2020届高三四校联考理科数学试题及答案

2020届高三年级四校联考

数 学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页， 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.

2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

第一部分 选择题 (共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==

-∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫

==+∈⎨⎬⎩⎭

，则（***） A ．=M N B ．M ⊂≠ N C ．N ⊂≠ M D ．M N =∅I 2. 原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则

12

z z =”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次为（***）

A ．真，假，真

B ．真，真，假

C ．假，假，真

D ．假，假，假

3. 已知平面向量r a ，r b 是非零向量，2=r a ，()

2⊥+r r r a a b ，则向量r b 在向量r

a 方向上的投影为（***）

A.

1- B. 1 C. 2-

D. 2

4. 平面∥α平面β的一个充分条件是（***） A ．存在一条直线a a a αβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥

C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥

D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 5. 函数2()log 3sin()2

π

=-f x x x 零点的个数是（***）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6. 已知函数()sin 2cos2=-f x a x b x （a ，b 为常数，0≠a ，∈x R ）在12

π

=x 处取得最大值，

则函数3π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

y f x 是（***） A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫

⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称 C. 奇函数且它的图象关于π=x 对称 D. 偶函数且它的图象关于π=x 对称 7. 已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2=+y f x 的图象关于y 轴对称， 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016=f a f a ，则{}n a 的前2019项之和为（***） A ．0

B ．2019

C ．4038

D ．4040

8．函数()2sin cos2=+f x x x 在,22ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的单调减区间为（***） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

9. 函数()2

112---=x x x f 的值域是（***）

A. 44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

B. 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

C. []0,1

D. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦

10. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，△ABC 内接于圆，且60∠=o BAC ，当B ，C 在圆上运动时，

BC 中点的轨迹方程是（***）

A ．2212x y +=

B ．221

4x y +=

C ．221122⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x D. 22

1144⎛⎫+=< ⎪⎝⎭

x y x 11. 已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，

交另一条渐近线于N ，若2MF FN =u u u u r u u u r

，则双曲线的离心率（***）

A ．

3

B ．3

C D. 2

12. 若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB ，平面SBC ，平面SCA 的距离依次成等差

数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是（***）

A ．一条线段

B ．一个点

C ．一段圆弧

D ．抛物线的一段

第二部分 非选择题 (共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.

13. 在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),=r a m n ，()1,1=r

b ，则满足1-≤r r a b 的概率

是***．

14. 已知两个等差数列

{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且

311

+=+n n A n B n ，则258

37

++=+a a a b b ***．

15. 已知随机变量X~B (2，p )，Y~N (2，σ2)，若P (X ≥1)=0.64，P (04)=***． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2

2

2

22=+b a c ，当()tan -B A 取最

大值时，角A 的值为***．

三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足：21=a ，241-=+-n a a n n （2≥n ）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n n

b b b b )12(73321-++++Λ=n a ，求数列{}n b 的通项公式.

18. （本小题满分12分）

某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立. （Ⅰ）求在未来的4天中，有2天的日销售量低于100枝 且另外2天不低于150枝的概率；

（Ⅱ）用ξ表示在未来的4天日销售量不低于100枝的天 数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）

如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直 线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.

（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与 平面PAC 的位置关系，并加以证明；

（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.