟踪训练五【答案】(1) [1，＋∞) (2) －【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 当堂检测1-5．CADCD 6．(,1)(1,5]-∞7．【答案】（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f = 【解析】（1）依题意，20x -≠，且30x +≥，故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()3,22,-⋃+∞.（2）()82122f -=+=---，()86562f ==-. 8. 【答案】（1）（–∞，2）∪（2，+∞）； （2）[–54，+∞）. 【解析】（1）因为f （x ）=()2131x x +-+=2–31x +，所以f （x ）≠2， 所以函数f （x ）的值域为（–∞，2）∪（2，+∞）．（2（t≥0），则x=t 2–1，所以y=t 2–t –1（t≥0）． 因为抛物线y=t 2–t –1开口向上，对称轴为直线t=12∈[0，+∞），所以当t=12时，y取得最小值为–54，无最大值，所以函数f（x）的值域为[–54，+∞）．。
高中数学人教A版必修1学案1.3.1函数的基本性质课堂导学案
函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例】证明函数在(∞)上单调递增.思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意、∈(∞)且<,则()()()()()()().∵<<,∴<>>.因此（）()<,∴()()<,即()<().∴()在（，∞）上单调递增.温馨提示.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明..利用定义证明单调性，一般要遵循：()取值(任取给定区间上两个自变量);()作差变形〔将()()进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有()的因式〕;()判断符号(根据条件判断差式的正负);()得出结论..有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例】 ()是二次函数，且在处取得最值，又()<(π),试判断()与()的大小.思路分析：解决此题的关键是将()与()置于某一单调区间内再进行比较大小.解：由于()是二次函数，且在处取得最值，因此是二次函数的对称轴.又∵<<π()<(π),可以得()在［∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，()在(∞)上单调递减.由于与关于对称，∴()().∵<,∴()>(),即()>().温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例】求()的最小值.思路分析：该题函数()由与相加构成，与具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于的次数不一致，出现了相当于倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：()的定义域为［∞］,在［∞］上、同时单调递增，因此()在［∞］上单调递增，最小值为().解法二：()的定义域为［∞］，令≥,∴()()()(≥).由于()的对称轴在［∞)的左侧，()的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［∞)上单调递增，当时()，∴()的最小值为.温馨提示.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围..利用单调性求最值，其规律为：若()在［］上单调递增，则()≤()≤()，即最大值为(),最小值为();若()在［］上单调递减，则()≤()≤()，即最大值为(),最小值为(). 三、函数单调性的应用【例】 ()若函数()()在区间(∞］上是减函数，求实数的取值范围；()在［∞)上单调递减，求实数的取值范围.思路分析：()二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.()中的是否为零要注意讨论.解：()()()，其对称轴为，若要二次函数在(∞］上单调递减，必须满足≥,即≤.如图所示.()时，满足题意；>时，抛物线开口向上，在［∞)上不可能单调递减；<时，对称轴<在［∞］上单调递减.综上，≤.温馨提示。
2020年最新人教A版高中数学必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质导学案
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f (x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f (x) = 0，则f (x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f (x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)（f(x 1)>f(x 2)），那么就说f(x)在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（2）如果函数y=f (x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质知识导学案 新人教A版必修1
1.3 函数的基本性质知识导学函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数y=f(x),它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数它在某区间上可能单调递增,而在另外一区间上可能单调递减;对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=x1在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,因为当取x 1=-1,x 2=1时,对应的函数值为f(x 1)=-1,f(x 2)=1,显然有x 1<x 2,但f(x 1)<f(x 2),不满足减函数的定义.函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的图象是沿x 轴正方向逐渐上升的;在单调区间上的减函数,它的图象是沿x 轴正方向逐渐下降的. 关于函数的奇偶性的判断,应该注意以下几点:(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数;(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;(3)定义域关于原点对称,且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的函数才是偶函数或奇函数.函数奇偶性的应用:(1)利用奇偶性求有关函数值;(2)利用奇偶性求有关函数的解析式;(3)利用奇偶性研究函数的其他性质.另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数f(x)在区间[a,b](0<a<b)上的最大值为-m,最小值为-M;(3)偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值.疑难导析也存在一些函数,根本就没有单调区间,如函数:f(x)=5x,x ∈{1,2,3}.再者,因为一个固定点的函数值不会发生变化,所以函数的单调性不在某一个点去讨论,即使在定义域内,也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区间端点正好是不连续的点).(1)在这个区间上的x 1、x 2必须是任意的.(2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大,小对小”,可以用“荣辱与共”这个词形容.(3)说增函数必须谈及区间,脱离区间谈增函数是没有意义的.(4)定义的内涵与外延:内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况;外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数.若f(x)、g(x)都为增函数(减函数),则f(x)+g(x)为增函数(减函数).若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)-g(x)为增函数;若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数.奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.奇函数和偶函数还具有以下性质:(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即f(x)=2)()(2)()(x f x f x f x f -++--. (5)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则f(0)=0.问题导思函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的,是函数的“局部”性质.在几个不同区间的单调性并不意味着在这几个区间并集上也具有同样的单调性,必须严格按照函数单调性的定义加以证明才可以得出结论.一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称,即定义域关于原点对称是函数为偶(或奇)函数的必要条件,这是奇、偶函数的本质属性之一.奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.关于奇偶性的几个命题:命题1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件. 如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出.命题2 函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数.由函数奇偶性易证.命题3 已知函数f(x)是奇函数,且f(0)有定义,则f(0)=0.由奇函数的定义易证.命题4 已知f(x)是奇函数或偶函数,方程f(x)=0有实根,那么方程f(x)=0的所有实根之和为零;若f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程f(x)=0有奇数个实根.方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x 轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若f(x 0)=0,则f(-x 0)=0.对于定义在实数集上的奇函数来说,必有f(0)=0.故原命题成立. 典题导考绿色通道应该严格按照求差法的步骤,一步步地走,这个步骤也是个程式化的东西,不能为了省事而对其中的步骤加以简化.这个函数的图象(如图1-3-2所示):图1-3-2典题变式判断f(x)=11-+x x 在x ∈(1,+∞)上的单调性. 答案:减函数.绿色通道如果一个函数在某个区间内单调,那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值,并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.黑色陷阱容易对a 的分类不全面,造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值,也会造成解题错误. 典题变式1.函数f(x)=ax 2-2ax+2+b(a ≠0)在［2,3］上有最大值5和最小值2,求a 、b 的值.答案:⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.3,10,1b a b a 或 2.已知函数f(x)=211x+. (1)判断f(x)的奇偶性.(2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的结论. 答案:(1)f(x)为偶函数.(2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数. 绿色通道根据奇函数以及偶函数的定义,判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),前者是偶函数,后者是奇函数;如果这两个都不成立,则是非奇非偶函数.对于一个命题若是假命题,只要举一反例来说明即可.比如,说一个函数是非奇非偶函数,只要说明它的定义域不合要求即可,而不必套用作差法进行检验.有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.黑色陷阱要注意的是,有的函数既不是奇函数又不是偶函数,解题中容易忽视这一点.典题变式判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=22)1()1(--+x x (2)f(x)=(x-1)xx -+11. 答案:(1)奇函数.(2)偶函数.典题变式1.若f(x)是偶函数,当x ∈［0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是_________. 答案:{x|0<x<2}2.设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若f(1,m)<f(m),求实数m 的取值范围.答案:-1≤m<21. 绿色通道函数的单调性反映的是函数值y 随自变量x 的变化而变化的一种规律.本题给出的是个抽象函数问题,尽管它没有给出具体的解析式,但我们仍可以通过赋值去把握它,具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值,如0、1等.典题变式对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)解不等式f(2x 2-1)<2.答案:(1)(2)略; (3)(-210,210).。
人教A版(2019)高中数学必修第一册 3 函数的概念(一)导学案
3.1函数的概念（一）一、探究新知问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km/h 后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t (单位：h ）的关系可以表示为350S t =．①思考1：有人说：“根据对应关系350S t =，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ．”你认为这个说法正确吗?问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。
如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。
显然，工人一周的工资w （元）和他一周工作天数d （天）的关系可表示为350w d =．②思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数的值I ？思考3：本题中变量I 是变量t 的函数吗？问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。
下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．思考4：本题中恩格尔系数r 是时间（年）y 的函数吗？请仿照前面的方法描述说明？思考5：上述四个问题有何共同特点：共同特征： 【知识点】函数的概念 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的 ，按照某种确定的 ，在集合B 中都有 和它对应，那么就称 为从集合A 到集合B 的一个函数(function)，记作 ． 2．函数的定义域和值域函数y ＝f(x)中x 叫做 ，x 的取值范围A 叫做函数的 (domain)；与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的 (range)．显然，值域是集合B 的子集． 二、知识应用【例1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A 到集合B 的函数：(1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；(2)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如右图所示； (3)A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝|x |； (4)A ＝R ，B ＝{0,1}，x 为无理数时，f (x)= 0，x 为有理数时，f (x)＝1．练习1：下列从集合A 到集合B 的对应关系f 是函数的是( )A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝{8≤≤0x x }，BA ＝{4≤≤0x x }，:f x y x →=【例2】写出下列函数的对应法则、定义域、值域函数 对应法则定义域值域正比例 函数 反比例 函数 一次函数二次函数【例3】设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 练习1．下列各个图形中，不可能是函数()y f x =的图象的是( )【例4】函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。
高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.2函数的基本性质Word版含答案
【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值（人教A版）1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性．一、预习导入阅读课本76-80页，填写。
1．增函数、减函数的定义2、单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝1x在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．3、函数的最大（小）值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )(3)任何函数都有最大值或最小值．( )(4)函数的最小值一定比最大值小．( )2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )A．[－4,4] B．[－4，－3]，[1,4]C．[－3,1] D．[－3,4]3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 4．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋15．函数f (x )＝2x，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________． 题型一 利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1x . 跟踪训练一1. 已知x ∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二 利用函数的图象求函数的最值例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x ,0<x<1,x,1≤x ≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+1x 在区间(0,1)内为减函数. 跟踪训练三1.求证：函数f(x)＝21x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 题型四 利用函数的单调性求最值例4 已知函数f(x)=x+ 4x .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.跟踪训练四1.已知函数f(x)＝6x−1(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．题型五函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f34⎛⎫⎪⎝⎭的大小.跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)−f(b)a−b>0，则必有( )A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )A．－1 B．0C．1 D．23．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( ) A．[160，＋∞) B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是。
高一数学导学案1.3函数的基本性质新人教A版必修1
《1.3函数的基本性质练习》导学案班次 姓名【学习目标】其中1、2是重点和难点1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.【课前导学】复习教材第27-36页，找出疑惑之处，完成知识梳理1．如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？2．如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示（加*号的可以选做）例1作出函数y ＝x 2－2|x |－3的图象，指出单调区间及单调性.小结：利用偶函数性质，先作y 轴右边，再对称作.变式：y ＝|x 2－2x －3| 的图象如何作？反思：如何由()f x 的图象，得到(||)f x 、|()|f x 的图象？例2已知()f x 是奇函数，在(0,)+∞是增函数，判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并进行证明.反思：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？（偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ；奇函数在关于原点对称的区间上单调性 ）例3某产品单价是120元，可销售80万件. 市场调查后发现规律为降价x 元后可多销售2x 万件，写出销售金额y (万元)与x 的函数关系式，并求当降价多少元时，销售金额最大？最大是多少？小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题【自我评价】你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2y x b x c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围 （ ）.A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-2. 下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（ ）.A ．1y x =-+B ．y =C ．245y x x =-+D ．2y x =3. 已知函数y =2a x b x c++为奇函数，则（ ）.A. 0a =B. 0b =C. 0c =D. 0a ≠4. 函数y ＝x 的值域为 .5. 2()4f x x x =-在[0,3]上的最大值为 ，最小值为 .【能力提升】可供学生课外做作业1．已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<. 求实数a 的取值范围.2．判别下列函数的奇偶性：（1）y（2）y ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩.3．判断函数y =21x x ++单调性，并证明.4．已知函数()f x =（1）讨论()f x 的奇偶性，并证明；（2）讨论()f x 的单调性，并证明.5．求函数1()(0)f x x x x =+>的值域.【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来！。
高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章 函数的概念与性质 导学案
必修1 第三章函数的概念与性质幂函数重点幂函数的概念、性质，从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质难点幂函数性质及应用，画五个幂函数的图象并由图象概括其性质考试要求考试➢题型选择题、填空题和解答题。
➢难度中等核心知识点一：1. 幂函数的概念函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
2. 幂函数的图象与性质（1）五种常见幂函数的图象。
（2）五类幂函数的性质，幂函数y＝x y＝x2y＝x321xy y＝x－1定义域R R R[0，＋∞）（－∞，0）∪（0，＋∞）值域R[0，＋∞）R[0，＋∞）{y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞），增x∈（－∞，0]，减增增x∈（0，＋∞），减x∈（－∞，0），减公共点都经过点（1，1）幂函数的性质归纳（1）所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）。
（2）α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞）上是增函数。
特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸。
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上是减函数。
在第一象限内，当x从右趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。
典例一：幂函数的概念理解【基础训练】下列函数为幂函数的是（）①y ＝－x 2；②y ＝2x ；③y ＝x π；④y ＝（x －1）3；⑤21x y =；⑥y ＝x 2＋x1。
A. ①③⑤B. ①②⑤C. ③⑤D. 只有⑤解析：选C 。
①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x 是指数函数；④y ＝（x －1）3的底数是x －1而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋x1是两个幂函数和的形式，也不是幂函数。
很明显③⑤是幂函数。
【能力提升】已知幂函数y =f （x ）的图象经过点（3，3），求这个函数的解析式。
解析：设所求幂函数的解析式为y x α=因为点（3，3）在函数图像上，所以代入解析式得a33= ∴21=a ∴21x y =∴幂函数的解析式为21x y =。
2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案2 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案2 新人教A 版必修1教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．3．f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P38练习第1、2题例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：○1课本P38练习第3题；○2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．○1这个函数的定义域是什么？○2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第1- 5题．2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，○1求f(0)、f(1)的值；○2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案3 新人教A版必修1一、教学目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
高中数学人教a版必修1学案1.3函数的基本性质
7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于 原点对称的区间上单调性相反．
二、典型例题选析 例 2 当 a，b，c 满足什么条件时， 函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 是：(1) 奇函数； (2)偶函数； (3) 既奇又偶函数； (4) 非奇非偶函数．
解 (1)若是奇函数，应有 f(－ x)＝－ f(x)， 于是有 ax2－ bx＋ c＝－ ax2－ bx－ c， 即 ax2＋ c＝ 0 对定义域内所有实数都成立，
y＝x2－ 2x＋ 1
在整个定义域 (－∞，＋∞ )上不具有单调性，但是在 (－∞， 1]上是减函数，在 (1，＋∞ )上是
增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．
3．有的函数无单调性．如函数
1，x为有理数， y＝
0， x为无理数，
它的定义域是 (－∞，＋∞ )，但无
单调性可言，又如 y＝ x2＋ 1， x∈ {0,1,2} ，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上
2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需
要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：
f(－ x)＝ ±f(x)? f(－ x) ±f(x)＝ 0 ? f － x 3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于
y 轴成轴对称图形，反
(2)作差：指求 f(x2)－ f( x1)． (3) 变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差 式 f(x2) －f(x1)进一步化简变形，变到利于判断 f(x2)－ f (x1)的正负为止．常用的变形技巧有： 通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号．
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2019-2020学年高中数学 函数的基本性质导学案3 新人教A 版必修1 本节学习目标:
1.了解奇偶性的概念，会利用定义判断简单函数的奇偶性.
2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.
3.学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.
学习重点：奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
学习难点:函数奇偶性概念的认识。
学习过程：
1.自主学习：
1.判断函数单调性的方法.
2.画出函数2x y x y ==与，从对称的角度观察其图像特点。
3.分析函数2
x y =的图像，比较()()x f x f -与的关系。
4.给出偶函数的概念。
5.偶函数的图像有什么特征？
6.偶函数的定义域有何要求？
7.观察函数x y =的图像，给出奇函数的概念、性质、图像特征。
（二） 合作探讨
例1 判断下列函数的奇偶性
（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()x x x f +=1 （4）()21x
x f =
例2已知函数y ＝f(x)是偶函数，且知道x ≥0时的图像，请作出另一半图像.
例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)
上也是增函数
（三） 巩固练习：
1、判断下列函数的奇偶性 （1）()2432x x x f +=（2）()x x x f 23
-=（3）()x x x f 12+= （4）()12+=x x f （5）()[]2,1,2-∈=x x x f （6）()2244x x x f -+-=
2.已知函数f(x)=x 2-,
(1)它是奇函数还是偶函数？
(2)它的图像具有怎样的对称性?
(3)它在(0，＋∞)上是增函数还是减函数？
（4）它在(－∞，0)上是增函数还是减函数？
3.已知f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上也是增函数还是减函数？并证明你的判断.
y
4. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
（四） 学习收获：
知识：
方法：
我的问题：
（五）拓展能力 1。
定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。