二倍角的三角函数_课件

42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
由题意得
sinα2－cosα2
2＝
1 5
，即1－sinα＝
1 5
，
得sinα＝45.而450°<α<540°，
∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－sicnoαsα＝1－4－35＝2. 5
[规律总结]
利用半角公式求tan
α 2
的值时，为避免讨论，
一般尽量采用半角正切公式的有理式tan
α 2
＝
sinα 1＋cosα
(2)要使 f(x)≥32，只需 22sin(2x＋π4)≥0， 即 sin(2x＋π4)≥0， 由 2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z， 又 x∈[0，π]，∴0≤x≤38π或78π≤x≤π. 故使不等式 f(x)≥32(x∈[0，π])成立的 x 的取值范围是[0，38π] ∪[78π，π]．
2．半角公式 (1)sinα2＝±____1_－__2c_o_s_α_.
1＋cosα (2)cosα2＝±_______2____. (3)tanα2＝_±____11_－＋__ccoo_ss_αα_＝___1_＋_s_icn_oα_s_α___＝___1_－s_i_cno_αs_α____. 在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函 数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面 的正、负两个符号．
二倍角的三角函数
课前自主预习
如图甲所示，已知弓弦的长度AB＝2a，弓箭的长度MN＝ 2b(其中MA＝MB，MN⊥AB)．假设拉满弓时，箭头和箭尾到 A，B的连线的距离相等(如图乙所示)，设∠AMN＝α，你能用 a，b表示∠AMB的正切值，即tan2α的值吗？
tan2α与tanα之间存在怎样的关系呢？现在我们来学习二倍 角与半角公式的知识．
∴原式＝ 22ssiinnαα22＋－ccoossαα22＋－sicnoα2s－α2＋cossiαn2α2 ＝sinα2－csoisnα22α22－－csoisn2α2α2＋cosα22 ＝－4－sicnoα2scαosα2＝2csoisnαα＝2tanα.
(2) 原 式 等 价 于
1
＋
sin4θ
杂，可将要证的式子变形．发现
2tanθ 1－tan2θ
＝tan2θ，所以只要证
明式子1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)即可．
[规范解答] (1)∵32π<α<2π，∴34π<α2<π， ∴ 1－cosα＝ 2sin2α2＝ 2sinα2，
1＋cosα＝ 2cos2α2＝－ 2cosα2， 1＋sinα＝|cosα2＋sinα2|＝－(cosα2＋sinα2)， 1－sinα＝|cosα2－sinα2|＝sinα2－cosα2.
(1)sin15°sin30°sin75°等于( )
A．
3 4
B．
3 8
C．18
D．14
(2)下列各式中，值为 23的是( )
A．2sin15°cos15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°
(3)已知tanα＝－34，则tan2α等于( )
课堂典例讲练
利用倍角公式求值
利用倍角公式求下列各式的值． (1)2sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°； (3)1－2tatann125105°0°；(4)cos1π2cos51π2； (5)sin110°－cos130°. [思路分析] 本题主要是倍角公式的逆用，关键是搞清公 式的特征．
易错疑难辨析
[错解]
已知 sinθ＝35，sin2θ<0，求 tan2θ的值． ∵sinθ＝35>0，sin2θ<0，故 θ 为第二象限的角，∴
(5)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn320×°－101°0°＝4ssiinn2200°° ＝4. [规律总结] 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系， 另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及 诱导公式是常用的方法．
(1)化简2sicno2sxx·(1＋tanx·tan2x)．
(2)求证：33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A．
[解析] (1)原式＝2s2incxocsoxsx(1＋csoinsxx·1－sincoxsx) ＝sinx(1＋1－cocsoxsx)＝csoinsxx＝tanx.
＝
1－sicnoαsα，利用半角公式求sinα2，cosα2的值时，要注意根号前面
的符号由角α2所在象限相应的三角函数值的符号来确定．
已知|cosθ|＝35，且52π<θ<3π，求sin2θ，cos2θ，tan2θ的值． [分析] 本题主要考查半角公式，先由角的范围去掉绝对 值符号，再由半角公式即得． [解析] ∵|cosθ|＝35，52π<θ<3π， ∴cosθ＝－35，54π<2θ<32π. 由cosθ＝1－2sin22θ，
__1_－__t_a_n_2α______. (2) 余 弦 函 数 的 二 倍 角 公 式 有 三 种 形 式 ， 即 cos2α ＝
c_o_s_2_α_－__s_in_2_α____＝___2_c_o_s2_α_－__1_____＝___1_－__2_s_i_n_2α_____，由此 可得变形公式 sin2α＝_1_－__c2_o_s_2_α，cos2α＝1_＋__c_2o_s_2_α_，它的双向应 用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)在和角公式 Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β 中，当 α＝β 时就可得到二
倍角的三角函数公式 S2α，C2α，T2α. 2tsainn2αα ＝ _2_si_n_α_c_o_s_α___ ， cos2α ＝c_o_s_2α_－__s_i_n_2α_____ ， tan2α ＝
[规律总结] (1)带有根号的化简问题，首先要去掉根号， 想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的 解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重 要的变形：1±sinα＝(sinα2±cosα2)2，1＋cosα＝2cos2α2.(2)证明三角 恒等式就是充分利用三角函数的有关公式，通过角的变换或函 数的转化，将一边的三角函数式化为另一边，或两边都等于某 一多项式，本例证明采用的是从左到右的证明思路，解决这类 问题的关键是消去等式两端的差异．
－
cos4θ
＝
2tanθ 1－tan2θ
(1
＋
sin4θ
＋
cos4θ) 即 1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)①
而①式右边＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)
＝csoins22θθ(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)
＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边
∴①式成立，原式得证．
A．274
B．－274
C．274 [答案]
[解析]
D．－274
(1)C (2)B (3)D (1)原式＝12sin15°cos15°＝14sin30°＝18.
(2)cos215°－sin215°＝cos30°＝
3 2.
(3)tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×－－34342＝－274.
利用公式化简与证明
已知函数f(x)＝sin2(π4＋x)＋cos2x＋12，x∈R. (1)求函数f(x)的最值与最小正周期； ([2解)求析使] 不(1等)∵式ff((xx))＝≥s32in(x2(∈π4＋[0，x)＋π]c)成os2立x＋的12x＝的1取－值co范s2围π2＋．2x＋ 1＋c2os2x＋12＝12sin2x＋12cos2x＋32＝ 22sin(2x＋π4)＋32. ∴f(x)的最大值为 22＋32，最小值为－ 22＋32； 最小正周期 T＝22π＝π.
已知sin α2 －cos α2 ＝－
5 5
，450°<α<540°，求tan
α 2
的值．
[思路分析]
要求tan
α 2
的值，结合条件，可以联立sin2
α 2
＋
cos2
α 2
＝1，求得sin
α 2
，cos
α 2
，从而获解．但这种方法需要解方
程，联想到有理形式的半角正切公式，可以有以下解法．
[规范解答]
有sin2θ＝－ 1－2cosθ＝－
1＋2 35＝－25
5 .
又cosθ＝2cos22θ－1，
有cos2θ＝－ 1＋2cosθ＝－ 55，
∴tan2θ＝ sinθ2θ＝2. cos2
三角公式与三角函数的图像与性质的综合应 用
已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx， 3cosx)，函
数f(x)＝a·b＋
是________．
[答案]
π 2
1 2
[解析] y＝12sin4x，∴T＝24π＝π2，ymax＝12.
5．已知tan(π4＋α)＝2，则tan2α＝________.
[答案] [解析]
3 4 ∵tan(π4＋α)＝11＋ －ttaannαα＝2，∴tanα＝13.
∴tan2α＝1－2tatannα2α＝34.
[规范解答] (1)原式＝sin2×1π2＝sinπ6＝12. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝ cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－ tan60°＝－ 3. (4)原式＝cos1π2cosπ2－1π2＝cos1π2sin1π2 ＝12·2sin1π2cos1π2＝12sinπ6＝12×12＝14.
＝sin(2x－π3)，所以f(x)的最小正周期为π.
令sin(2x－π3)＝0，得2x－π3＝kπ，
∴x＝2kπ＋π6，k∈Z.
故所求对称中心的坐标为(2kπ＋π6，0)，(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π. ∴－ 23≤sin(2x－π3)≤1， 即f(x)的值域为[－ 23，1]． [规律总结] 解答此类综合题的关键是利用三角函数的 和、差、倍、半角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后 借助于三角函数的图像及性质去研究f(x)的相应性质，解答过 程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失 误．
1．若 tanα＝3，则scions22αα的值为(
)
A．2
B．3
C．4
D．6
[答案] D [解析] ∵scions22αα＝2sicnoαs·2cαosα＝2tanα＝6，
∴scions22αα的值为 6.
2．cos2π8－12的值为(
)
A．1
B．12
C．
2 2
D．
2 4
[答案] [解析]Байду номын сангаас
原D 式＝1＋2cosπ4－12＝12＋
(2)证明：∵左边＝33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋22ccooss2222AA－ －11 ＝(11－＋ccooss22AA)2＝(22csoins22AA)2＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边，
∴33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A．
半角公式的应用
(1)化简
1－cosα＋ 1－cosα－
1＋cosα 1＋cosα
＋
1＋sinα 3 1－sinα ( 2
π<α<2π)． (2)求证：1＋sin24taθn－θcos4θ＝1＋s1in－4θta＋n2cθos4θ. [思路分析] (1)在应用半角公式时，可适当进行变换．(2)
两边式子比较复杂，且角出现4倍角和单角，若直接证明较复
3 2.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域． [思路分析] 先求出a·b，再利用倍角公式及降幂公式将f(x)
化成Asin(ωx＋φ)＋k的形式，进而研究函数的性质．
[规范解答]
(1)f(x)＝sinxcosx－
3cos2x＋
3 2
＝12sin2x－ 23(cos2x＋1)＋ 23＝12sin2x－ 23cos2x