【秒杀大招】高中数学导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔! (1)
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数与构造函数是数学中非常重要的两个概念，它们可以帮助我们证明不等式，优化函数等问题。
接下来将分别介绍导数与构造函数在证明不等式时的技巧。
一、导数在证明不等式中的应用导数是函数的重要特征之一，它可以表示函数在某个点的变化率。
在证明不等式时，我们可以使用导数的性质来帮助我们证明某个不等式是否成立。
1. 利用导数判断函数在某个区间的单调性假设函数f(x)在区间[a,b]上具有一阶导数，则f(x)在区间[a,b]上为单调递增的条件是：f'(x)>0，而在区间[a,b]上为单调递减的条件则是：f'(x)<0。
如果我们需要证明某个不等式在某个区间上成立，可以通过证明函数的导数在该区间上的符号，从而得出原函数在该区间上的单调性，从而得出结论。
例如：证明当x>0时，e^x>x+1证明：考虑函数f(x)=e^x-x-1如果x>0，则f'(x)>0，因此函数f(x)在(0,∞)上单调递增。
又f(0)=e^0-0-1=0，因此当x>0时，f(x)>f(0)=0即e^x-x-1>0，即e^x>x+1。
2. 利用导数求函数的极值导数可以帮助我们求出函数的极值，例如函数的最大值和最小值。
如果我们需要证明某个不等式的最大值或最小值，可以通过推导函数的导数，找出函数的极值，从而得出结论。
f'(x)=2x-2/x^3，因此f(x)在x=1处取得极小值。
又因为当x>0时，x^2+1/x^2≥2 |x=1，因此当x>0时，x^2+1/x^2≥2。
3. 利用导数证明柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中的重要不等式之一，它可以用来计算向量的点积的上界。
柯西-施瓦茨不等式的表述为：对于任意两个n维实向量a和b，有|a·b|≤|a|·|b|其中a·b为向量a和b的点积，|a|和|b|为向量a和b的模。
高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法构造法
2012高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法（构造法）总的来说，高考中与不等式有关的大题（主要是证明题）一般常用均值不等式、构造函数后用导数工具解、裂项相消等常见放缩法来解决。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：以下的所有放缩法中裂项相消法、均值不等式法放缩、二项分布法放缩以及函数放缩法最常用必须掌握，所以要先看这些方法。
其他的方法，如果有精力的话可以了解一下。
如果真的掌握不了也足以应付高考。
一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 常用放缩技巧(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Trr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212191817161514131213131216533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
高考中利用导数证明不等式的一些策略
高考中利用导数证明不等式的一些策略1与lnx分开来考虑，即将f(x)分解为两个函数的和：f(x)=lnx+2ex-1.然后分别对这两个函数求导，得到f'(x)=1/x+2ex>0，说明f(x)在定义域上单调递增，且f(0)=1，因此f(x)>1成立。
评注：对于这种需要分离成两个函数的不等式，可以先观察不等式的特征，尝试将其分解为两个函数的和或差，然后分别对这些函数求导来证明不等式。
类型三、需要构造辅助函数的不等式1.利用辅助函数构造上下界例3（2016年全国卷1第23题改编）已知a,b,c>0，证明：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9分析：将(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)展开，得到a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b+3≥9.观察不等式中的每一项，可以发现这些项都可以表示为三个数的和，因此可以构造辅助函数f(x)=ln(x)+1/x-1，然后对f(x)求导，得到f'(x)=1/x^2-1，f'(x)>0当且仅当x1，因此f(x)在(0,1)和(1,∞)上分别是减函数和增函数。
接着，将a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b分别表示为f(ab)+f(ac)+f(bc)+3，然后应用均值不等式，得到f(ab)+f(ac)+f(bc)≥3f((abc)^(2/3))=3ln(abc)+3/(abc)^(2/3)-3.将此式代入原不等式中，得到3ln(abc)+3/(abc)^(2/3)≥6，即ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)≥2/3.再次利用辅助函数，构造g(x)=lnx+(1/3)x^(-2/3)-2/3，对其求导得到g'(x)=1/x-(2/9)x^(-5/3)，g'(x)>0当且仅当x9/4，因此g(x)在(0,9/4)和(9/4,∞)上分别是减函数和增函数。
由于a,b,c>0，因此abc>0，因此可将不等式中的abc替换为x，得到g(abc)≥0，即ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)-2/3≥0，即ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)≥2/3，因此原不等式成立。
高考中利用导数证明不等式的一些策略
高考中利用导数证明不等式的一些策略唐春晖/湖南省新田县第一中学【摘 要】本文从利用导数证明不等式的五种类型结合一些实例，介绍了一些既简单又易操作的通性通法.【关键词】函数与导数；不等式证明；构造法从多年的全国卷及多省自主命题的试卷来看，函数与导数作为压轴题像是已经成了永恒的真理，而其中频频涉及的“不等式证明” 让学生处理颇感困难，但不管问题的种类、解题的思想方法如何千变万化，究其精髓还是构造辅助函数, 将不等式证明转化为利用导数解决函数的单调性和最值问题.构造函数的过程要多用分析法去思考，并遵循一切从简的原则，这需要掌握变形的一些基本技巧，如：替换变量（换元法）、避免分式的出现、寻找符号已确定的式子、e x与lnx 的优先隔离、时刻记得数形结合等. 下面我从利用导数证明不等式的五种类型结合一些实例，介绍一些既简单又易操作的通性通法,供各位同仁探讨.类型一、可直接构造一个函数来证明的不等式例1 已知1->x 证明：1)1ln()1(1≥++x x 分析：可构造函数)1ln()1(1(x)++=x xf ，通过求)(x f 的导数来进行证明，但)('x f 的符号需要对其求二阶导数才能确定，如果构造函数1)1ln((x)+++=x xx f 就避免了这种麻烦.证明：欲证原不等式，即证01)1ln(≥+++x x x ，令1)1l n ()(+++=x x x x f ，则2'1)(）（+=x x x f ,0)(),0(;0)()0,1(''>+∞∈<-∈x f x x f x 时，当时，当即)(x f 在)0,-1(上为减函数，在),0(+∞上为增函数，故函数)(x f 在),1(+∞-上有≥)(x f 0)0()(min ==f x f ，即01)1ln(≥+++x xx , ∴1->x 时1)1ln()1(1≥++x x成立. 评注：此类问题一般先构造函数(x)f ,再由导数判断函数的单调性,最后求出最值来证明不等式.类似地，通过这种证法还可以得到教材上的很多重要的结论，如：,1ln 1x x e ex x x <<<-<-,1+>x e x 1x 1)-2(x ln +≥x )1(≥x ..sin x x <类型二、需隔离成两个函数的不等式1 . 若变量相同例2 （2014年全国卷1第21题改编）已知函数1)(,2ln (x)1>+=-x f xe x ef x x证明：分析：直接求导来证明，不仅求导困难，而且导数的符号难以判断，观察不等式的特征可将ex与lnx 进行隔离.证明：欲证1)(>x f ，只要证x e x e x x >+2ln ，令1ln )(02ln )('+=>+=x x g x ex x x g ，则，, ,0)(),1(;0)()1,0(''>+∞∈<∈x g ex x g e x 时，当时，当即)(x g 在)1,0(e 上为减函数，在),1(+∞e 上为增函数，故e e g x g x g 1)1()()(min ==≥令x x ex x h x e x x h -=>=1)(0)('，则，,,0)(),1(;0)()1,0(''<+∞∈>∈x h x x h x 时，当时，当即)(x h 在)1,0(上为增函数，在),1(+∞上为减函数，故eh x h x h 1)1()()(max ==≤ 又，于是有不同取得与e x h x g 1)()(x exe x x >+2ln 即1)(>x f 得证. 评注：一般情况下不等式中含有e x与lnx ，可优先考虑将它们进行隔离，转化成即可，求证的问题，然后利用导数max min )()()()(x h x g x h x g >>例2的原理如图1所示，但也有遇到无法隔离成这样的情况，我们 来看下面这个例子.例3 （2013年全国卷2第21题改编）0)2ln(>+-x e x 证明： 分析：本题可以采用构造一个函数来解决但无法采用例2的方法， 如果利用一些重要的结论就会把问题变得简单.证明：由结论1ln -<x x 及,1+>x e x 得),2ln(1+>+>x x e x即原不等式得证.评注：此证明方法的本质是利用函数)2ln(+==x y e y x与的公 切线1+=x y 进行了过渡.原理如图2所示.2. 若不等式两侧变量不同,则可分为以下三种情形情形1 max min 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x >⇔>∈∀∈∀,同理 min max 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x <⇔<∈∀∈∀.情形2 max max 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x >⇔>∈∀∈∃,同理 min min 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x <⇔<∈∀∈∃.情形3 min max 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x >⇔>∈∃∈∃,同理 max min 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x <⇔<∈∃∈∃. 这里不再举例说明.类型三、多元常数类不等式例4 当nm nm N n m m n mn>∈>>时，证明：),(1*分析：先用分析法寻找适当的函数，再用导数证明.证明：欲证n m nm mn >，只需证1ln 1ln ->-m m m n n n ,令,1,1ln )(>-=x x xx x f 则,)1(ln 1)(2'---=x x x x f 再令,1,ln 1)(>--=x x x x ϕ则0)(,1,1)(''>>-=x x xx x ϕϕ故）为增函数，，在（∞+1)(x ϕ于是 ,1)(,0)(,0)1()('）为增函数，在（∞+>=>x f x f x ϕϕ而1>>m n ，所以.),()(即原不等式得证m f n f > 例5 （2015年湖南省中学数学教师解题比赛高中组初赛试卷第16题）设+∈R ,,z y x ,且1=xyz .令xyz c z y x b z y x a 3,,333=++=++=.试将c b a ,,组成单调序列,并说明理由.分析：本题难点是证b a ≥,这是一个对称轮换不等式，这类不等式新课标中没有提及，在高考中已不太可能出现了，但是在自主招生或竞赛中可能会出现，这类不等式可以通过构造函数利用切线来证明，这就是所谓切线法证明不等式.证明：令)1(2),1(2)0,1()(,,)(33-≥--=∈-=+x x x x y x f R x x x x f 于是的切线为在点易求所以，0)33(2)3(2)()(3333=-≥-++≥++-++=-xyz z y x z y x z y x b a ，于是b a ≥,而.刚才已证c b ≥综上有.c b a ≥≥评注：例4，例5都是构造函数，一个是利用了函数的单调性，一个是利用切线来进行证明，类似地，还有很多，如：1.已知：.e n m >>求证：n m m n >.（提示：来进行证明可构造函数xxx f ln )(=） 2.已知： 210x x <<，求证：nnn x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+222121（提示：凹凸性来进行证明并通过求其二阶导判断构造函数)()(x f x x f n =） 3.已知：,1021ln )(≤≤≤++=a b x x x f ，求证：2)()(34<--<ba b f a f （提示：理来进行证明也可用拉格朗日中值定来进行证明与可构造函数,34)()(2)()(x x f x h x x f x g -=-=）类型四、与数列相关的不等式例6 143)1ln()(->+-+=x x xx x f ，已知函数 )141...1319151(3)1ln()2(0)()1(+++++>+>n n x f 证明：证明： 分析：第一问略，第二问可利用第一问结论进行证明. 略证：由(1)令143)1ln(1+>+=n n n n x 得，左边展开累加可得)141...1319151(3)1ln(+++++>+n n 评注：这一类问题在高考中一般须注意前一问的结论，观察结构特征利用替换构造，在2010年、2011年高考各省自主命中出现得比较多，而且难度比较大，例如(下列各题前一问结论已直接给出)：1.证明：11211ln 13121-+++<<+++n n n (利用结论n x x x x x 1)1ln(1=<+<+，并令)2.证明：）（4211+）（4311+）（411n+ e <(e 为自然对数，*N n ∈，2≥n ). (提示：变形累加放缩得证并令）（利用结论210,1l 2x x x x x n =><+)3.1111ln(1)(1)232(1)n n n n n +++⋅⋅⋅+>++≥+证明：(提示：变形累加得证并令）（利用结论nn x x x x x 1)1(ln 121+=≥≥-）4.证明：①当2x >时，ln(1)2x x -<-；②*1ln (1)(,1)14ni i n n n N n i =-<∈>+∑. (利用结论变形累加得证并令21ln n x x x =-<)5. 证明： 121()()()()(*)1n n n n n n en n n n n e -++⋅⋅⋅++<∈-N 其中. (利用结论变形累加得证并令nkx e x x -=<+1)类型五、需消元再构造函数的不等式例7 （2016年永州市高三二模第21题）已知函数x e ax x f -=2)(有两个极值点m,n 求证：m+n>2 分析：由已知消去a 得到m+n 与m-n 的关系，再构造函数证明.证明：由x e ax x f -=2)(得x e ax x f -=2)(‘，所以n m n m e e n m a e an e am +=+==)(2,2,2于是有，nme e n m a -=-)(2，消去a 得)(11n m e e n m n m n m -+=+--—，令n m n m t >-=这里不妨设,t e e n m t t ⋅+=+11—则，欲证m+n>2，只需证02)2(>++-t e t t ,2)2()(++-=t e t t t ϕ令,则1)1()('+-=t e t t ϕ,0)(''>=t te t ϕ,0)0()()('''=>ϕϕϕt t 为增函数，,0)0()()(=>ϕϕϕt t 为增函数， 即02)2(>++-t e t t ，也就是m+n>2.评注：此类题型含有参数并与零点或极值有关问题出现,只要消去参数，构造函数即可，又如： 一道只要稍加改造就能变成另外对数原出于指数，证明的两个不同零点为,2:,,)(>+-=n m n m ae x x f x 下一例题对数型函数题型，请看.例8 已知函数ax x x f -=ln )(有两个零点m,n 求证：2ln 1ln 1>+nm . 分析：采用类似于例7的方法.明证：由m,n 为函数ax x x f -=ln )(的两个零点得an n am m ==ln ,ln ，)(ln ln ),(ln ln n m a n m n m a n m -=-+=+，mn a n m 2ln ln =,这里不妨设m>n>0nm m n n m nm n m mn n m amn n m n m n m n m ln ln ln ln ln ln ln ln 1ln 1-=--⋅+=+=+=+于是, 欲证2ln 1ln 1>+nm ，只需证0ln 2<+-m n n m n m令1,0,>>>=t n m n m t 这里01ln 2<+-tt t 则只需证， t t t t 1ln 2)(+-=ϕ令,则0)1()(22'<--=t t t ϕ, 0)1()()(=<ϕϕϕt t 为减函数，, 即0ln2<+-m n n m n m ，所以2ln 1ln 1>+nm . 评注：这里重点仍然是消参变形，又如：)ln ()2(23)(23x x x a x a x x f ----=有两个极值点m,n,且m>n>0,求证：0)2('>+nm f ，消参后要注意为了使所证函数变得简洁，一定要记得本文开头所说的那几点.以上只是个人在近些年解题中的一些粗浅的看法，导数证明不等式的题型还有很多，如：变量多次转换问题、单峰函数的广义对称问题等.总而言之，本人认为函数与导数中的不等式证明题中绝大部分是通过构造函数，并需要导数知识，需要考虑构造几个函数、变量是否相同、是否需要切线过渡、分析法思考如何变形使构造的函数变得简洁等，值得注意的是我们要让数形结合的思想贯穿于解题的始终.参考文献：[1]彭海燕.导数证明不等式中构造函数的策略[期刊论文] .中学数学月刊.2006( 2)[2]曾凡祥.分类例说利用导数证明函数不等式[期刊论文] .试题与研究：新课程论坛. 2012 (14) [3]贺云昊.函数与导数题中不等式的证明方法[期刊论文] .科学时代 2013(6) [4]冯中秋.利用导数证明不等式的方法[期刊论文].新课程 .中学.2015(6)。
高中数学：利用导数证明不等式的常见题型
利用导数证明不等式的常见题型题型一构造函数法把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值的问题，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是利用导数证明不等式的关键.这四道题比较简单，证明过程略.概括而言，这四道题证明的过程分三个步骤：一是构造函数；二是对函数求导，判断函数的单调性；三是求此函数的最值，得出结论.【启示】证明分三个步骤：一是构造函数；二是对函数求导，判断函数的单调性；三是求此函数的最值，得出结论。
题型二通过对函数的变形，利用分析法，证明不等式【启示】解答第一问用的是分离参数法，解答第二问用的是分析法、构造函数，对函数的变形能力要求较高，大家应记住下面的变形：题型三求最值解决任意、存在性变量问题解决此类问题，关键是将问题转化为求函数的最值问题，常见的有下面四种形式：题型四分拆成两个函数研究【注意】(2)如果按题型一的方法构造函数求导，会发现做不下去，只好半途而废，所以我们在做题时需要及时调整思路，改变思考方向.【启示】掌握下列八个函数的图像和性质，对我们解决不等式的证明问题很有帮助，这八个函数分别为要求会画它们的图像，以后见到这种类型的函数，就能想到它们的性质题型五设而不求当函数的极值点（最值点）不确定时，可以先设出来，只设不解，把极值点代入，求出最值的表达式而证明.【启示】设而不求，整体代换是一种常用的方法，在解析几何中体现很多.在本例第（2）问中，只设出了零点而没有求出零点，这是一种非常好的方法，同学们一定要认真体会，灵活应用.题型六估值法题型七利用图象的特点，证明不等式题型八证明数列不等式题型九利用放缩法证明不等式【注意】在解决第（2）问时，用构造函数法证不出来，又试着分开两个函数仍然不行，正当我一筹莫展时，忽然想到与第一问题的切线联系，如果左边的函数的图像在切线的上方，右边函数的图像在切线的下方，这样问题不就得证了吗？心里非常高兴，马上付诸行动。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!导数中的不等式证明导数中的不等式证明是高考中的一个经典考点。
由于不等式证明的灵活性和多样性，该考点备受命题者的青睐。
本文将从五个方面系统地介绍一些常规的不等式证明手段。
命题角度1：构造函数典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数$f(x)=1-\ln x+\frac{e}{x}$，$g(x)=x-\frac{e}{x}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
解析】（1）$a=b=-1$；2）$g(x)=-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{ e}{2\ln x}-\frac{x}{2}+\frac{e}{2x}\leq1$。
令$h(x)=f(x)+g(x)-\frac{2}{x}$，则$h(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\ln x-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$h'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2}+\frac{1}{2}-\frac{e}{2x^2}$，$h''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{3e}{x^3}+\frac{2e}{x^3}$。
凹凸反转证明导数不等式
凹凸反转证明导数不等式在微积分中，导数是一个非常重要的概念。
它表示了函数在某一点上的变化率。
而导数不等式则是指导数在某一区间上的性质，可以帮助我们判断函数在该区间上的增减情况。
本文将通过凹凸反转的方法来证明导数不等式。
我们来定义一下什么是凹函数和凸函数。
在数学中，一个函数被称为凹函数，如果它的图像位于其切线的下方。
而一个函数被称为凸函数，如果它的图像位于其切线的上方。
这两个概念是导数不等式证明中的重要基础。
假设有一个函数f(x)，我们想要证明它在某一区间上是单调递增的。
首先，我们需要证明它在该区间上是凹函数。
我们可以通过证明它的二阶导数大于等于零来得到结论。
假设f''(x)≥0，根据凹函数的定义，我们可以得出f(x)是凹函数。
接下来，我们考虑函数g(x)=-f(x)，即f(x)的相反数。
我们可以证明g(x)是凸函数。
同样地，我们可以通过证明g''(x)≥0来得出结论。
由于g(x)为f(x)的相反数，所以g''(x)=-f''(x)≥0。
根据凸函数的定义，我们可以得出g(x)是凸函数。
现在，我们来观察f(x)和g(x)在同一区间上的关系。
由于f(x)是凹函数，而g(x)是凸函数，所以它们的图像一定相交于某一点P。
在点P处，f(x)的导数和g(x)的导数相等，即f'(x)=g'(x)。
我们可以根据这个等式来推导导数不等式。
假设在点P的左侧，f'(x)>g'(x)，即f'(x)-g'(x)>0。
根据导数的定义，f'(x)-g'(x)表示函数f(x)和g(x)在该点的斜率之差。
由于f'(x)是f(x)的斜率，而g'(x)是g(x)的斜率，所以这个差值表示了两个函数的斜率的差异。
如果f'(x)-g'(x)>0，那么f(x)的斜率一定大于g(x)的斜率。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中非常重要的概念，它是函数在某一点的变化率，也可理解为函数在该点的切线斜率。
在证明不等式中，有时可以通过求导来探究函数的性质，从而得到不等式。
构造函数也是证明不等式的常用技巧之一。
通过巧妙地构造函数，可以得到满足特定条件的变量之间的不等式，进而推导出原问题的不等式。
下面，我们将详细介绍导数和构造函数在证明不等式中的应用。
一、导数在证明不等式中的应用在微积分中，导数被称为函数的铁证，因为它可以准确描述出函数在某一点附近的性质。
在证明不等式时，导数也可以起到很好的作用。
1. 求导探究函数的特性如果一个函数在某一区间内是严格单调递增或严格单调递减的，那么这个函数在该区间内的大小关系也就确定了。
因此，我们可以通过求导来探究函数的单调性，进而得出函数的大小关系。
例如，我们要证明当$x>0$时，$e^x>1+x$。
此时我们可以定义函数$f(x)=e^x-(1+x)$，然后求$f(x)$的导数，即$ f'(x)=e^x-1$。
根据导数的定义可知，当$f'(x)>0$时，$f(x)$单调递增；当$f'(x)<0$时，$f(x)$单调递减。
因此，我们只需要证明在$x>0$时，$f'(x)>0$即可。
显然，$e^x>1$，因此$f'(x)=e^x-1>0$，即$f(x)$单调递增。
由于$f(0)=0$，因此当$x>0$时，$f(x)>0$，即$e^x-(1+x)>0$，也就是$e^x>1+x$。
2. 利用中值定理证明不等式中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明如果一个函数在某一区间内满足一定的条件，那么这个函数在该区间内至少有一点的导数等于这一区间的函数增量的比率。
在证明不等式时，我们可以用中值定理来探究函数的性质。
$$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{1}{x}$$可以发现，$f'(x)<0$当且仅当$x>\sqrt{2}$，因此我们只需要证明当$x>\sqrt{2}$时，$f(x)>0$。
导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔(三)
-1-
②若 a 0 ，如图，总有 x3 x1 ，欲使 x4 x2 ，亦即
1 4a 9 a 1 a 2 2a 9 ， 2 2
所以 4a 9 a a 2 2a 9 ，即 0 4 a 9 a a 2 2 a 9 ， 两边平方，化简可得 4a 9 1 ，所以 a 2 .
命题角度 5
函数凹凸性的应用
【典例 10】（2018 届合肥三模）已知函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，函数 g x x 2 a 1 x 2 有 零点 x3，x4 ，且 x3 x1 x4 x2 ，则实数 a 的取值范围是
结合函数图象，欲使 x3 x1 x4 x2 ，则 2 a 0 ，所以实数 a 的取值范围是 2， 0 .正确答案为 C. 思路 4 ： （特例法）令 a 2 ，则函数 f x x 2 x 有零点 x1 =0，x2 1 ，函数 g x x 2 x 2 有零点
【评注】 同理，g x3 f x3 a 1 x3 0 a 1 x3 ，g x4 f x4 a 1 x4 0 a 1 x4 ， 所以 x3 1 x4 ，
0 . 故 g 1 a 2 0 ，即 a 2 ，所以实数 a 的取值范围是 2，
0 .正确答案为 C. 所以实数 a 的取值范围是 2，
思路 3：因为函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，
所以 x 2 x 2 a 的解分别为 x1，x2 ， 因为函数 g x x 2 a 1 x 2 有零点 x3，x4 ， 所以 x 1 a 的解分别为 x3，x4 ， 令 h x x 2 x 2,u x x 1 ，两个函数的交点的坐标分别为 1,0 , 1, 2 , 2,0 ，如图所示，
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数与构造函数是微积分中的重要概念，它们在证明不等式中起着重要作用。
本文将介绍一些导数与构造函数在证明不等式中的技巧，并通过具体的例子来加深理解。
1. 利用导数的性质进行不等式证明在证明不等式时，可以通过导数的性质来进行推导。
当需要证明一个函数在某个区间上单调递增或单调递减时，可以通过求导数并分析导数的正负性来进行证明。
假设一个函数f(x)在区间[a, b]上可导，求出其导数f'(x)并分析f'(x)的正负性，如果f'(x)恒大于零，那么函数f(x)在区间[a, b]上就是单调递增的；如果f'(x)恒小于零，那么函数f(x)在区间[a, b]上就是单调递减的。
通过这种方法，可以利用导数的性质来证明函数的单调性质，从而进一步推导出不等式。
2. 构造函数进行不等式证明构造函数是指通过一些技巧将原函数进行变形，从而更好地应用各种数学性质来进行不等式证明。
当需要证明一个不等式时，可以通过构造一个辅助函数来简化原不等式的证明过程。
通过巧妙地构造函数，可以使得不等式的证明更加直观、简单。
例1：证明当x>0时，有e^x>1+x。
解：可以通过在函数f(x) = e^x - (1+x)上应用导数的性质来证明这个不等式。
求导数得f'(x) = e^x - 1，显然f'(x)恒大于零，因此f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。
又当x=0时，有f(0) = e^0 - (1+0) = 0，因此在区间(0, +∞)上有f(x)>0，即e^x>1+x。
通过导数的性质，成功证明了不等式e^x>1+x。
通过以上两个例子，可以看到导数与构造函数在不等式证明中的重要作用。
通过分析导数的性质以及巧妙地构造辅助函数，可以更好地理解、应用和证明各种不等式。
在实际的数学问题中，通常会遇到各种复杂的不等式，通过灵活运用导数与构造函数的技巧，可以更加轻松地解决这些问题。
利用导数证明不等式——构造法证明不等式
利用导数证明不等式——构造法证明不等式构造法又称作图法，是一种利用几何图形来论证不等式的方法。
这种方法通常比较直观，易于理解和应用。
本文将利用导数和构造法相结合的方法来证明一些不等式。
首先，我们将考虑最简单的一类不等式，即严格单调递增函数和递增不等式。
假设函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，即对于任意的x1,x2属于[a,b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
现证明对于任意的x1,x2属于[a,b]，且x1<x2，有f'(x1)<f'(x2)。
证明：根据导数的定义，函数f(x)在点x1到x2之间的平均变化率即为[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]。
由于f(x)是单调递增函数，所以f(x2)>f(x1)，且x2-x1>0。
因此，平均变化率[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]大于0。
根据拉格朗日中值定理，存在一个c属于(x1,x2)，使得f'(c)=[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]。
由于f'(c)>0，所以f'(x1)<f'(x2)。
接下来，我们将应用构造法来证明一些不等式。
以求解函数的最值为例，说明构造法证明不等式的基本思路。
假设我们要证明不等式f(x)>=k，其中k是常数。
首先，我们可以在坐标系中画出函数f(x)的图像。
然后尝试找到这个函数的极值点，并计算这些极值点处函数的取值。
如果我们发现函数在一些极值点处的取值大于k，那么我们可以断定不等式f(x)>=k是成立的。
举例说明，假设我们要证明函数f(x)=x^2>=0对于所有的实数x成立。
我们可以考虑函数g(x)=x^2-k（k>0），并尝试找到g(x)的极值点。
由于g(x)=x^2-k是一个二次函数，它的顶点坐标即为极值点。
顶点的横坐标为x=0，纵坐标为y=-k。
因此，函数g(x)的图像是一个开口向上的抛物线，它的顶点在y轴的负半轴上，纵坐标小于0。
导数中证明不等式技巧——构造切线放缩二元变量凹凸反转唯手熟尔!
导数中证明不等式技巧——构造切线放缩二元变量凹凸反转唯手熟尔!在导数中证明不等式时，我们可以运用一些技巧来简化证明过程。
以下是几种常用的技巧：1.构造法：构造一个函数，使其导数的符号与要证明的不等式的符号相同。
例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以构造一个函数$h(x)=f(x)-g(x)$，然后证明$h'(x)>0$。
这样，当$h'(x)>0$时，$h(x)$就递增，从而$f(x)-g(x)$也递增，即$f(x)>g(x)$。
2.切线放缩法：通过构造一个切线来放缩函数。
例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以找到函数$f(x)$在其中一点处的切线，然后利用切线的性质来证明不等式。
具体地，找到函数$f(x)$在其中一点$x_0$处的切线$y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$，然后证明$h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)>g(x)$成立。
3.二元变量法：将不等式中的一些变量表示为另一个变量的函数，然后对新的不等式进行处理。
例如，对于$f(x)>g(x)$，我们可以将其中的一个变量表示为另一个变量的函数，例如$x=h(y)$，然后将不等式转化为$F(y)>G(y)$的形式进行证明。
4.凹凸反转法：利用函数的凹凸性质来证明不等式。
例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以证明$-f(x)<-g(x)$，然后利用函数的凹凸性质，通过证明$-f(x)$是凸函数，而$-g(x)$是凹函数，从而得到$-f(x)<-g(x)$成立。
最后，无论采用哪种技巧，熟练掌握基本的导数计算和不等式性质是非常重要的。
只有通过大量的练习，加深对导数和不等式的理解，才能真正掌握这些技巧，并在实际应用中灵活运用。
高考数学助手：导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转
高考数学助手：导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转
导数中不等式的证明是历年的高考中一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
今天将会通过五个方面系统的介绍一些常规的不等式的证明手段。
总的来说：
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
这五种命题角度，五种解题方法，同学们一定要会呢！导数在高考中占的比重还是挺大的！。
高等数学中导数证明不等式的几种方法
（ ２ ） 若在区间 ａ ， ｂ ） 内 厂 （ ） ＜ ０ ， 那 么 函数 ｆ （ ｘ ） 区
间ａ ， ｂ 】 上是单调减 函数 。
例 １ 试证 ： 当ｘ ＞ ｌ时 ， ＞ ｅ ｘ ．
★收稿 日期 ： ２ ０ １ ７ － － ０ ５ — ０ １ 作者 简介 ： 葛喜芳 （ １ ９ ７ ９ 一 ） ， 女， 浙江杭州人 ， 讲师， 硕士 ， 研究 方向 ： 数 学教学 基金项 目： 浙江省 ２ ０ １ ５年度 高等教育课堂教学改革项 目（ ｋ ｇ ２ ０ １ ５ ９ ６ ０ ） ．
２ ０ １ ７年第 ３ 期 安 徽 电子 信 息 职业 技 术 学 院 学 报 Ｎ ０ － ３ ２ ０ １ ７ 第 １ ６卷（ 总第 ９ Ｏ 期）Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ａ Ｎ Ｈ Ｕ Ｉ Ｖ Ｏ Ｃ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ Ａ Ｌ Ｃ Ｏ Ｌ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ Ｏ Ｆ Ｅ Ｌ Ｅ Ｃ Ｔ Ｒ Ｏ Ｎ Ｉ Ｃ Ｓ ＆ Ｉ Ｎ Ｆ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｏ Ｌ Ｏ Ｇ Ｙ Ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ Ｎ ｏ ． ９ ０ Ｖ ｏ １ ． １ ６
文 献标识 码 ： Ａ
一
、
引 言
证
令 Ｆ （ ） ＝ 一 既， 当ｘ ＞ ｌ时 ， Ｆ （ Ｘ ） ＝ ｅ ｘ 一 ，
高等数学学 习中经 常会 遇到各种各样 的不等
式， 且 题型 广泛 、 涉 及 面广 ， 做 法 也是 多种 多样 。 选 择
所以Ｆ （ ） 是（ １ ， ＋ ｏ 。 ） 内的单调 递增 函数 ．
又Ｆ （ １ ） ＝ ｅ ｘ — ｅ ｘ ， 所 以ｘ ＞ ｌ时 ， Ｆ （ ） ＞ ０ ， 即ｅ ＞ ｅ ｘ ．
合适 的方法证明不等式是教学中的难点 ， 也是重点 。
导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转
导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】（皖南八校2018届高三第三次联考）若均为任意实数，且,,x a b ，则的最小值为()()22231a b ++-=()()22ln x a x b -+-.A .18B .1C .19D -【解析】由于均为任意实数，且，所以动点到定点,a b ()()22231a b ++-=(),P a b ()2,3C -的距离为定值1，亦即动点的轨迹是以(),P a b 为圆心，半径的圆，()2,3C -1r =表示与动点(),P a b 的距离，而的轨迹是曲线(),ln Q x x (),ln Q x x，ln y x =如图，，当且仅当共线，1PQ CQ PC CQ ≥-=-,,C P Q 且点在线段上时取等号，以为圆心作半径为的圆P CQ C r 与相切，切点是，此时的公切线与半径ln y x =(),ln Q x x 垂直，，即，结合函数 ln 3112x x x-⋅=-+()()ln 13x x x =--+与的图象可知，所以，ln y x =()()13y x x =--+()1,0Q 11PQ CQ PC CQ ≥-=-≥故的最小值为.正确答案为D .()()22ln x a x b -+-()2119=-【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题.【变式训练】（2018年湖北省高三4月调考）设，其中2D a =+，则的最小值为2.71828e ≈D.A .B .1C .1A +【解析】表示点与点之间的距离，而(),x P x e (Q a PQ点的轨迹是曲线，点的轨迹是曲线， (),x P x e x y e =(Q a ()240y x y =≥如图所示，又点到直线的距离为， (Q a 0x =a 自然想到转化为动点到抛物线准线的距离，Q 1x =-结合抛物线的概念可得2D a =+，所以，当且仅当共线，11PQ QH PQ QF =++=++11D PQ QF PF =++≥+,,P Q F又以为圆心作半径为的圆与相切，切点是，此时的公切线与半径垂直，F r x y e =(),x P x e ，即，所以，故.正确答案为C . 11xx e ex ⋅=--0x =min PF =min 1D =【能力提升】（2018年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意，不0,b a R >∈等式恒成立，则实数的最大值为()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦m 【答案】..A .2B .C e .3A B 命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数，曲线在点()2ln f x x ax b x =++()y f x =处的切线方程为.()()1,1f 2y x =（1）求实数的值；,a b （2）设分别是函数的两个零点，求()()()()21212,,0F x f x xmx m R x x x x =-+∈<<()F x 证：.0F '<【解析】（1）；1,1a b ==-（2），，， ()2ln f x x x x =+-()()1ln F x m x x =+-()11F x m x'=+-因为分别是函数的两个零点，所以，12,x x ()F x ()()11221ln 1ln m x x m x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得，1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F mx x -'=+-=-要证明，只需证.0F '<1212ln ln x x xx -<-思路一：因为，只需证.120x x <<1122ln ln ln 0x x x x ->⇔>令，即证.()0,1t =12ln 0t t t-+>令，则，()()12ln 01h t t t t t=-+<<()()22212110t h t t t t -'=--=-<所以函数在上单调递减，，即证.()h t ()0,1()()10h t h >=12ln 0t t t-+>由上述分析可知.0F '<【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把转化为的函数，12,x x t 常把的关系变形为齐次式，设等，构造函数来解决，12,x x 12111222,ln ,,x x x xt t t x x t e x x -===-=可称之为构造比较函数法.思路二：因为，只需证， 120x x <<12ln ln 0x x ->设，则())22ln ln 0Q x x x x x =-<<， ()110Q x xx '====<所以函数在上单调递减，，即证. ()Q x ()20,x ()()20Q x Q x >=2ln lnx x ->由上述分析可知.0F '<【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于（或）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，1x 2x 达到待证不等式的证明．此乃主元法.思路三：要证明，只需证0F '<1212ln ln x xx x -<-即证，由对数平均数易得.1212ln ln x x x x ->-【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.【知识拓展】对于，则，其中称之为对0,0,a b a b >>≠2ln ln a b b a b a +->-ln ln b ab a--数平均数.简证如下：不妨设，只需证明即可，即()1b ax x =>112ln x x x+->>（下略）. ()21ln 1x x x -<+【典例8】（A 10联盟2018年高考最后一卷）已知函数.()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈（1）当时，方程在区间上有两个不同的实数根，求的取值0b =()()0f x g x +=()0,+∞a 范围；（2）当时，设是函数两个不同的极值点，0a b =>12,x x ()()()F x f x g x =-证明：. ()12ln 22x x a +<【解析】（1）因为，所以，即，()()0f x g x +=20xe ax +=2xe a x-=设，则，()()20xe h x x x=>()()32xx e h x x -'=所以在上单调递减，在上单调递增，()h x ()0,2()2,+∞，当时，，当时，，()()224e h x h ≥=0x →()h x →+∞x →+∞()h x →+∞要使方程在区间上有两个不同的实数根，则，解得()()0f x g x +=()0,+∞24e a ->，24e a <-故的取值范围是；a 2,4e ⎫⎛-∞-⎪ ⎝⎭【一题多解】本题也可以变形为，转化为过原点的直线与函数x e ax x =-y ax =xe y x=-图象有两个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.（2）由题意，，， ()2x F x e ax ax =--()2x F x e ax a '=--因为是函数两个不同的极值点，12,x x ()()()F x f x g x =-不妨设，，即，12x x <()()120,0F x F x ''==121220,20x x e ax a e ax a --=--=两式相减得.12122x x e e a x x -=-要证，即证明，()12ln 22x x a +<1222x x e a +<只需证，即，亦即. 1212212x x x x e e ex x +-<-12122121x x x x e e x x ---<-()121221210x x x x x x e e ----+>令，只需证当时，不等式恒成立， 1202x x t -=<0t <2210t t te e -+>设，则()()2210t t Q t te e t =-+<，()()()221221t t t t Q t t e e e t e '=+-=+-易证，所以，()10t t e t +<<()0Q t '<所以在上单调递减，，即.()Q t (),0-∞()()00Q t Q >=2210t t te e -+>综上所述，成立. ()12ln 22x x a +<【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题. 【典例9】（2018届合肥三模）已知函数有两个极值点 (e 为自然()212x f x e x ax =--12x x ，对数的底数).（1）求实数的取值范围； a（2）求证：.()()122f x f x +>解析：（1）由于，则，()212x f x e x ax =--()x f x e x a '=--设，则. ()()x g x f x e x a '==--()1x g x e '=-令，解得.()10x g x e '=-=0x =所以当时，；当时，. () 0x ∈-∞，()0g x '<()0,x ∈+∞()0g x '>所以.()()min 01g x g a ==-当时，，所以函数单调递增，没有极值点；1a ≤()()0g x f x '=≥()f x 当时，，且当时，；当时，1a >()min 10g x a =-<x →-∞()g x →+∞x →+∞.()g x →+∞此时，有两个零点，不妨设，则， ()()x g x f x e x a '==--12x x ，12x x <120x x <<所以函数有两个极值点时，实数的取值范围是；()212x f x e x ax =--a ()1,+∞【答案速得】函数有两个极值点实质上就是其导数有两个零点，亦即函数()f x ()f x '与直线有两个交点，如图所示，显然实数的取值范围是.x y e =y x a =+a ()1,+∞（2）由（1）知，为的两个实数根，，在上单调12x x ，()0g x =120x x <<()g x () 0-∞，递减.下面先证，只需证. 120x x <-<()()210g x g x -<=由于，得，()2220x g x e x a =--=22x a e x =-所以.()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+设，则， ()()20x x h x e e x x -=-+>()120x x h x e e'=--+<所以在上单调递减， ()h x ()0 +∞，所以，，所以.()()00h x h <=()()220h x g x =-<120x x <-<由于函数在上也单调递减，所以. ()f x ()1 0x ，()()12f x f x >-要证，只需证，()()122f x f x +>()()222f x f x -+>即证.222220x x e e x -+-->设函数，则. ()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，()2x x k x e e x -'=--设，则，()()2x x x k x e e x ϕ-'==--()20x x x e e ϕ-'=+->所以在上单调递增，，即. ()x ϕ()0+∞，()()00x ϕϕ>=()0k x '>所以在上单调递增，. ()k x ()0+∞，()()00k x k >=故当时，，则，()0x ∈+∞，220x x e e x -+-->222220x x e e x -+-->所以，亦即.()()222f x f x -+>()()122f x f x +>【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移，依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的，如果“脑中有‘形’”，如图所示，并不难得120x x <-<出.。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧证明不等式的技巧和导数有关的主要有两个方面：一是利用导数的性质来求极值，二是利用导数的中值定理来证明不等式。
一、利用导数的性质来求极值1. 极值的存在性：如果函数在开区间(a,b)上连续，在闭区间[a,b]上可导，并且在区间内部有两个不同的点x1和x2使得f'(x1)和f'(x2)异号，则在(a,b)内存在至少一个点c，使得f(c)取得极值。
这个性质可以通过把函数图像在区间内部画出来来直观地理解。
2. 极值的判定条件：设函数f在开区间(a,b)内可导，如果f'(x)在点x=c处为0或者不存在，且f'(c)在从c的左侧和右侧分别取有限不等的符号，则f(c)为极值点。
如果f'(c)在从c的左侧和右侧分别取相等的符号，则f(c)不是极值点。
3. 极值的求解方法：求解极值有两种方法，一种是使用判定条件找到可能的极值点，然后对极值点进行求导计算；另一种是直接对函数进行求导计算，然后通过对导数方程求解，找到可能的极值点。
二、利用导数的中值定理来证明不等式导数的中值定理是数学中一个非常重要的定理，它的表述是：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这个定理可以用来证明一些不等式的性质。
利用导数的中值定理来证明不等式的基本步骤如下：1. 将不等式转化为两个函数的差值形式，即设函数g(x)=f(x)-h(x)，其中f(x)和h(x)是要证明不等式的两个函数。
2. 判断g(x)在[a,b]上的连续性和在(a,b)内的可导性。
3. 在(a,b)内找到一个点c，使得g'(c)=(f(c)-h(c))/(b-a)。
4. 根据g(x)的符号来确定f(x)和h(x)之间的关系，进而证明不等式的成立。
高中数学：掌握这7种函数构造方法，巧解导数难题！
近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注： 本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注： 本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注： 本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
导数证明不等式的几个方法
导数证明不等式的几个方法
1、直接利用题目所给函数证明（高考大题一般没有这么直接） 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有
x x x ≤+≤+-)1ln(1
11
如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可
2、作差构造函数证明 已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33
2)(x x g =的图象的下方；
构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。
3、合理换元后构造函数可大大降低运算量以节省时间
（2007年，山东卷）
证明：对任意的正整数n ，不等式321)1ln(n n n n ->+ 都成立.
4、从特征入手构造函数证明
若函数y=)(x
(x
f恒成立，且常
f >－)
f在R上可导且满足不等式x)(x
数a，b满足a>b，求证：．a)(a
f
f>b)(b
几个构造函数的类型：
5、隔离函数，左右两边分别考察。
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如图所示，又点 Q a,2 a 到直线 x 0 的距离为 a ，
自然想到转化为动点 Q 到抛物线准线 x 1 的距离，
结合抛物线的概念可得 D
x a2
ex 2
a
2
a 2
PQ QH 1 PQ QF 1 ，所以 D PQ QF 1 PF 1 ，当且仅当 P,Q, F 共线，
bn
1
n n 1
，
-2-
慧学上进
所以只需证明
an
n
1
1 n
2
ln2
n 1 n
bn
n
1
n 1
.
由（1）知 a 1 时，有 x ln x x 1 ，即 ln x x 1 . x
令
x
n
n
1
1
，则
ln
n
n
1
n
1
1
，
所以
ln2
n 1 n
n
1
12
n
1
1 n
2
1 n 1
n
1
2
，
所以 ln2 2 ln2 3 ln2 n 1 1 1 n ；
命题角度 1 构造函数
【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数
f
x 1
ln x , g(x) x
ae ex
1 x
bx
，若曲线
y
f
x 与曲
线 y g x 的一个公共点是 A1,1 ，且在点 A 处的切线互相垂直．
（1）求 a,b 的值；
（2）证明：当 x 1 时， f x g(x) 2 ．
缩法进行放缩解决问题.
命题角度 4 二元或多元不等式的解证思路 【典例 6】（皖南八校 2018 届高三第三次联考）若 x, a,b 均为任意实数，且 a 22 b 32 1 ，则
x a2 ln x b 2 的最小值为
A. 3 2
B. 1 8
C. 3 2 1
D. 1 9 6 2 -5-
ln2
n 1 n
n
1
n 1
，
所以对数列
an ,
ln 2
n
n
1
,
bn
分别求前
n
项的和，得
n 2n
4
ln2
2
ln2
3 2
ln2
n
1 n
n
n 1
.
【思路总结】待证数列不等式的一端是 n 项之和（或积）的结构，另一端含有变量 n 时，可以将它们
分别视为两个数列的前 n 项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系
2 ex
2 ex2
，即证 1
x
x ln
xln x
1
1
1 e2
x
，
令 g x 1 x x ln x ，则 gx 1 ln x 1 2 ln x ，
当0
x
1 e2
时，
gx
0
，当
x
1 e2
时，
gx
0
，
所以函数
g
x
在
0,
1 e2
上单调递增，在
1 e2
,
上单调递减，
g
x
1
1 e2
2 e2
x
【解析】（1） f x ex x2 ， f x ex 2x ，
由题设得 f 1 e 2, f 1 e 1 ，
所以曲线 f x 在 x 1处的切线方程为 y e 2x 1 e 1 ，即 y e 2 x 1；
（2）令 g x f x ，则 gx ex 2 ，
当 x ln 2 时， gx 0 ，当 x ln 2 时， gx 0 ，
y e 2 x 1 的上方.
先证明当 x 0 时， f x e 2 x 1 .
设 h x f x e 2x 1x 0 ，则 hx ex 2x e 2,h x ex 2 ，
当 x ln 2 时， hx 0 ，当 x ln 2 时， hx 0 ，
所以 hx 在 0,ln 2 上单调递减，在 ln 2, 上单调递增，
PQ CQ PC CQ 1 3 2 1 ，
故 x a2 ln x b2 的最小值为
3
2
2 1 19 6
2 .正确答案为 D.
【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化
为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题.
【变式训练】（2018 年湖北省高三 4 月调考）设 D
2
n 2 n 2 2n 4
再证明
ln2
n
n
1
n
1
n 1
，亦即
ln
n
1 n
1， n n1
因为 ln n 1 2ln n 1 ， 1 n 1 n n 1 n ，
n
n
n n1 n n1 n n1
所以只需证 2ln n 1 n 1 n ，
n
n n 1
现证明 2ln x x 1 x 1 .
故函数 g(x) 在 2, 上单调递增，
又 g(0) 0 ，所以当 x ,0 时， g(x) 0 ，当 x 0, 时， g(x) 0 ，
所以函数 g(x) 在区间 ,0 上单调递减，在区间 0, 上单调递增，
故 g(x) g(0) 0 ，即 x 1 ex 1 x mx 2 x .
的证明.
【典例
4】（安徽省安庆市
2018
届重点中学联考）已知函数
f
x
2ln x ex
2
.
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2）证明：当
x
0
时，都有
f
xln x
1
2 ex
2 ex2
.
【解析】（1）
f
x
2 1
x x ln xe x
x
，
-3-
令 g x 1 x x ln x ，则 g 1 0 ，
x 【解析】（1） a b 1 ；
（2） g(x)
e ex
1 x
x
，
f
x
g(x)
2 x
1
ln x x
e ex
1 x
x
0
，
令 h x f x g (x) 2 x 1 ，则
x
hx
1
ln x x
e ex
1 x
x
，
hx
1 ln x2
x
e ex
1 x2
1
ln x x2
e ex
1
，
因为
x
命题角度 2 放缩法
【典例 2】（石家庄市 2018 届高三下学期 4 月一模考试）已知函数 f (x) (x b)(ex a) (b 0) ，在
-1-
慧学上进
(1, f (1)) 处的切线方程为 (e 1)x ey e 1 0 . （1）求 a,b ； （2）若 m 0 ，证明： f (x) mx2 x . 【解析】（1） a 1， b 1；
所以当 x 0 时， ex x2 e 2 x 1 ， 变形可得 ex 2 e x 1 x ，
x 又由于 x ln x 1 ，当且仅当 x 1时取等号（证明略），
所以 ex 2 e x 1 ln x 1 ，当且仅当 x 1时取等号.
x 【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放
-4-
慧学上进
所以函数 g x f x 在 ,ln 2 上单调递减，在 ln 2, 上单调递增，
g
x
min
g
ln 2
f
ln 2
2
2ln 2
0
，
所以函数 f x ex x2 在 0, 上单调递增，
由于曲线 f x 在 x 1处的切线方程为 y e 2 x 1 ， f 1 e 1，可猜测函数 f x 的图象恒在切线
1
1 e2
，
所以1 x
x ln x 1
1 e2
.
要证
1
x
x ln
x ln
x
1
1
1 e2
x
，只需再证
lnxΒιβλιοθήκη 1x即可.
易证 ln x x 1 ，当且仅当 x 1时取等号（证明略），所以 0 ln x 1 x ，
综上所述，当
x
0
时，都有
f
xln x
1
2 ex
2 ex2
.
【思路点睛】对于含有 ln x 与 ex 型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，
1
，所以
h
x
ln x x2
e ex
1
0
，
所以
hx
在 1.
单调递增，
hx
h
1
0
，即 1
ln x x
e ex
1 x
x
0
，
所以当 x 1 时， f x g(x) 2 ．
x
【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用
导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.
由 h0 3 e 0,h 1 0,0 ln 2 1 ，所以 hln 2 0 ，
所以存在 x0 0,ln 2 ，使得 hx0 0 ， 所以当 x 0, x0 1, 时， hx 0 ，当 x x0,1 时， hx 0 ， 所以 h x 在 0, x0 上单调递增，在 x0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增. 因为 h 0 h 1 0 ，所以 h x 0 ，即 f x e 2 x 1 ，当且仅当 x 1时取等号，