特殊群的子群,不变子群与商群
近世代数课件--2.10 不变子群,商群
S1S2
Sm
定理１ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是：
aNa 1 N
对于 G 的任意一个元 a 都对．
证明 …………证完
a 1 Na N ?
注5. aNa 1 N 可以换成
定理２ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是： n N ana 1 N a G ， 证明 这个条件的必要性是显然的，是定理１ 的直接结果．我们证明它也是充分的． 条件 ana 1 N 意味着
注9. a 1na N 等价于‥‥‥？？
小结:
n N .下面条件等价: 群 G 的一个子群 N , a G ，
1. aN Na 2. aNa 1 N 3. a 1na N 4. aNa1 N
注意: 不变子群不具有传递性.
10.4 商群
不变子群所以重要，是因为这种子群的陪 集，对于某种与原来的群有密切关系的代数 运算来说，也作成一个群．
aNa1 N
（＊）
1
因为 a …………证完
1
也是 G 的元，在（＊）中以 a
代a ,
注6. 要测验一个子群是不是不变子群，用 定理２的条件一般比较方便． 注7. 用定理２的条件可以改写成 a G ， n N a 1na N 注8 .
ana 1 N
等价于 aNa1 N
AB {ab a A, b B} ， A1 {a1 a A}
容易证明:
( AB)C A( BC ) ，A( B
C ) ( AB) ( AC )
( AB)1 B1 A1 , ( A1 )1 A
Sm 的乘积用符号 由于结合律成立, S1，S2，…，
不变子群的判别条件
不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系2003届)摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子 群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别 条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设H 是G 的一个子群，如果对G a ∈∀,都有Ha aH =,那么，就说H 是G 的一个不变子群. 记为：G H .设a 和b 是群G 中的两个元素，如果在G 中至少可找到这样的一个元素g ，使ag g b 1-=，则称a 与b 在G 中共轭.3．正规化子：N G (H)={g ∈G ︱H g =H}={g ∈G ︱g 1-Hg=H} 称H 在G 中的正规化子。
4．同余关系：设集合A 中有二元运算，记作乘法，若A 的一个等价关系R 满足：aRb, cRd ⇒ acRbd ∀a,b,c ∈A 则称R 为A的一个同余关系。
一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程.㈠．与定义等价的判别条件1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha2.∀a∈G,有aHa1-=H3.∀a∈G,有aHa1-⊆H4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H5.∀a∈G,有aH⊆Ha6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.∀a∈G,有a1-Ha=H10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H12.∀a∈G,有Ha⊆aH13.∀a∈G,有H⊆aHa1-14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=GG19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。
群的基本知识
第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。
对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。
从七十年代起，又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G == .在G 中定义了乘法运算。
如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。
即对任意G g f ∈,，若h fg =，必有G h ∈。
（2） 结合律。
对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。
有G e ∈，对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。
对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。
e 称为群G 的单位元素，1-f称为f 的逆元素。
例1 空间反演群。
设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。
集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1.例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。
将n 个元素的集合},,2,1{n X =映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P 其中n m m m ,,,21 是n ,,2,1 的任意排列，P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。
显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。
10 不变子群 商群
§10 不变子群 商群定义 设G 是一个群，N G ≤，称N 为群G 的子群，若,Na aN a G =∀∈.不变子群N 的一个左（右）陪集称为H 的一个陪集.N 是G 的不变子群，记为.N G例1 设G 为一个群，则G 和{}e 都是群G 的不变子群.{}{}{},.Ga aG G a e e a a ====例2 设G 是一个群，{}|,N n na an a G ==∀∈，则.N G,ea ae a G =∀∈,.e N N ∴∈≠∅12,n n N ∀∈，则1122,,,.n a an a G n a an G =∀∈=∀∈()()()()()()121212121212,.n n a n n a n an n a n an n a n n G ∴=====∀∈ 12.n n N ∴∈n N ∀∈，则,.na an a G =∀∈于是1,,a nan a G -=∀∈()1111,.n a n nan an a G ----==∀∈1,.n N N G -∴∈∴≤下证,.aN Na G =∀∈在aN 中任取一个元素an ，这里.n N ∈n N ∈故an na Na =∈.aN Na ∴⊂同理，.Na aN ⊂.aN Na ∴=.N G ∴该不变子群称为群G 的中心.例3 交换群G 的任一子群H 都是不变子群.设H G ≤，下证.aH Ha =ah aH ∀∈，这里h H ∈.因G 是交换群，故ah ha Ha =∈.aH Ha ∴⊂同理，.Ha aH ⊂例4 3,G S =设()()(){}1,123,132N =，则.N G()()()()()()111,1123123,==()()()1132132,=()()()()()()1231123,123123132,==()()()1231321,=()()()()()()1321132,1321231==都属于N ，N G ∴≤又()()()(){}()()()(){}()()()(){}()()()(){}11,123,132,11,123,132,1212,13,13,1212,13,23,N N N N ==== 故()()()()()()11231321123132,N N N N N N =====()()()()()()122313122313.N N N N N N =====.N G ∴定义 设G 是一个群，12,,,m S S S 为集合G 的m 个子集，则把集合{}121122|,,,m m m s s s s S s S s S ∈∈∈称为12,,,m S S S 的乘积，记为12.m S S S 易知()()123123.S S S S S S =这是因为在()123S S S 中任取一个元()123s s s ，这里112233,,s S s S s S ∈∈∈， ()()()123123123.s s s s s s S S S =∈()()123123S S S S S S ⊂.同理()()123123.S S S S S S ⊂定理1 设G 是一个群，N G ≤，则1,.N G nNa N a G -⇔=∴∈注：,,a b G S G ∀∈⊂，把{}{}a S b 记为aSb .把{}a S 记为aS .把{}S b 记为.Sb 易知{}|.aSb asb s S =∈证 “⇒”设N G ，a G ∀∈，则,aN Na G =∀∈.故()()()1111.aNa aN a Na a N aa Ne N ----=====“⇐”设1,aNa N a N -=∀∈，下证1.aNa N -=易知1.aNa N -⊂n N ∀∈，有()1111111.n aa n aa naa a a n a a -------⎡⎤===⎢⎥⎣⎦1a G -∈，()111.a n a N ---∴∈ 1.n aNa -∴∈11..N aNa aNa N --∴⊂∴=设G 是一个群，N G ，{}|S aN a G =∈（即S 为不变子群N 的所有陪集所成的集合）,xN yN S ∀∈，这里,x y G ∈，规定S 的乘法如下：()()().xN yN xy N =这在逻辑上没有问题.设 ,xN x N yN y N ''==，下证()().xy N x y N ''=,,x xe xN x N y ye yN y N ''=∈==∈=()1212,,.x x n y y n n n N ''∴==∈12.xy x n y n ''=N G ，1n y Ny y N '''∴∈=，()()()()133123232,n y y n n N xy x n y n x y n n x y n n x y N ''''''''''∴=∈===∈. ()().xy N x y N ''∴=定理3 色环G 是一个群，N G ，{}|,S aN a G =∈则S 对于以上规定的乘法来说成为一个群.证 1）√2）()()()()()()(),xN yN zN xy N zN xy z N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()().xN yN zN xN yz N x yz N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3）()()().eN xN ex N xN ==4）()()()11.x N xN x x N eN --==定义 定理3中的群S 称为群G 的一个商群，记为/.G N 若G 为有限群，N G ，则/.GG N N =习题P741.假定群G 的不变子群N 的阶是2 ，证明，G 的中心包含.N 证 设C 为群G 的中心，则{}|,.C c G ca ac a G =∈=∀∈2,N =∴可设{},,N e n =其中e 为群G 的单位元.显然，.e C ∈N G ，∴1,.ana N G -∈∀∈显然，不存在a G ∈使得1anae -=，不然,.an a ae n e ===故1,ana n G -=∀∈，即 ,an na a G =∀∈,.n C N C ∴∈∴⊂2. 证明，两个不变子群的交集还是不变子群.证 设G 是一个群，12,N G N G ，则12.N N G ≤12n N N ∀∈，则1,n N ∈且2.n N ∈因12,N G N G ，故,a G ∀∈有 1112,.ana N ana N --∈∈112,.ana N N a G -∴∈∀∈ 12.N N G ∴3. 证明，指数是2的子群一定是不变子群.证 设G 是一个群，(),: 2.N G G N ≤=设a G ∈，但a N ∉，因():2G N =，故()()()(),eN aN Ne Na =∅=∅，且()()()().G eN aN Ne Na ==但.eN Ne N ==aN Na ∴=，或.b aN Na ∈=b G ∀∈，b eN ∈或.b aN Na ∈=若b eN ∈，则,.b Ne bN eN Ne Nb ∈===若b aN ∈，则b Na ∈，故.bN aN Na Nb ===∴由不变子群的定义得，.N G4.设H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明，HN 是G 的子群. 证 在HN 中任取一个元素11h n ，22h n ，这里1212,,,.h h H n n N ∈∈ 则()11111221122.h n h n h n n h ---=但N G ，H G ≤，1111122212,,n n N Nh h N h h H ----∴∈=∈111111221212.h n n h h Nh h h N HNHN G ----∴∈=⊂∴≤ 5.举例证明，G 的不变子群N 的不变子群1N 未必是G 的不变子群（取4G S =）. 解 取4G S =，()()()()()()(){}()()(){}11,1234,1324,1423,1,1234N N ==，则 1,N G N N ，但1N 不是G 的不变子群.。
群论第二章ppt
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§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
近世代数复习
第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。
若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。
若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。
关于子群和不变子群的几个重要命题
关于子群和不变子群的几个重要命题白阿拉坦高娃*赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰 ０２４０００摘要：本文首先讨论了子群、不变子群的交集、并集、乘积是否依然是子群、不变子群；其次讨论了子群与不变子群乘积是否是子群、不变子群等。
关键词：子群；不变子群；交集；并集；乘积中图分类号：Ｏ１５３文献标识码：Ａ文章编号：１００６－００４９－（２０１６）１３－０１２７－０２一、基本概念下面是文中主要用的几个概念定义１．１［１］一个群Ｇ的一个子集Ｈ叫做Ｇ的一个子群，假如Ｈ对于Ｇ的乘法来说做成一个群。
定理１．２［１］Ｈ是群Ｇ的一个子群骋（ｉ）ａ，ｂ∈Ｈ痴ａｂ∈Ｈ（ｉｉ）ａ∈Ｈ痴ａ－１∈Ｈ骋（ｉｉｉ）ａ，ｂ∈Ｈ痴ａｂ－１∈Ｈ定义１．３［１］一个群Ｇ的一个子群Ｎ叫做一个不变子群，假如对于Ｇ的每一个元ａ来说，都有Ｎａ＝ａＮ定理１．４［１］Ｎ是群Ｇ的一个不变子群骋ａ∈Ｇ，ｎ∈Ｎ痴ａＮａ－１＝Ｎ骋ａ∈Ｇ，ｎ∈Ｎ痴ａｎａ－１∈Ｎ二、重要命题（一）关于子群、不变子群的交集、并集、乘积命题２．１．１群的两个子群Ｈ１和Ｈ２的交集Ｈ１∩Ｈ２也是群Ｇ的子群．证：令ｅ是Ｇ的单位元．那么ｅ∈Ｈ１，ｅ∈Ｈ２，因而ｅ∈Ｈ１∩Ｈ２≠Φ．对于橙ａ，ｂ∈Ｈ１∩Ｈ２，有ａ，ｂ∈Ｈ２，Ｈ２．由Ｈ１和Ｈ２是Ｇ的子群，所以ａｂ－１∈Ｈ１，ａｂ－１∈Ｈ２，即ａｂ－１∈Ｈ１∩Ｈ２．故Ｈ１∩Ｈ２是Ｇ的子群。
命题２．１．２假定Ｈ和Ｎ是群Ｇ的两个子群．那么ＨＮ是Ｇ的子群当且仅当ＨＮ＝ＮＨ证：＂必要性＂橙ａ∈ＨＮ来说，由ＨＮ是Ｇ的子群，可得ａ－１∈ＨＮ，愁ｈ∈Ｈ，ｎ∈Ｎ，使得ａ－１＝ｈｎａ＝（ａ－１）－１＝（ｈｎ）－１＝ｎ－１ｈ－１∈ＮＨ因为Ｈ，Ｎ是Ｇ的子群，从ｈ∈Ｈ，ｎ∈Ｎ得ｈ－１∈Ｈｎ－１∈Ｎ，那么ＨＮ炒ＮＨ另外橙ａ∈ＮＨ，愁ｈ∈Ｈ，ｎ∈Ｎ，使得ａ＝ｎｈａ－１＝（ｎｈ）－１＝ｈ－１ｎ－１∈ＮＨ又ＨＮ是Ｇ的子群，那么（ａ－１）－１＝ａ∈ＨＮ则ＨＮ车ＮＨ即ＨＮ＝ＮＨ＂充分性＂：橙ａ，ｂ∈ＮＨ来说，愁ｈ１，ｈ２∈Ｈ，ｎ１，ｎ２∈Ｎ，使得ａ＝ｈ１ｎ１，ｂ＝ｈ２ｎ２那么ａｂ－１＝（ｈ１ｎ１）（ｈ２ｎ２）－１＝ｈ１（ｎ１ｎ２－１）ｈ２－１＝ｈ１ｎｈ２－１（ｎ＝ｎ１ｎ２－１∈Ｎ）＝ｈ１ｈ２－１ｎ′（由ＨＮ＝ＮＨ可知，ｎｈ２－１＝ｈ２－１ｎ′）＝ｈｎ′∈ＨＮ（ｈ＝ｈ１ｈ２－１∈ｈ）所以ＨＮ是Ｇ的子群．命题２．１．３设Ｈ和Ｎ是群Ｇ的两个不变子群，则ＨＮ是Ｇ的不变子群，且Ｈ∩Ｎ是Ｇ的不变子群．证：（１）由于Ｈ和Ｎ都不为空，所以ＨＮ也不空．设ａ∈ＨＮ，ｂ∈．那么ａ＝ｈ１ｎ１，ｂ＝ｈ２ｎ２（ｈ１，ｈ２∈Ｈ，ｎ１，ｎ２∈Ｎ）ａｂ－１＝ｈ１ｎ１ｎ２－１ｈ２－１＝ｈ１ｎ′ｈ２－１（ｎ′＝ｎ１ｎ２－１）由于Ｎ是一个不变子群，有Ｎｈ２－１＝ｈ２－１Ｎ，ｎ′ｈ２－１＝ｈ２－１ｎ（ｎ∈Ｎ）由是得ａｂ－１＝（ｈ１ｈ２－１）ｎ∈ＨＮ故ＨＮ是Ｇ的一个子群．对于橙ａ∈Ｇ，ｎ∈ＨＮ，愁ｈ１∈Ｈ，ｎ１∈Ｎ，使得ｎ＝ｈ１ｎ，ａ－１ｎａ＝ａ－１（ｈ１ｎ１）ａ（２）证：令Ｎ１和Ｎ２是群Ｇ的两个不变子群，那么Ｎ１∩Ｎ２是Ｇ的一个子群（由命题２．１．１）．令ａ∈Ｇ，ｎ∈Ｎ１∩Ｎ２，那么ｎ∈Ｎ１，ｎ∈Ｎ２．但Ｎ１和Ｎ２是不变子群，所以ａｎａ－１∈Ｎ１，ａｎａ－１∈Ｎ２，因而ａｎａ－１∈Ｎ１∩Ｎ２．于是由定理１．４，Ｎ１∩Ｎ２是一个不变子群．（二）关于子群与不变子群的乘积命题２．２．１设Ｈ是群Ｇ的子群，Ｎ是Ｇ的不变子群，则ＨＮ是Ｇ的子群，且Ｈ∩Ｎ是Ｈ的不变子群．证：（１）对于橙ａ，ｂ∈ＨＮ来说，愁ｈ１，ｈ２∈Ｈ，ｎ１，ｎ２∈Ｎ，使得ａ＝ｈ１ｎ１，ｂ＝ｈ２ｎ２，那么ａｂ－１＝（ｈ１ｎ１）（ｈ２ｎ２）－１＝（ｈ１ｎ１）（ｎ２－１ｈ２－１）＝ｈ１（ｎ１ｎ２－１）ｈ２－１因为Ｎ是子群，有ｎ１ｎ２－１∈Ｎ，Ｈ是子群，有ｈ１ｈ２－１∈Ｈ，再由Ｎ是不变子群，有（ｎ１ｎ２－１）ｈ２－１∈Ｎｈ２－１＝ｈ２－１Ｎ愁ｎ３，∈Ｎ使得（ｎ１ｎ２－１）ｈ２－１＝ｈ２－１ｎ３ａｂ－１＝（ｈ１ｈ２－１）ｎ３∈ＨＮ即ＨＮ是Ｇ的子群．（２）对于橙ｈ∈Ｈ，橙ａ∈Ｈ∩Ｎ，有ａ∈Ｈ，ａ∈Ｎ，由Ｈ是子群，得ｈ－１∈Ｈ，那么ｈ－１ａｎ∈Ｈ，又有Ｎ是不变子群，ｈ－１ａｈ∈Ｎ，即ｈ－１ａｈ∈Ｈ∩Ｎ．那么Ｈ∩Ｎ是Ｈ的不变子群．命题２．２．２设Ｈ和Ｎ是群Ｇ的两个不变子群，则ＨＮ是Ｇ的不变子群．证：由于Ｈ和Ｎ都不为空，所以ＨＮ也不空．设ａ∈ＮＨ，ｂ∈ＮＨ．那么ａ＝ｈ１ｎ１，ｂ＝ｈ２ｎ２（ｈ１，ｈ２∈Ｈ，ｎ１，ｎ２∈Ｎ）ａｂ－１＝ｈ１ｎ１ｎ２－１ｈ２－１＝ｎ１ｎ′ｈ２－１（ｎ′＝ｎ１ｎ２－１）由于Ｎ是一个不变子群，有Ｎｈ２－１＝ｈ２－１Ｎ，ｎ′ｈ２－１＝ｈ２－１ｎ（ｎ∈Ｎ）由是得ａｂ－１＝（ｈ１ｈ２－１）ｎ∈ＨＮ故ＨＮ是Ｇ的一个子群．·７２１·学术探讨山西青年ＳＨＡＮＸＩＹＯＵＴＨ２０１６·１４*白阿拉坦高娃，女，１９８３年７月１７日，内蒙古通辽市科左中旗人，讲师，硕士学位，主要研究方向：微分方程数值解。
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
2-8不变子群和商群
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商群有下列常用的性质:
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N].
2)如果 G 是有限群, 则商群 G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ G .
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一 商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
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解：
因为 H(13) {(13), (123)}
(13)H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
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二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 aG , aN Na
,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群）
，记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群.
例2 任意群 G 的中心 C(G) {c G | a G, ca ac}
，结合律；
④ (eN )(aN ) aN,有左单位元 eN N ；
⑤ (1N )(aN ) eN ,有逆元.
2019/9/30
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四、商群
N G G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成群.
定义 2
设 N G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成的群为 G 关于
1.4群的各种子集
4）对任意给定的 S G 当Rj取遍所有元素时 SRj S 1 不会有重复
故
类中每个元素只出现一次，仍为自身。
5）对给定的Rj，让S取遍群G所有元素， SRj S 1 会有重复 且可证明 Rk SRj S 1 重复次数m(α)都相同 6）类 中包含的元素数目是群G阶的因子n(α)=g/m(α) 7）由于共轭关系具有传递性，两个不同的类没有公共元素 可将群G按照共轭类进行分割
一个元素R就可以求出R类的所有元素，即
n(α): 类中所含元素数目 gc : 群G所包含的类的数目
性质：
S G, SES1 SS1E E 1）恒元自成一类 2）阿贝尔群的每个元素自成一类 S，R G, SRS1 SS1R R
12
3）若R的阶为m，即Rm=E，则R类所有元素的阶都是m。
7
3. 不变子群（正规子群） 定义：若群G的子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等
R j H HRj， R j S S R j
则称子群H为不变子群。
说
明
1） S , S 不一定是同一元素 2）阿贝尔群的所有子群都是不变子群（所有群元素对易） 3）指数为2的子群必为不变子群（d=2，则只有一个陪集） 4）阶为素数的群没有非平庸不变子群 证 明 ！
3
2. 陪集的性质
（1）H的两个左（右）陪集，要么有完全相同的元素
要么没有任何公共元素 ——陪集定理 证明：设 R1, R2 G,
R1H {R1S ,
R2 H {R2 S ,
R1 , R2 H
S H}
S H}
则由R1,R2生成H两个左陪集
假设两个左陪集有一个公共元素，即
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例：C4v群
第13讲 第2章第10节 不变子群和商群
S 问：H G ，L {aH | a G} 关于子集乘法做成群吗？
定理： N
G ，G / N {aN | a G}
关于乘法
aN bN ( ab) N 做成群.
且称 G / N {aN | a G} 为 G 关于 N 的商群.
证明： ① N =eN G / N ，故非空；
B4
B4 {(1), (12)(34)} K 4 , K4 S 4 , B4 不是 S4 的不变子群.
注： N
H, H
G ，但 N 未必是 G 的不变子
群，即无传递性.
性质4
N H G ，且 N G，则 N H .
则hnh1 N 因此N 是H的不变子群.
证明： n N , h H h G,由N 是G的不变子群，
补例1
设 G 为整数加群, N 5 g g G
（1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
5 g1 , 5 g2 N
5 g1 5 g2 5( g1 g2 ) N N G
5 g N , a G, a 5 g ( a) 5 g N N
G
G / N [0],[1],[2],[3],[4]
引理 H G ，则 a, b G , aH bH 仍是左陪集 x G , xH Hx
证明 " " aHbH a( Hb) H a(bH ) H ab( HH ) abH
" " x G, y G , yx yexe yHxH yxH yHxH xH HxH ,
解： 因为 H (13) {(13),(123)}
(13) H {(13), (132)} 所以 H 不是 G 的不变子群.
群论所有答案
2.4 证明当群G的阶数为5，6，或7时，除恒元 外，不可能所有元素的阶数都是2 .
d
e
f
1
0
0
sin sin sin cos
0 g h i g h i 0 0 0
进行矩阵乘法运算得到：
d cos g sin sin ecos hsin sin f cos sin sin b a 0
acos g sin cos
asin sin d sin cos
bcos hsin cos bsin sin esin cos
对于H3中的元素Ri、Rj∵H3是H1和H2的交集∴ Ri∈H1 Rj∈H1 Ri∈H2 Rj∈H2∵H1、H2是G的子群满足封闭性∴H1、H2包含Ri、 Rj的乘积 即Ri Rj ∈ H1 Ri Rj ∈H2∴Ri Rj ∈H3 H3包含Ri、 Rj的乘积，封闭性即可得到证明 3、恒元
H1、H2是子群，所以必包含恒元E 恒元E是H1、H2的公共元素 E∈H3 4、逆元
X
0
d
0
d
'
b 0 b' 0
令（2）式的两侧同时左乘X，则 展开可知：
2 0 0 0
BX
1 2
X
0 0 0
2 0 0
0 1
3
0
3 1
a 3b
3c 3d a' 3b'
3c' 3d ' 2a 0
1 3a 3b
4
3a
3b
3a b
特殊群的子群,不变子群与商群
特殊群的子群、不变子群与商群摘要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群.突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群的子群不变子群及商群的相关内容.关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群引言在古典代数中方程论是中心课题.直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程.群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可.1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801年，他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。
因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x =，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。
08 子群
第八节 不变子群与商群基本概念：不变子群，商群.重点、难点：不变子群的判定，不变子群与商群的关系.一 概念本节主要讨论一下一类重要的子群—不变子群. i.e.左右陪集均相等的子群.定义2.8.1 设N 是群G 的子群，若对G a ∈∀，均有Na aN =，则称N 是群G 的不变子群或正规子群,记作G N <.一个不变子群N 的一个左（或右）陪集统一叫做N 的一个陪集.例1 ①G G < ； ②G e <}{①G a ∈∀，}{}{G g ga Ga G G g ag aG ∈===∈=②G a ∈∀，a ea ae ==例2 交换群G 的任何一个子群都是G 的正规子群.例3设G 是群.记},{)(ab ba G b G a G C =∈∀∈=，可以证明)(G C 为G 的一个子群，称为群G 的中心.①φ≠⇒∈)()(G C G C e②)()()()()()()()(,)(,1111G C ab ab g b ga b ag gb a bg a g ab G C b g b gb gb b g gb bg gaag G g G C b a ∈⇒=====⇒⎭⎬⎫∈⇒=⇒=⇒==∈∀⇒∈---- 易证G G C <)(.例 4 3S G =，则G N <)}132(),123(),1{(=.证 G N ≤)1( aN Na G a =∈∀,)2(. （Page74,例４）注 不变子群的定义中的“Na aN =”是指两个集合相等，而不是指“N n na an ∈∀=,”.二 判别准则先介绍集合乘积的概念定义2.8.2 设m S S S ,,,21Λ为群G 的m 个子集合，用记号},,1,|{2121m i S s s s s S S S i i m m ΛΛΛ=∈=称为集合m S S S ,,,21Λ的乘积.定理2.8.1 设N 是G 的子群，则T.F.A.E. :（1）G N <；（2）N n G a N ana ∈∀∈∀∈-,,1；(3) G a N aNa ∈∀⊆-,1；(或G a N Na a ∈∀⊆-,1)(4) G a N aNa ∈∀=-,1； (5)N 的每一个左陪集也是N 的一个右陪集.证 (1)⇒(2)：N n anaa n an t s N n Na aN an ∈'=⇒'=∈'∃⇒=∈-1..,(2)⇒(3): 显然(3)⇒(4)：只须证1-⊆aNa N ：111)(,---=⇒∈⇒∈∀∈∀a na a a n N na a G a N n ，故N aNa =-1(4)⇒(1)：aN aNe a aNa Na N aNaG a ===⇒=∈∀--)(,11(1)⇒(5)：显然 (5)⇒(1)：,G a ∈∀则Nb aN t s G b =∈∃..,Θ Nb Na Nb Na Nb Na a Na a Nb aN a prop =⇒≠⋂⇒⋂∈⇒⎭⎬⎫∈=∈2.7.2φ 故aN Na =,即G N <.注 由此判别定理可以导出许多关于不变子群的性质，这里不作介绍了.如1.G HN G N G H ≤⇒≤<,2.⎩⎨⎧⋂⇒G MN G N M G N G M <<<<, 3.正规子群不具有传递性，即3221,N N N N <<推不出31N N <，但有传递性2131321,N N N N N N N <<⇒⊆⊆4.,G H ≤记}|{)(Ng gN G g H N G =∈=三 商群下面讨论不变子群N 的所有陪集之集.定理2.8.2 设,G N <令}|{/G a aN N G ∈=，规定：N G bN aN N ab bN aN /,,)()()(∈∀=⋅则),/(⋅N G 是一个群，称为G 关于N 的商群.证 (1)• 是N G /的一个代数运算，即证与代表元的选取无关：假设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈=⇒⎭⎬⎫==--Nn b b N n a a bN N b aN N a 21111111， 又Θ3111311..,n b b n t s N n Nb N b G N =∈∃⇒=⇒<于是N n n n b b b n b b a a b b a ab ∈=====-----323111*********)()(，从而N b a N ab )()(11=， ∴)()()()(11N b N a bN aN ⋅=⋅(2)),/(⋅N G 为一个群：(Ⅰ)封闭性：显然(Ⅱ)结合律：N G cN bN aN /,,∈∀，有N c ab cN N ab cN bN aN ))(()()(=⋅=⋅⋅N c ab N bc a N bc aN cN bN aN ))(())(())(()(===⋅⋅(Ⅲ)单位元：N G aN /∈∀，)()()()()()(eN aN N ae aN N ea aN N e ⋅====⋅ (Ⅳ)逆元：,/,/1N G N a N G aN ∈∃∈∀-使得)()()()()(111aN N a eN N aa N a aN ⋅===⋅---故),/(⋅N G 为一个群.注 商群N G /中一定要求“G N <”.（否则不知道是左陪集还是右陪集之集） 推论2.8.3 ]:[|/|N G N G =，特别地，当∞<||G 时，有||/|||/|N G N G =. 例5 设.,,N km G mZ N Z G ∈==< 则]}1[,],0{[/-=m mZ Z Λ，|]:[ .m/mZ=|ZNZ=作业：Page 74 第1题，第3题，第4题，第5题。
(完整word版)3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
商群
意思为：子群H的包含元a的右陪集为a右乘H的每一个元。 为什么这样写呢？
看剩余类，含1的类即为H+1={…,-n+1,1,n+1,2n+1,…}
对于一般的G、H和元a： Ha {ha G | h H } 假定 b∈Ha， b～a 即 ba-1=h ∈ H
b=ha
反之 b=ha，h∈H，则 ba-1=h ∈ H b～a b Ha
即{a, an}={a, na}
由n≠e得a≠an, a≠na（否则由消去律得n=e） ∴an=na，由a的任意性知n属于G的中心。 单位元属于G的中心是很明显的事， 所以G的中心包含N
作业1 G=S3，找出S3的所有不变子群。
从上面的例子可以看出，任意一个群G的不变子群是存在的，
并且不是唯一的。那么G的子群中究竟有哪些是不变子群呢？ 或者说一个子群作为不变子群究竟应该具备什么条件呢？ 为此，我们先规定一个符号
回忆把G分成剩余类时所利用等价关系是如下规定的：
a b(mod n)
当且仅当 n | a b
注意：n|a-b a-b=nk a-b∈ H
∴上述等价关系亦可作如下规定：
a b(mod n) 当且仅当a b H
故G的剩余类是利用子群 H 来分的
对于任意一个群G和群G的一个子群H，
由子群的判定定理1知N是一个子群。但G的每一个元 都可以同N的每一个元交换，所以称这个不变子群叫 做G的中心，对于交换群而言，它的中心是它本身。
例4， 假定群G的不变子群N的阶是2， 证明：G的中心包含N
证明：∵|N|=2，∴令N={e,n}，e为G的单位元，n≠e
∵N是群G的不变子群 ∴
a G 有 aN=Na
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特殊群的子群、不变子群与商群摘要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群.突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群的子群不变子群及商群的相关内容.关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群引言在古典代数中方程论是中心课题.直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程.群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可.1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801年，他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。
因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x =，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。
阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.在此基础上法国数学家伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗华理论.正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.群论是研究也不仅仅局限于数学领域，在研究物理问题中群论也是重要的工具.并且用群论解决有些问题可以更加简捷，在粒子物理等方面的应用也是很广泛的.在化学中它可以应用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多方面，分析它在分子偶极距、旋光性上的应用能说明杂化轨道的形成过程.1 群及其同态与同构定义1.1 设G 是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件： Ⅰ.结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有 ()()**a b c a b c =； Ⅱ.中有元素e ，叫做G 的左单位元，它对G 中每个元素a 都有 ea a =；Ⅲ.对G 中每个元素a 在G 中都有元素1a -，叫做a 的左逆元，使1a a e -=，则称G对代数运算*做成一个群。
定义1.2 设{,}G 和{,}G 都是群.如果存在映射:G G ϕ→使G b a ∈∀,在G 上,都有)()()(b a b a ϕϕϕ =（即ϕ保运算）则称ϕ是同构映射.同时称G 与G 同构,记为G G ≅,也称G 是G 的同构象.性质1.1 G →G 是群同构映射,那么ϕ的逆映射ϕ1-:G →G 也是群的同构映射.证明 已知,ϕ1-:G →G 必是双射,现须证ϕ1-能保运算即可．事实上，注意到了1ϕ-ϕ＝G 1，且∀a ，b ∈G ，则必然存在a ，b ∈G 使ϕ)(a ＝a ，ϕ)(b ＝b ，且1ϕ-)(a ＝a ，ϕ1-)(b ＝b ．于是1ϕ-)(b a =（()a φ()b φ）=1ϕ-))((b a ϕ==-)(1b a ϕϕG 1==b a b a )()()(11b a --ϕϕ1ϕ-)(b a =)()(11b a --ϕϕ ⇒ϕ1-保运算.即ϕ1-是同构映射.性质 1.2 设1ϕ：1G 2G →和2ϕ:2G 3G →都是群同构映射,那么12ϕϕ也是群同构映射。
证明： 因为1ϕ和2ϕ，都是双射，自然21ϕϕ也是双射.而21ϕϕ，都能保运算，须21ϕϕ也能保持运算. 1,G b a ∈∀ ，1221211212)()()]()([)(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒==b a b a ab 是同构映射。
性质1.3 在群之间的同构“≅”作为关系时，“≅”必是一个等价关系。
证明：（1）任一个群 G ，显然 G G1≅ G ，这里 1G 是G 的恒等变换。
（2）若1G ϕ≅2G 那么由结论1121G G -=⇒ϕ （3）若1G 1ϕ≅2G ，且,322G G ϕ=由结论23112G G ϕϕ≅⇒由（1），（2）知，“≅”满足发射定律，对称律和传递律。
所以，“≅”是等价关系。
例1 设群4U ={1,1,,}i i --是四次单位根群，K ={,,,}e a b ab 是由元素a ，b 和关系2a =2b =e 和ab =ba 所定义的群.问4U 与K 是否同构，为什么？解 如果4U 与K 同构，ϕ是4U 到K 的同构映射.则 易知 2(1)()[()]i i i e ϕϕϕ-=⋅==， 而(1)e ϕ=，ϕ是单射，我们可以得到-1=1. 这是一个矛盾。
从而知4U 与K 不同构定义1.3 设{} ,G 和{,}G 都是群，如果存在映射G G →：ϕ使,G b ,a ∈∀都有)()()(b a b a ϕϕϕ =，则称ϕ是群同构态映射；如果ϕ是满射，则必ϕ为群满同态映射，（注：这是重要的一种同态，要特别关注）简称 G 与G 同态,并记为G ~G ,此时也称G是G 的同态像.性质1.4 设 ϕ 是两个代数体系 {} ,A 到 {} ，A 的同态满射,若 {} ,A 是群,那么{} ，A 也一定是群.性质 1.5 设 G G →:ϕ是群同态满射. 那么（i ）若e 是G 的单位元，()e e =⇒ϕ，必是G 的单位元.（ii ）若11)()()(--=⇒=a a a a ϕϕϕ2 子群的同构与同态及陪集的基本定义和性质定义2.1 设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，若H 本身对于G 的·运算下也是群，则称H 是G 的一个子群.定理2.1 设H 是群G 的非空子集，则H 是G 的子群当且仅当H 满足下列两条件之一：（1）对任意,a b H ∈，ab H ∈且1a H -∈；（2）对任意,a b H ∈, 1ab H -∈.性质2.1 H 是群G 的子群当且仅当其为非空集且在乘积和逆运算下为封闭的.(封闭条件是指：任两个在H 内两元素a 和b ，ab 和1a -都为在H 中）.性质2.2 任两个在H 内的a 和b ，1ab -也在H 内.若H 是有限的则H 是G 一个子群当且仅当H 在乘积下为封闭的(在此情形下，G 的每一个元素a 都会生成一个G 的有限循环子群).性质2.3 一个子群内的一元素的逆元素为群内的此元素的逆元素：若H 是群G 的子群，且a 和b 为会使得ab ba eH ==成立的H 内的元素，则ab ba eG ==.性质2.4 若S 是G 的子集，则存在一个包括S 的最小子群，其可以由取得所有包括S 的子群之交集来找出；此时最小子群被标记为<S>并称为由S 生成的子群。
而G 内的一个元素在<S>内当且仅当其为S 内之元素的有限乘积且其逆元.性质2.5 若e 为G 的单位元素，则群{e}会是群G 的最小子群，而其最大子群则会是群G 本身.例2 找出模12的剩余类加群的所有子群.解 设H 是12Z 的子群，则H 的个数只能为1、2、3、4、6、12； ()1,{}H H e ==()[][]{}2,06H H == ()[][][]{}3,048H H == ()[][][][]{}4,0369H H == ()[][][][][][]{}6,0246810H H ==()1212,H H ==Z例3 假设H 是群G 的一个非空子集，并且H 的每一个元的阶都有限，证明H 作成子群的充要条件是：,a b H ab H ∈⇒∈ 证明 必要性 显然.充份性 a H ∀∈，设na e =，则11n aa H --=∈，故H 作成子群.定理 2.2设:~G G ϕ,则 （1）()N G N G ϕ⇒ (2) 1()NG N G ϕ-⇒3 不变子群的定义判别条件及不变子群与同态定义 3.1 设H 是群G 的子群.如果a G ∀∈都有aH Ha =，则称H 是G 的不变子群或正规子群，记为：G H ，称Ha 是由子群H 确定的一个右陪集；而称aH 是由H 确定的左陪集.当H 是G 的不变子群时，把它的左陪集和右陪集通称为陪集.一个不变子群N 的一个左（或右）陪集统一叫做N 的一个陪集.注意 这里右陪集的“右”的含义在于元素a 是从右边乘以子群H ，而左陪集是元素a 从左边乘以子群H .我们看一个群G 和G 的一个子群H .我们规定一个G 的一个元中间的关系~：~a b ，当且只当1ab H -∈的时候给了a 和b ，我们可以唯一确定，1ab -是不是属于H ，所以~是一个关系.但（1）1aa e H -=∈，所以 ~a a（2）1111()aa H ab ba H ----∈⇒=∈, 所以~~a b b a ⇒（3）1ab H -∈，1111()()bc H ab bc ac H ----∈⇒=∈，所以~a b ，~~b c a c ⇒这样，~是一个等价关系.定义 3.2 由上面的等价关系~所决定的关系叫做子群H 的右陪集.包含a 的右陪集用符号Ha 来表示.例4 3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}G S == {(1),(12)}H =那么 (1){(1),(12)}H =(13){(13),(123)}H =(23){(23),(132)}H =我们还可以用(12)，(123)，(132)来作右陪集(12),(123),(132),H H H但因为(12)(1),(123)(13),(132)(23)H H H H H H ∈∈∈这样，子群H 把整个群分成(1),(13),(23),H H H 三个不同的右陪集. 这三个不同的右陪集放在一起显然是G ，因此，他们的确定是一个分类.关于右陪集有如下性质：性质3.1 设G 是群，H G ≤，则：（1）,a Ha a G ∈∀∈；（2） 1ab H -∈当且仅当HaHb ≠∅当且仅当Ha Hb ；（3） He Ha Hb Hc，其中e 是G 的单位元, ,,,,e a b c 中任意两个,x y 均有1,x y H -∉.定义 3.3 设m S S S ,,,21 为群G 的m 个子集合，用记号},,1,|{2121m i S s s s s S S S i i m m =∈=称为集合m S S S ,,,21 的乘积.定理 3.1 设N 是G 的子群，则 （1）G N ； （2）N n G a N ana∈∀∈∀∈-,,1；（3）G a N aNa ∈∀⊆-,1；(或G a N Na a ∈∀⊆-,1) （4）G a N aNa∈∀=-,1；（5）N 的每一个左陪集也是N 的一个右陪集.证明 (1)⇒(2)：N n ana a n an t s N n Na aN an ∈'=⇒'=∈'∃⇒=∈-1..,(2)⇒(3): 显然(3)⇒(4)：只须证1-⊆aNa N ：111)(,---=⇒∈⇒∈∀∈∀a na a a n N na a G a N n ，故N aNa=-1.(4)⇒(1)：对于G 任意的一个元a 都有N aNa =-1aN aNe a aNa Na N aNa ===⇒=--)(11那么N 是不变子群. (1)⇒(5)：显然(5)⇒(1)：,G a ∈∀则b G ∃∈使得aN Nb =，因为Nb Na Nb Na Nb Na a Na a Nb aN a =⇒≠⇒∈⇒⎭⎬⎫∈=∈φ故aN Na =,即G N .例5 假定H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明HN 是G 的子群. 证明 1122,h n h n HN ∀∈，11221212()h n h n h h n n HN '=∈ 1111111113()h n n h h n HN ----==∈例6 群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群.证明 设 与 为的两个正规子群, L H K =, 则 为 的子群. 又任给,g G ∈, 则因为 与 都是的正规子群, 所以11,gagH gag K --∈∈,进而,1gag HK -∈. 故G K H1.G HK G N G H ≤⇒≤ ,2.⎩⎨⎧⇒G MK GK M G N G M ,正规子群不具有传递性，即3221,N N N N 推不出31N N ，但有传递性2131321,N N N N N N N ⇒⊆⊆.定义 3.4 假定φ是一个群G 到另一个群G 的一个同态满射. G 的单位元e 在φ之下的所有逆象所成的G 的子集叫做同态满射φ的核.定义 3.5 假定φ是集合A 到集合A 的一个满射.S 是A 的一个子集S 在φ下的象，假如S 刚好包含所有S 的元在φ下的象；S 是A 的一个子集S 在φ下的逆象，假如S 刚好包含所有S 的元在φ下的逆象.定理 3.2 假设G 和G 是两个群，并且G 与G 同态，那么在这个同态映射之下的 （Ⅰ）G 的一个子群H 的像H 是G 的一个子群； （Ⅱ）G 的一个不变子群N 的像N 是G 的一个子群。