统计量及其分布
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2 1. 设 X i ~ N ( 1, 2, 5) ， （1） （2） i , )(i 1, 2 , , 5 不全等； 1 2 5.
问： X 1 , X 2 , , X 5 是否为简单随机样本？ 分析：相互独立且与总体同分布的样本是简单随机样本，由此进行验证. 解:（1） 由于 X i ~ N ( 1,2, 5) ，且 i , )(i 1, 2 , , 5 不全等，所以
第五章
统计量及其分布
(1) 总体与样本
习题
内容提要 在数理统计中，将研究对象的全体称为总体；组成总体的每个元素称为个体. 从总体中抽取的一部分个体， 称为总体的一个样本； 样本中个体的个数称为样本的容量. 从分布函数为 F ( x ) 的随机变量 X 中随机地抽取的相互独立的 n 个随机变量， 具有与总 体相同的分布，则 X 1 , X 2 , , X n 称为从总体 X 得到的容量为 n 的随机样本.一次具体的抽 取记录 x1 , x 2 , , xn 是随机变量 X 1 , X 2 , , X n 的一个观察值，也用来表示这些随机变量. 习题
n
ki 0,1, ， i 1, 2, , n,
3. 加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/ 的指数分布，今以加工时间为零件 的数量指标，任取 n 件零件构成一个容量为 n 的样本，求样本分布。 解：零件的加工时间为总体 X ，则 X ~ E ( ) ，其概率密度为
x e , x 0, f ( x) 0. 0 , x
本容量 n 取多大时有： （1） E ( X ) 0.1 ；（2） P{ X 0.1} 0.95 .
2
解：（1）要使 E ( X ) D( X ) D( X ) / n 4 / n 0.1 ，即有
2
n 40 ，故取 n 40 .
（2）由中心极限定理，要使
于是样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的密度为
xi f ( x1 , x2 , , xn ) e i 1 n
xi n i 1 e , xi 0 0 , 其它.
n
i 1, 2, , n
4. 从正态总体 N (3.4, 62 ) 中抽取容量为 n 的样本，如果要求样本均值位于区间（ 1.4, 5.4）
内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应多大？ 解： 0.95 P (1.4
1 n 5.4 3.4 1.4 3.4 Xi 5.4) ( n) ( n) n i 6 6 1
2(
即
n ) 1 3
(
n n ) 0.975 ，查正态分表得 1.96 即 n 34.57 . 3 3
2
X 1 , X 2 , , X 5 不是同分布，因此 X 1 , X 2 , , X 5 不是简单随机样本.
（2）由于 1 2 5 ，那么 X 1 , X 2 , , X 5 服从相同的分布，但不知道
X 1 , X 2 , , X 5 是否相互独立，因此 X 1 , X 2 , , X 5 不一定是简单随机样本. 2. 某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为 的泊松 分布，从产品中抽一个容量为 n 的样本 X 1 , X 2 , , X n ，求样本的分布.
以组距 4 为底，以 ni / 4n 为高作矩形即得 X 的直方图
n ( x)
0
14.5
22.5
30.5
38.5
46.5
(3) 统计量及其分布
内容提要
设 X 1 , X 2 , , X n 是总体 X 的一个样本，则不含未知参数的样本的连续函数
f ( X 1 , X 2 ,, X n ) 称为统计量.统计量也是一个随机变量，常见的统计量有
解：样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为
n n i P( X1 k1 , X 2 k2 , , X n kn ) P ( X k ) i i k !e i 1 i 1 i
k
ki en i 1 k1 ! k2 ! kn !
解 应填（C） ， （D ）
x e ,x 0 2. 设总体服从参数为 的指数分布，分布密度为 p ( x; ) 0, x 0
求 E X , D X 和 ES . 分析：利用已知指数分布的期望、方差和它们的性质进行计算.
故样本容量至少应为 35。
5. 设总体 X ~ N (80, 20 2 ) ，从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本，问样本均值与总体
均值之差的绝对值大于 3 的概率是多少？
202 解：设样本均值为 X ，则 X ~ N (80, ) 100
202 X 80 ~ N (0, ) 100 3 3 P(| X 80 | 3) 1 P(| X 80 | 3) 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 (1.5) 2 2 9332 0.1336 .
(2) 样本数据的整理与显示
内容提要
1.经验分布函数 设 x1 , x 2 , , xn 是总体 X 的一组观察值将它们按大小顺序排列为：
x1 x2 x n ，称它为顺序统计量.则称
* * *
* 0, x x1 1 * x x * , x1 2 n Fn ( x) 为经验分布函数（或样本分布函数）. k * * , xk x x k 1 n x x * 1, n
（5）样本 k 阶中心矩 B k
习题
1. 设 X ~ N ( , 2 ) ，已知， 2 未知，( X 1 , X 2 , X 3 ) 为 X 的样本， 则非统计量的有 （ ）
2 2 2 X1 X1 X 2 X 3 （A ） X 1 X 2 ； （B） X 1 X 2 X 3 ； （C） （ D）
P{ X 0.1} P{ X / D( X ) 0.1 n / 4} (0.05 n )
( 0.05 n ) 2 (0.05 n ) 1 0.95 ，即有 (0.05 n ) 0.975,0.05 n 1.96, n 1536.64 ，故取 n 1537 .
x 4, 4 x 5, 5 x 6, 6 x 7, 7 x 8, 8 x 9, 9 x 10, x 10.
1 0.75 0.5 0.3 0.1
0
4
5
6
7
8
9
10
2. 设总体 X 的容量为 100 的样本观察值如下：
15 15 20 20 30 30 15 25 20 20 35 25 25 30 35 25 35 30 30 20 25 15 35 20 30 30 30 25 25 25
6. 求总体 N (20,3) 的容量分别为 10， 15 的两个独立样本均值差的绝对值大于 0.3 的概率。 3 3 解：设 X 1 和 X 2 为两个独立样本的均值，则 X 1 ~ N (2 0, ) ， X 2 ~ N (20, ) 10 15 15 1 于是 X 1 X 2 ~ N (0, ) 即 X1 X 2 ~ N (0, ) 30 2 P(| X 1 X 2 | 0.3) 1 P(| X1 X 2 | 0.3) 0.3 0.3 1 ( ) ( ) 1/ 2 1/ 2 2 2 (0.42) 2 2 0.6628 0.6744 . 7. 设总体 X ~ N ( ,4) ， X 1 , X 2 , , X n 是取自总体的简单随机样本， X 为样本均值.问样
35 35 25 25 35 43 30
25 20 40 25 25 22 43
15 30 20 40 25 20 35
25 30 25 35 30 23 45
35 15 20 25 25 20 30
25 30 15 30 30 25 45
25 40 20 20 25 15 30
Байду номын сангаас
30 30 25 35 30 25 45
8. 在总体 N（ 52， 6.32）中随机抽一容量为 36 的样本，求样本均值 X 落在 50.8 到 53.8 之
间的概率。 解：
6.3 2 1.2 X 52 1.8 ), P{50.8 X 53.8} P{ } 6.3 6.3 6.3 36 6 6 6 12 8 ( ) ( ) 0.8293 7 7 X ~ N (52, 9. 一批产品中有成品 L 个，次品 M 个，总计 N L M 个。 今从中取容量为 2 的样本（非 简单样本） ，求样本分布，并求当 N , M / N p 时的样本分布。 L M 解：总体 X ~ (0 1) ，即 P( X 0) , P( X 1) N N 于是样本 ( X 1 , X 2 ) 的分布如下 L L 1 L M P( X 1 0, X 2 0) ， P( X1 0, X 2 1) N N 1 N N 1 M L M M 1 P( X 1 1, X 2 0) ， P( X1 1, X 2 1) N N 1 N N 1 M L 若 N 时 p ，则 1 p ，所以 N N 0 0 P( X 1 0, X 2 0) (1 p) 2 p0 (1 p) 2 1 1 P( X 1 0, X 2 1) p(1 p) p 0 (1 p) 2 0 1 P( X 1 1, X 2 0) p(1 p) p1 (1 p) 2 1 2 P( X 1 1, X 2 1) p2 p1 (1 p)2
（1）样本均值 X
1 n X i ； n i 1
n 2 1 n 1 2 ( X i X )2 [X i nX ]； n 1 i n 1 i 1 1
（2）样本方差 S 2
（3）样本标准差 S S 2 ； （4）样本 k 阶原点矩 Ak
1 n k Xi ,k 1,2, ； n i 1 1 n k ( X i X ) , k 1,2, . n i 1
35 40 25 20 43 20 45
25 15 40 15 25 25 35
作总体 X 的直方图 解：样本值的最小值为 15，最大值为 45 取 a 14.5 ， b 45.5 ，为保证每个小区间内 都包含若干个观察值，将区间 [14.5, 45.5] 分成 8 个相等的区间。用唱票法数出落在每个区 间上的样本值的个数 ni ，列表如下： 分组区间 14.5 —18.5 18.5 —22.5 22.5 —26.5 26.5 —30.5 30.5 —34.5 34.5 —38.5 38.5 —42.5 42.5 —46.5 频数 ni 10 16 29 20 4 9 2 10 100 频率 ni / n 0.10 0.16 0.29 0.20 0.04 0.09 0.02 0.10 1.00
习题
1. 某射手独立重复地进行 20 次打靶试验，击中靶子的环数如下：
环数 频数 10 2 9 3 8 0 7 9 6 4 5 0 4 2
用 X 表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求 X 的经验分布函数，并画出其图像。 解：设 X 的经验分布函数为 Fn ( x) 则
0 , 2 , 20 2 , 20 6 , 20 Fn (x ) 15 , 20 15 , 20 18 , 20 1 ,
问： X 1 , X 2 , , X 5 是否为简单随机样本？ 分析：相互独立且与总体同分布的样本是简单随机样本，由此进行验证. 解:（1） 由于 X i ~ N ( 1,2, 5) ，且 i , )(i 1, 2 , , 5 不全等，所以
第五章
统计量及其分布
(1) 总体与样本
习题
内容提要 在数理统计中，将研究对象的全体称为总体；组成总体的每个元素称为个体. 从总体中抽取的一部分个体， 称为总体的一个样本； 样本中个体的个数称为样本的容量. 从分布函数为 F ( x ) 的随机变量 X 中随机地抽取的相互独立的 n 个随机变量， 具有与总 体相同的分布，则 X 1 , X 2 , , X n 称为从总体 X 得到的容量为 n 的随机样本.一次具体的抽 取记录 x1 , x 2 , , xn 是随机变量 X 1 , X 2 , , X n 的一个观察值，也用来表示这些随机变量. 习题
n
ki 0,1, ， i 1, 2, , n,
3. 加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/ 的指数分布，今以加工时间为零件 的数量指标，任取 n 件零件构成一个容量为 n 的样本，求样本分布。 解：零件的加工时间为总体 X ，则 X ~ E ( ) ，其概率密度为
x e , x 0, f ( x) 0. 0 , x
本容量 n 取多大时有： （1） E ( X ) 0.1 ；（2） P{ X 0.1} 0.95 .
2
解：（1）要使 E ( X ) D( X ) D( X ) / n 4 / n 0.1 ，即有
2
n 40 ，故取 n 40 .
（2）由中心极限定理，要使
于是样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的密度为
xi f ( x1 , x2 , , xn ) e i 1 n
xi n i 1 e , xi 0 0 , 其它.
n
i 1, 2, , n
4. 从正态总体 N (3.4, 62 ) 中抽取容量为 n 的样本，如果要求样本均值位于区间（ 1.4, 5.4）
内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应多大？ 解： 0.95 P (1.4
1 n 5.4 3.4 1.4 3.4 Xi 5.4) ( n) ( n) n i 6 6 1
2(
即
n ) 1 3
(
n n ) 0.975 ，查正态分表得 1.96 即 n 34.57 . 3 3
2
X 1 , X 2 , , X 5 不是同分布，因此 X 1 , X 2 , , X 5 不是简单随机样本.
（2）由于 1 2 5 ，那么 X 1 , X 2 , , X 5 服从相同的分布，但不知道
X 1 , X 2 , , X 5 是否相互独立，因此 X 1 , X 2 , , X 5 不一定是简单随机样本. 2. 某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为 的泊松 分布，从产品中抽一个容量为 n 的样本 X 1 , X 2 , , X n ，求样本的分布.
以组距 4 为底，以 ni / 4n 为高作矩形即得 X 的直方图
n ( x)
0
14.5
22.5
30.5
38.5
46.5
(3) 统计量及其分布
内容提要
设 X 1 , X 2 , , X n 是总体 X 的一个样本，则不含未知参数的样本的连续函数
f ( X 1 , X 2 ,, X n ) 称为统计量.统计量也是一个随机变量，常见的统计量有
解：样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为
n n i P( X1 k1 , X 2 k2 , , X n kn ) P ( X k ) i i k !e i 1 i 1 i
k
ki en i 1 k1 ! k2 ! kn !
解 应填（C） ， （D ）
x e ,x 0 2. 设总体服从参数为 的指数分布，分布密度为 p ( x; ) 0, x 0
求 E X , D X 和 ES . 分析：利用已知指数分布的期望、方差和它们的性质进行计算.
故样本容量至少应为 35。
5. 设总体 X ~ N (80, 20 2 ) ，从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本，问样本均值与总体
均值之差的绝对值大于 3 的概率是多少？
202 解：设样本均值为 X ，则 X ~ N (80, ) 100
202 X 80 ~ N (0, ) 100 3 3 P(| X 80 | 3) 1 P(| X 80 | 3) 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 (1.5) 2 2 9332 0.1336 .
(2) 样本数据的整理与显示
内容提要
1.经验分布函数 设 x1 , x 2 , , xn 是总体 X 的一组观察值将它们按大小顺序排列为：
x1 x2 x n ，称它为顺序统计量.则称
* * *
* 0, x x1 1 * x x * , x1 2 n Fn ( x) 为经验分布函数（或样本分布函数）. k * * , xk x x k 1 n x x * 1, n
（5）样本 k 阶中心矩 B k
习题
1. 设 X ~ N ( , 2 ) ，已知， 2 未知，( X 1 , X 2 , X 3 ) 为 X 的样本， 则非统计量的有 （ ）
2 2 2 X1 X1 X 2 X 3 （A ） X 1 X 2 ； （B） X 1 X 2 X 3 ； （C） （ D）
P{ X 0.1} P{ X / D( X ) 0.1 n / 4} (0.05 n )
( 0.05 n ) 2 (0.05 n ) 1 0.95 ，即有 (0.05 n ) 0.975,0.05 n 1.96, n 1536.64 ，故取 n 1537 .
x 4, 4 x 5, 5 x 6, 6 x 7, 7 x 8, 8 x 9, 9 x 10, x 10.
1 0.75 0.5 0.3 0.1
0
4
5
6
7
8
9
10
2. 设总体 X 的容量为 100 的样本观察值如下：
15 15 20 20 30 30 15 25 20 20 35 25 25 30 35 25 35 30 30 20 25 15 35 20 30 30 30 25 25 25
6. 求总体 N (20,3) 的容量分别为 10， 15 的两个独立样本均值差的绝对值大于 0.3 的概率。 3 3 解：设 X 1 和 X 2 为两个独立样本的均值，则 X 1 ~ N (2 0, ) ， X 2 ~ N (20, ) 10 15 15 1 于是 X 1 X 2 ~ N (0, ) 即 X1 X 2 ~ N (0, ) 30 2 P(| X 1 X 2 | 0.3) 1 P(| X1 X 2 | 0.3) 0.3 0.3 1 ( ) ( ) 1/ 2 1/ 2 2 2 (0.42) 2 2 0.6628 0.6744 . 7. 设总体 X ~ N ( ,4) ， X 1 , X 2 , , X n 是取自总体的简单随机样本， X 为样本均值.问样
35 35 25 25 35 43 30
25 20 40 25 25 22 43
15 30 20 40 25 20 35
25 30 25 35 30 23 45
35 15 20 25 25 20 30
25 30 15 30 30 25 45
25 40 20 20 25 15 30
Байду номын сангаас
30 30 25 35 30 25 45
8. 在总体 N（ 52， 6.32）中随机抽一容量为 36 的样本，求样本均值 X 落在 50.8 到 53.8 之
间的概率。 解：
6.3 2 1.2 X 52 1.8 ), P{50.8 X 53.8} P{ } 6.3 6.3 6.3 36 6 6 6 12 8 ( ) ( ) 0.8293 7 7 X ~ N (52, 9. 一批产品中有成品 L 个，次品 M 个，总计 N L M 个。 今从中取容量为 2 的样本（非 简单样本） ，求样本分布，并求当 N , M / N p 时的样本分布。 L M 解：总体 X ~ (0 1) ，即 P( X 0) , P( X 1) N N 于是样本 ( X 1 , X 2 ) 的分布如下 L L 1 L M P( X 1 0, X 2 0) ， P( X1 0, X 2 1) N N 1 N N 1 M L M M 1 P( X 1 1, X 2 0) ， P( X1 1, X 2 1) N N 1 N N 1 M L 若 N 时 p ，则 1 p ，所以 N N 0 0 P( X 1 0, X 2 0) (1 p) 2 p0 (1 p) 2 1 1 P( X 1 0, X 2 1) p(1 p) p 0 (1 p) 2 0 1 P( X 1 1, X 2 0) p(1 p) p1 (1 p) 2 1 2 P( X 1 1, X 2 1) p2 p1 (1 p)2
（1）样本均值 X
1 n X i ； n i 1
n 2 1 n 1 2 ( X i X )2 [X i nX ]； n 1 i n 1 i 1 1
（2）样本方差 S 2
（3）样本标准差 S S 2 ； （4）样本 k 阶原点矩 Ak
1 n k Xi ,k 1,2, ； n i 1 1 n k ( X i X ) , k 1,2, . n i 1
35 40 25 20 43 20 45
25 15 40 15 25 25 35
作总体 X 的直方图 解：样本值的最小值为 15，最大值为 45 取 a 14.5 ， b 45.5 ，为保证每个小区间内 都包含若干个观察值，将区间 [14.5, 45.5] 分成 8 个相等的区间。用唱票法数出落在每个区 间上的样本值的个数 ni ，列表如下： 分组区间 14.5 —18.5 18.5 —22.5 22.5 —26.5 26.5 —30.5 30.5 —34.5 34.5 —38.5 38.5 —42.5 42.5 —46.5 频数 ni 10 16 29 20 4 9 2 10 100 频率 ni / n 0.10 0.16 0.29 0.20 0.04 0.09 0.02 0.10 1.00
习题
1. 某射手独立重复地进行 20 次打靶试验，击中靶子的环数如下：
环数 频数 10 2 9 3 8 0 7 9 6 4 5 0 4 2
用 X 表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求 X 的经验分布函数，并画出其图像。 解：设 X 的经验分布函数为 Fn ( x) 则
0 , 2 , 20 2 , 20 6 , 20 Fn (x ) 15 , 20 15 , 20 18 , 20 1 ,