数学分析简明教程答案数分7_定积分

27n(n
1)(2n n3
1)
3 9 9 3.
(4) 1 axdx. 0
解：将区间[0,1]均分为n等分, 取
n
1
a
1
n,
那么
i1 n
1 axdx lim
n
1
a
i n
0
n n i1
lim
n
a
1 n
1 a1/n n 1 a1/n n
1
lim
n
a
n 1 a
1 ln an
f
(i c)xi
I.
于是可知：将区间[a, b]被分点
a x0 x1 x2 xn b
任意分成n个小区间, 小区间长度为x i
xi
xi1(i
1, 2, ,n),
记
max 1in
x i
,
在每个小区间
n
n
上任取一点i [xi1, xi ], 做和式
i 1
f (i
c)xi
,
满足lim 0
n
于是当 趋近于零时,根据夹迫性原理可知 lim 0
i 1
f ( i )xi
0,
即
b f (x)dx 0. a
三
4.若函数f ( x)在区间[a, b]可积, 其积分是I, 今在[a, b]内有限个点上改变函数f ( x) 的值使它变
成另一个函数f *(x), 证明：f *(x)也在区间[a,b]可积, 其积分也是I.
n
a 1. ln a
二
2.设f (x)在区间[a c, b c]上可积, 证明：f (x c) 在[a, b] 上可积, 且
b
b c
f (x c)dx f (x)dx.
a
a c
证明：设 bc f (x)dx I ,即; 将区间[a c,b c]被分点 ac
a c x0 c x1 c x2 c x n c b c
x0 f (x)dx b f (x)dx 0,
a
x0
则
b f (x)dx x0 f (x)dx x0 f (x)dx b f (x)dx 0 0.
a
a
x 0
x 0
四
2.设f (x)在[a, b]上连续, b f 2(x)dx 0, 证明f (x) 在区间[a, b] 上恒等于零。 a
证明：首先设将函数f (x)改变m个点xi1 xi2 xin 后得到函数f *(x), 并设
m
f (xij ) M .
j 1
由于f (x)在区间[a,b]可积,且积分为I, 我们知道区间[a, b]被分点
a x0 x1 x2 xn b
任意分成n个小区间, 小区间长度为x i
于是
n i 1
2
(1) n
1
2 (1) n
i
2
n i 1
3 n
1
3i n
2
,
2 x2dx 1
lim
n
n i 1
3 n
1
3i 2 n
lim
n
n i 1
3 n
1
6i n
9i 2 n2
lim
n
n i 1
3 n
18i n2
27i 2 n3
lim
n
3
18n(n 1) 2n2
第七章 定积分
第一节 定积分的概念
1.已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分：
(1)
b
xdx
(0 a b);
a
解：注意到函数已经可积,我们只需要找到一种满足条件的分法求和求极限就可以啦。
将区间[a,b]等分为n份,
其中xi
a
b
n
a
.小区间长度为
xi
xi
xi 1
b
n
a
.
那么
n i 1
xixi
n i 1
(a
ba) ba, nn
则
b a
xdx
I
lim
n
n i 1
a
b
a n
b
n
a
lim
n
n i 1
ab
n
a2
b
a2
n2
n2 2
n
b a2 .
2
b
(2) kdx (0 a b) (k为任意常数); a
解：将区间[a,b]等分为n份, 分点为
a x0 x1 x2 xn b
任意分成n个小区间, 小区间长度为x i
xi
x i1(i
1, 2,, n), 记
max
1in
xi
,
在每个小区间
n
上任取一点i i [xi1, xi ], 做和式 f (i )xi , 应有 i 1
n
0 f (i)xi f (c) , i 1
; 同时
2
n
n
m
f *(i )xi I f (i )xi I f (xi j)xi
i 1
i 1
j 1
n i 1
f (i )xi I
M . 22
因此函数f *(x)也在区间[a,b]可积, 其积分也是I.
第二节 定积分的基本性质
1.设f
(x)在[a, b]连续,
f
( x)
i 1
f ( i
c)xi
I,即
b a
f (x c)dx
lim 0
n i 1
f
(i c)xi
I.
因此有
b f (x c)dx
b c
f (x)dx.
a
a c
3.设
f
(
x)
1 0
x c c (a, b)
x
[a,
c)
(c,
, b]
求证: b f (x)dx 0. a
证明：区间[a, b]被分点
xi
xi1(i
1, 2, ,n),
记
max 1in
x i
,
在每个小区间
n
上任取一点i i [xi1, xi ], 做和式 f (i )xi , 应该有 i 1
n
lim
0
i 1
f (i )xi
I.
那么对任意的
0,
0,当
min( 2M
, )时有
n i 1
f ( i) xi
I
0,
f
( x) 不恒为零,
b
证明：
f
( x)dx
0.
a
证明：设有一点x0 [a,b]使得f (x0 ) 0, 那么有函数极限的局部保号性原理可知: 0,
当0
x x0
时f (x)
2
0.于是有
x0 f (x)dx x0 dx 0,
x0
2 x0
又由于函数f (x)在区间[a,b]上满足f (x) 0, 故有
a x0 x1 x2 xn b,
其中xi
a
b
n
a
.小区间长度为
xi
xi
xi 1
b
n
a
.
那么
n i 1
kxi
n i 1
k
ba, n
则
b
xdx I lim
n
kb a
a
n i1
n
lim k(b a) n
k(b a).
一
(3) 2 x2dx; 1
解：将区间[1, 2]等分为n小分, 取
任意分成n个小区间, 小区间长度为x i
xi
xi1(i
1, 2, ,n),
记
max 1in
x i
,
在每个小区间
n
n
上任取一点i
i c [xi 1 c, xi
c], 做和式
i 1
f
(i
)xi
,
应有lim 0
i 1
f (i )xi
I, 即
bc ac
f (x)dx
lim 0
n i 1