特殊群的子群,不变子群与商群

特殊群的子群、不变子群与商群

摘要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群.突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群的子群不变子群及商群的相关内容.

关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群

引言在古典代数中方程论是中心课题.直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程.群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可.

1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801年，

他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.

随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲

尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x =，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.在此基础上法国数学家伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗华理论.正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.群论是研究也不仅仅局限于数学领域，在研究物理问题中群论也是重要的工具.并且用群论解决有些问题可以更加简捷，在粒子物理等方面的应用也是很广泛的.在化学中它可以应用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多方面，分析它在分子偶极距、旋光性上的应用能说明杂化轨道的形成过程.

1 群及其同态与同构

定义1.1 设G 是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件： Ⅰ.结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有 ()()**a b c a b c =； Ⅱ.中有元素e ，叫做G 的左单位元，它对G 中每个元素a 都有 ea a =；

Ⅲ.对G 中每个元素a 在G 中都有元素1

a -，叫做a 的左逆元，使1

a a e -=，则称G

对代数运算*做成一个群。

定义1.2 设{,}G 和{,}G 都是群.如果存在映射:G G ϕ→使G b a ∈∀,在G 上,都有)()()(b a b a ϕϕϕ =（即ϕ保运算）则称ϕ是同构映射.同时称G 与G 同构,记为G G ≅,也称G 是G 的同构象.

性质1.1 G →G 是群同构映射,那么ϕ的逆映射ϕ1

-:G →G 也是群的同构映射.

证明 已知,

ϕ

1

-:G →G 必是双射,现须证ϕ

1

-能保运算即可．事实上，注意到了

1ϕ-ϕ＝G 1，且∀a ，b ∈G ，则必然存在a ，b ∈G 使ϕ)(a ＝a ，ϕ)(b ＝b ，且1ϕ-)

(a ＝a ，ϕ1

-)(b ＝b ．于是

1

ϕ

-)(b a =（()a φ()b φ）=1ϕ-))((b a ϕ==-)(1b a ϕϕ

G 1==b a b a )()()(11b a --ϕϕ

1ϕ-)(b a =)()(11b a --ϕϕ ⇒ϕ

1

-保运算.即ϕ

1

-是同构映射.

性质 1.2 设

1ϕ：1G 2G →和2ϕ:2G 3G →都是群同构映射,那么12ϕϕ

也是群同构映射。

证明： 因为1ϕ和2ϕ，都是双射，自然21ϕϕ也是双射.而21ϕϕ，都能保运算，须2

1ϕϕ也能保持运算. 1,G b a ∈∀ ，1221211212)()()]()([)(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒==b a b a ab 是同构映射。

性质1.3 在群之间的同构“≅”作为关系时，“≅”必是一个等价关系。 证明：（1）任一个群 G ，显然 G G

1≅ G ，这里 1G 是G 的恒等变换。

（2）若1G ϕ

≅2G 那么由结论1121

G G -=⇒ϕ （3）若1G 1

ϕ≅2G ，且,322

G G ϕ=由结论231

1

2G G ϕϕ≅⇒

由（1），（2）知，“≅”满足发射定律，对称律和传递律。所以，“≅”是等价关系。