线性代数-克莱姆(Gramer)法则
克莱姆法则
作者介绍
克莱姆(Cramer,Gabriel,瑞士数学家 1704-1752)克莱姆1704年7月31日生于日内瓦,早年在日内瓦读书, 1724年起在日内瓦加尔文学院任教,1734年成为几何学教授,1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰.伯努利、欧拉等人学习交流,结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家,回国后在与他们的长期通信中,加强了数学家之间的联系,为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚,专心治学,平易近人且德高望重,先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则,又译克拉默法则(Cramer's Rule)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组,是瑞士数学家克莱姆(1704-1752)于1750年,在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕,以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则,但他们的记法不如克莱姆。
记法1:若线性方程组⑴的系数矩阵可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0。有唯一解,其解为 记法2:若线性方程组⑴的系数矩阵可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0,则线性方程组⑴有唯一解,其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵(列向量)形式,而记法2是将解分别写成数字,本质相同。
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念 • 二、Cramer法则 • 三、应用 • 复习小结
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性 方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
解
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. r1 2r2 r4 r2
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
67 , 3
3 3 2 0 4 0 D2 1 11 6 1 1 5 6 系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 A13 , A23 , A33 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
1.4克莱姆法则
(Ⅰ)
如果(Ⅰ)的系数行列式不等于零,即 D
a11 a21
a12 a22
a1n a2n 0
那么,方程组(Ⅰ)有唯一解:
an1 an2
ann
x1
D1 D
, x2
D2 D
,, xn
Dn D
《线性代数》精品课程
例1 解线性方程组
解:方程组的系数行列式
x1 x2 x3 5, 2x1 x2 x3 x4 1, x1 2x2 x3 x4 2,
( 3)x1 x2 2x3 0, x1 x3 0,
2x2 ( 3)x3 0.
解:若方程组存在非零解,则由定理2知,它的系数行列式
3 1 2 D 0 1 0,
0 2 3
( 9) 0
0或 9
《线性代数》精品课程
an1xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
Hale Waihona Puke (Ⅱ)x1 x2 xn 0
一定是(Ⅱ)的解,叫齐次方程组(Ⅱ) 的零解。
如果有一组不全为零的数是(Ⅱ)的解,则它叫做齐次方程 组(Ⅱ)的非零解.
齐次线性方程组(Ⅱ)一定有零解,但不一定有非零解.
《线性代数》精品课程
例2 解线性方程组
2xx11
x2 3x2
x3 4x3
0 0
3x1 4x2 5x3 0
《线性代数》精品课程
定理2
• 若齐次方程组(Ⅱ)系数行列式 D 0 ,
则齐次方程组只有零解.即(Ⅱ)有非零解 时,系数行列式 D 0
Ax 0有非零解 D 0
《线性代数》精品课程
例3 问 取何值时,齐次线性方程组有非零解?
2111
2 1 1 1
D3 1
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、 Gramer法则
定理1 如果线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
记
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 D3 a21 a31 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
用D中第1列元素的代数余子式 A11 , A21 , A31 依次乘方程组的3个方程
的两边
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A13 b1 A13 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A23 b2 A23 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A33 b3 A33
将3个方程的两边相加,得
(a11 A13 a21 A23 a31 A33 ) x1 (a12 A13 a22 A23 a32 A33 ) x2 (a13 A13 a23 A23 a33 A33 ) x3 b1 A13 b2 A23 b3 A33
由代数余子式的性质可知, 上式中x3的系数等于D ,
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
第一节克莱姆法则
(3)式称为n元齐次线性方程组,并有如下结论成立: (3)式称为n元齐次线性方程组,并有如下结论成立: 式称为 当系数行列式D≠0时,齐次线性方程组 齐次线性方程组(3) 推论 当系数行列式 时 齐次线性方程组 只有唯一零解。 只有唯一零解。 由推论自然可推出,如果齐次线性方程组(3)有 由推论自然可推出,如果齐次线性方程组(3)有 (3) 非零解,则它的系数行列式必为零。由此可知, 非零解,则它的系数行列式必为零。由此可知,系数行 列式D=0是齐次线性方程组(3)有非零解的必要条件。 D=0是齐次线性方程组(3)有非零解的必要条件 列式D=0是齐次线性方程组(3)有非零解的必要条件。 在第四章我们将证明此条件是充分的。于是应有: 在第四章我们将证明此条件是充分的。于是应有:齐 次线性方程组(3) (3)有非零解的充分必要条件是系数行 次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件是系数行 列式D=0。 列式D=0。 D=0 例1 解奇次方程组
组成的n阶行列式 由它的系数 aij组成的 阶行列式
a11 a21 D= M an1 a12 L a1n a22 L a2 n M M M an 2 L ann
称为线性方程组( 称为线性方程组(1)的系数行列式。 系数行列式。 定理(克莱姆法则)如果线性方程组( 定理(克莱姆法则)如果线性方程组(1)的系 数行列式D≠0 则方程组( ) D≠0, 数行列式D≠0,则方程组(1)有唯一解 是将D的第 的第j列元素 其中 D j ( j = 1,2,L.n) 是将 的第 列元素 a1 j , a2 j ,L anj分别换 后所得到的n阶行列式, 成常数项 b1,b2 ,Lbn 后所得到的n阶行列式,即
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时,线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时,线性方程组 可能无解或多解,此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零,这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式,可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零, 则线性方程组有唯一解;如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩,则线性方程组有无穷多解;如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩, 则线性方程组无解。
Ax=b,其中A是系数矩阵,x是未知数矩阵,b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时,即行数和列数相等的矩阵,克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零,即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的,即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij},其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性,还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤,包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算,确保
线性代数第二章3克莱姆法则.ppt
引理 若n阶矩阵A (aij )nn的元素aij在det A 中
的代数余子式为Aij,则对任意r, s, 1 r, s n 有:
n
arj Asj
j1
det A
第r行的元素乘以第s 行元素对应的代数余子式之和)
n
i1
a ir Ais
det A
x2 2 x2
x3 x3
x4 5x4
0 5
x1 x2 x3 x4 1
1 1 1 2 0
解:系数矩阵A
2
1
1
1
,
b
0
3 2 1 5 5
1
1
1
1
1
1 1 1 2
0 1 1 2
2 1 1 1
0 1 1 1
det A 3
2
9, 15
det A1(b) 5
2
0
当r s 当r s
(2.25)
(用第r列的元素乘以第s列元素对应的代数余子式之和)
证: r=s时,由定理2.1知两式均成立 r s 时,设A ( A1, A2, , An), Ai是列向量(i=1, ,n)
As 被替换为 Ar B (A1, , Ar , Ar , , An)
把det B按第s列展开
在第s列
n
n
0 det B bis Ais air Ais
i 1
i 1
n
所以,
i1
air Ais
det A
0
当r s 当r s
2 1 0 3
例:A
1
3
1 5
1 3
1 0
,
求A41
A42
A43
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的,克莱姆 (Cramer,Gabriel,1704-1752),瑞士数学家。
生于瑞士,卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流,并成为挚友,,曾任教学和哲学教授,克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一,以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式,在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则,必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=(1-1)其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组(1-1)的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则(Cramer Rule ):一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1-1)当它的系数行列式0D ≠时,有且仅有一个解:1212,,,.n n D D D x x x D D D === (1-2)期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法,在此我中立出三种证明方法,分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义,再次就不在家赘述。
线性代数—克莱姆法则
线性代数—克莱姆法则
克莱姆法则是由现代数学家狄里克·克莱姆在十九世纪二十年代初发现的一种数学方法,用于快速地解决某些复杂的非线性方程组。
该法则主要有四步:(1)假设一组未知量;(2)求解该组方程;(3)核查解的有效性;(4)如果解有效,则接受该解;否则更改第1步中的未知量,然后重新开始这一过程。
克莱姆法则的运用是基于线性代数中最优化方程组的求解,即确定未知连续变量的值来最大程度地满足非线性方程组限制条件的过程。
由于该法则具有容易理解、计算方便、解结构同构完整、解复杂度小等特点,因而迅速受到业界的欢迎,成为现代线性代数常用的求解方法之一。
克莱姆法则应用于显式多元线性方程组中,它假设这一方程组具有唯一的解,并通过将该方程组映射到另一个虚拟方程组来解决。
它也可以用来求解隐式的多元线性方程组,其优点是能够有效规避数值问题。
实际应用中,克莱姆法则也往往与其它数值技术相结合,如子程序法、减法法等,为解决最优化问题提供了更强大的解决方案。
同时,该法则也被拓展应用到其它领域(如运筹学),并在控制工程和机器人学等领域大量使用。
1-7克莱姆(Gramer)法则
的两边,
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A11 b1 A11 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A21 b2 A21 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A31 b3 A31
将3个方程的两边相加,得
而其余x1 ,x3的系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 1 A2 A A 3 , 3 ,3 3 依次乘方程组的3个方程
11
跳转到第一页
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
0 1
67
0,
1 1 3 2
3 5 2 4 3 0 D1 11 6 1 1 5 6 1 3
由上页
21
跳转到第一页
1 4 1 2
67 , 3
3 D2 0 1
3 4 56
2 0 1
1 4 1
1 11 6
0,
3 2
3 D3 0 1
5 3 1
3 4 56
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
3
解
5 3 1
2 0 1
1 4 1
D
证:显然一定有零解, 当系数行列式D ≠ 0,由定理1,
x1 D D1 D D , x2 2 , x3 2 , , x n n . D D D D 其中 D j 0 j 1, 2, , n . xj 0
线性代数—克莱姆法则
D 0,则(2)必有非零解.
8
例2 问 取何值时,齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 0
x1
x2
x3
0
x1 x2 x3 0
有非零解?
解 1 1 2 1 1
11 1
D 1 1 2 1 ( 2) 1 1
3 2
0 1
9 27,
5
14 0 6
1 4 7 0
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
7
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
称方程组 a21x1a22x2a2nxn 0
D 27,
8 1 5 1
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6
1
2 81, D2 0
9 5
0 1
6 108,
2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
27, D4
1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式不等于零,即
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
0,
an1 an2 ann
线性代数—克莱姆法则
取何值时, 例2 问 λ 取何值时,齐次线性方程组 λ x 1 + x 2 + x 3 = 0 有非零解? 有非零解? x1 + λx 2 + x 3 = 0 x + x + λx = 0 2 3 1 解
1 1 1 λ+2 1 1 D = 1 λ 1 = λ + 2 λ 1 = ( λ + 2) ⋅ 1 λ 1 1 1 λ λ+2 1 λ 1 1 λ 1 1 1 1 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , = ( λ + 2) ⋅ 0 λ − 1 0 0 λ −1
解
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 1 4 −7 6
r1 − 2r2 r4 − r2
− 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 0 7 −7 12
4
− 5 13 7 − 5 13 1 −3 0 −6 = −2 −1 2 = 0 2 −1 2 7 − 7 12 0 7 − 7 12 0 7
第四节
音 乐
如果线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
λ
所以当 λ = −2 或 λ = 1 时,方程组有非零解. 方程组有非零解.
9
练习: 练习:
P28 习题一
10
END
线性代数 克莱姆法则
n
n
+a12+a22+…+an2 +… +a1n+a2n+…+ann 返回
第一章 行列式 20
2014-12-20
2014-12-20
a
j 1
n
ij
x j bi
i 1, 2,
,n
3
第一章 行列式
定理1 设线性非齐次方程
a11 a n1
a1n 0 ann
组(*)的系数行列式 D
则(*)有唯一解 x D1 , x D2 , , x Dn 1 2 n D D D Dj 即: xj ( j=1, 2, …, n) D a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n 其中, Dj a n1 an , j 1 bn an , j 1 ann
其中 ai 0 ,试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时,
i 1 n
(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解. D≠0 D= 0
2014-12-20 第一章 行列式 12
解
D
a1 b a2 a1 a2 b a1 a2
a3 a3 a3 b
an an an an b
每行元素之和 相同,2——n 列加至首列
注:关于数域概念 方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关. 线性 代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结 论.为了明确一些结论成立的条件. 引入数域概念: 定义 设F是一数集,0 F ,1 F . 若F中任意两个数 (可以相同)的和、差、积、商(除数不为0)仍然是F 中的数, 即F对四则运算封闭, 则称F为一个数域. 全体整数组成的集合不是数域, 有理数集Q、实 数集R和复数集C都是数域, 分别称为有理数域、 实数域和复数域. 本课程的数域F均指实数域R或 复数域C, 其它数域在本课程中不进行深入讨论.
克莱姆法则
=4
例1 解方程组
x1 − x2 + x3 − 2 x4 = 2 2 x − x 3 + 4 x4 = 4 1 = −1 3 x1 + 2 x2 + x3 − x1 + 2 x2 − x3 + 2 x4 = −4
例1 解方程组
x1 − x2 + x3 − 2 x4 = 2 2 x − x 3 + 4 x4 = 4 1 = −1 3 x1 + 2 x2 + x3 − x1 + 2 x2 − x3 + 2 x4 = −4
1 −1 1 −1 −2 4 0 2
−1 3 1
解:
D=
1 2 3 −1
§1.5 克莱姆法则
非齐次与齐次线性方程组的概念
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x + ⋯+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn = bn
解
2 1 −5 1 1 − 3 0 − 6 r2 (−2) + r1 D= 0 2 − 1 2 r2 (−1) + r4 1 4 −7 6
0 7 − 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 − 7 12
7 − 5 13 = −2 −1 2 7 − 7 12
第4节 克莱姆法则
1 1 1
有非零解,试确定a, b, c 应满足何种条件.
0 0
1
ba ca D a b c a bc ac ab bc c(a b) b(a c )
1 1 (a b)(c a ) (a b) (b c ) (c a ) 0 c b
所以a, b, c应至少有两个相等.
(1)
的系数行列式不等于零,即
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n D 0, a n1 a n 2 a nn
那么线性方程组(1) 有解,并且解是唯 一的,解可以表为
2
D3 Dn D1 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
6
8
1
5
1
2
8
5
1
9 3 0 6 1 9 0 6 D1 108, 81, D2 5 2 1 2 0 5 1 2 0 4 7 6 1 0 7 6 2 1 8 1 2 1 5 8 1 3 9 6 1 3 0 9 D3 27, D4 27, 0 2 5 2 0 2 1 5 1 4 0 6 1 4 7 0
证略.
注意:在利用克莱姆法则解方程组时,(1)方程组中 方程的个数与未知数的个数必须相等;(2)系数行列 式不能等于零.
3
例1 用克莱姆法则解方程组
2 x1 x 2 5 x 3 x 4 8 , x 3x 6 x 4 9, 1 2 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x 2 7 x 3 6 x 4 0 .
1 1 1 1 1
2 ( 2) 0 1 0 ( 2)( 1) , 0 0 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
a31 x1 a32 x2 a33 x3 A32 b3 A32
将3个方程的两边相加,得
(a11 A12 a21 A22 a31 A32 ) x1 (a12 A12 a22 A22 a32 A32 ) x2 (a13 A12 a23 A22 a33 A32 ) x3 b1 A12 b2 A22 b3 A32
0 67
0,
x4
D4 D
67 67
1.
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
推论: 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解,则它的系数行列式必为零.
二、重要定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
定理2 齐次线性方程组
a21
x1
a22
解线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 其中系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
由
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
21 8 1
由上 页
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
14 0 6
27,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 用克莱姆法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
记
b1 a12 a13
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
3x2 4x4 x1 x2 x3
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
35 21
解
03 D
0 4 67 0,
11 11
1 1 3 2
由上 页
3 5 21 4 3 04 D1 11 6 1 1 1 5 6 1 3 2
67 , 3
3 3 21
0 4 04
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
的两边,
得
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a21 x1 a22 x2 a23 x3
A12 b1 A12 A22 b2 A22
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b2 a23 , D3 a21 a22 b2
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
4.齐次线性方程组解的情况: 有唯一解(D不等于0) 有无穷多解 (D=0)
• 例:问当a,b,c取何值时方程组
ax2 bx3 cx4 0
ax1 x2 0 bx1 x3 0
cx1 x4 0
• 有非零解?方程组只有零解?
为便于理解一般性证明,先对n=3给出证明,
其方法与一般性证明类同.
于是
Dx3 D3 .
x3
D3 D
.
证明
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,, Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
例3 问 取何值时,如下方程组只有零解?
x1x1
x2 x2
x3 x3
0 0
3
x1
x2
x3
0
11 解 D 1 1
3 1 1
2 3 1 3 1 ( 1)2
当 1时只有零解。
三、小结
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
3.非齐次线性方程组解的情况: 有唯一解 (D不等于0) 有无穷多解 无解
那么线性方程组1 有解,并且解是唯一的,解
可以表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式,即
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
D2 1 11 6
1
0, 1
1 5 6 3 2
35 3 1 03 4 4 D3 1 1 11 6 1 1 1 5 6 2
35 2 3
67 , 2
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 3 5 6
由上 页
x1
D1 D
67 3 67
1 3
,
x3
D3 D
67 2 67
1 2
,
x2
D2 D
.
也是方程组的 1 解.
由此得出,
定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0
则 (1) 一定有解,且解是唯一的 .
行列式的有关题目
• 求行列式的三大途径
▪ 定义 ▪ 利用行列式的性质化成三角形行列式 ▪ 利用展开定理计算行列式 (降阶)
利用行列式的定义计算行列式
§1.5
行 列 式 的 应 用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次
与齐次线性方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
知识回顾:行列式的性质
1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
n
D ,当i j,
aik Ajk
k 1
0
,当
i
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加,得
n
ak1 Akj x1
n
akj Akj x j
n
akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为 Dj.
于是 Dxj Dj j 1,2,,n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
x1
D1 D
,Hale Waihona Puke x2D2 D,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
.
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
a31 a32 b3
用D中第1列元素的代数余子式A11 , A21 , A31 依次乘方程组的3个方程
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
的两边,
得
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a21 x1 a22 x2 a23 x3
(a11 A13 a21 A23 a31 A33 ) x1 (a12 A13 a22 A23 a32 A33 ) x2 (a13 A13 a23 A23 a33 A33 ) x3 b1 A13 b2 A23 b3 A33
由代数余子式的性质可知, 上式中x3的系数等于D,
而其余x1,x2的系数均为0; 又等式右端为D3.
定理3 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
• 对于齐次线性方程组(2),如下条件等价 • 1) 系数行列式D不等于0 • 2) 齐次线性方程组(2)只有零解 • 3) 齐次线性方程组(2)存在唯一解 • 4) 齐次线性方程组(2)没有非零解 • • 问题:讨论 D=0 的等价条件
定理1 如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a
21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零,即