《高等数学》 简介

1 y
o
x
1, y sgn x 0, 1,
x 0, x 0, x 0.
-1
x sgn x x .
$1-1函数
16
(2) 取整函数 y=[x],
[x]表示不超过 x 的最大整数. y
阶梯曲线
(step curve)
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x 0, x 0.
y 2x 1
$1-1函数
21
例 Example 1
解solution 当 t [0, ] 时, 2 2E E t; U t 当 t ( , ] 时, 2 E0 U 0 ( t ), 2
a, b R, 且a b(表示任意一个） .
记作 (a , b). { x a x b} 称为开区间(open interval),
o a x b { x a x b} 称为闭区间(closed interval),记作 [a , b]. o a
$1-1函数
b
7
x
{x a x b}, 记作 [a , b). {x a x b}, 记作 (a , b].
y
M y=f(x) o -M
$1-1函数
y
M
x
有界 X
o -M
25
x0
X 无界
x
f(x)在X上无界即：
M 0, 总x1 X , 使 f ( x1 ) M
注意：函数的有界性与区间有关
例如:
1 y ，在（0，）内无上界，有下界 1 1， x y 故在（0，）内是无界的 1 ; 6 但在 10 ,1 上是有界的. 1
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域.
(domain )
(independent variable)
(dependent variable)
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集
(range). W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域
2
脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图 所示,写出电压U与时间 t ( t 0)的函数关系式.
U
E
( , E) 2
( ,0 )
o
2
t
单三角脉冲信号的电压
即U
22
2E

( t ).
$1-1函数
当 t (,) 时, U 0.
U U ( t )是一个分段函数 , 其表达式为
D:[-1,1]. D：(-1,1).
14
y 如果自变量在定义 域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有 一个，这种函数叫作单 W y (single value function ), 值函数 否则叫作多值函数 o (multiple-valued function ).
( x, y)
x
x
通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, z, s, t , u ,v, w等表示变量. 常量可看作变量的一个特殊情况，认为在某一过 程中该变量始终取一个数值。
$1-1函数 10
运算性质(character):
5.绝对值(absolute value): a , a 0, a ( a 0) a , a 0.
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集(empty set),(记作 )
例如, { x x R, x 1 0} .
2
规定 空集为任何集合的子集 (subset ).
$1-1函数 6
2.区间(interval): 是指介于某两个实数之间的 全体实数.这两个实数叫做区间的端点(end point).
《高等数学》 简介 <Higher mathematics>Summarized account
一.高等数学与初等数学的区别
初等数学研究的对象主要是常量与固定的图形，初 等数学是关于常量的数学。而高等数学研究的是变 量和变化的图形，高等数学是研究变量的数学。
二.《高数》课的内容
一元函数微积分 1.数学分析 微积分 多元函数微积分 级数
2.常微分方程 3.向量代数、空间解析几何
$1-1函数 1


三.学习方法及要求
1.注意知识的系统性、严密性、抽象性及应用 的广泛性。 2.掌握几个环节： 听讲：全神贯注，听不懂时暂不讨论；补充的 内容尽量作笔记。 复习：结合教材按讲课系统看参考书，定义、 定理、 理解记住。 习题：大量做、适量做，点的题目必做。
$1-1函数 13
函数的两要素:
定义域与对应法则(rule of correspondence).
(
x
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量 x
(
W
y
)
因变量 y
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x 2 ,
1 , 例如， y 2 1 x
$1-1函数
D
例如，x 2 y 2 a 2确定了一个多值函数y a 2 x 2
定义: 点集C {( x , y ) y f ( x ), x D} 称为
函数y f ( x )的图形 （figure）.
$1-1函数
15
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数 (sign function)
$1-1函数 24
D f : [3,1].
三、函数的特性
(properties of function)
1．函数的有界性(boundedness):
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界, 否则称无界(unbounded).
U
E
( , E) 2
( ,0 )
o
2
t
2E t, 2E U (t ) ( t ), 0,
$1-1函数
t [0, ], 2 t ( , ], 2 t ( ,).


23
例 Example 2
1, 0 x 1, 设f ( x ) 2, 1 x 2, 求函数 f ( x 3)的定义域.
a
0 δ
a
a
记作U 0 (a ).
x
点a的去心的邻域,
U (a ) { x 0 x a δ}.
$1-1函数
9
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量(constant), 而数值变化的量称为变量(variable ) (argument).
注意： 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法：
小结：每章结束，自己应做个小结。
四.考试为全校统考，流水阅卷
$1-1函数 2
第一章 函数与极限
函数——-本课程研究的对象。
极限——-本课程的基本手段， 研究变量的基本方法。 连续——有极限的特例， 函数的一个常见性质。
$1-1函数
3
一、基本概念(Basic concepts)
1.集合(set): 具有某种特定性质的事物的总体.
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x)
g( x )
o
x
o
x
$1-1函数
19
（5）绝对值函数 x , x 0 y x x, x 0

y
y x
o
x
$1-1函数
20
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用
不同的式子来表示的函数,称为分段函数. (piecewise function)
y
y f ( x)
f ( x )
-x o
偶函数
f ( x)
x x
$1-1函数
29
设D关于原点对称, 若对于x D, 有
f ( x ) f ( x ), 则称 f ( x ) 为奇函数. (even function)
y
y f ( x)
x
$1-1函数
17
(3) 狄利克雷函数 (Dirichlet’s function)
1, 当x是有理数时, y D( x ) 0, 当x是无理数时.
y
1
• 无理数点
o
x
有理数点
$1-1函数
18
(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )},
y
f ( x)
g( x )
例 圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
O
( n 3,4,5,)
$1-1函数
n
r
12
D 是一个给定的数集， 定义: 设x 和y 是两个变量,
如果对于每个数 x D ,
变量y 按照一定法则总有
x 的函数，记作 确定的数值和它对应，则称y 是

y
1 106 x
$1-1函数
x
o
6
1
x
26
2．函数的单调性(monotone):
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间I D, 如果对于