初三数学新概念思维题集

初三数学新概念思维题集锦

1：（20XX 年长沙中考第25题）

在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），

（-2，-2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

（1）若点P （2，m ）是反比例函数n y x =

（n 为常数，n ≠0）的图像上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；

（2）函数31y kx s =+-（k,s 为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦

之点”的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若二次函数21y ax bx =++（a,b 是常数，a ＞0）的图像上存在两个“梦之点”A 11(,)x x ，

B 22(,)x x ,且满足-2＜1x ＜2，12x x -=2，令215748

t b b =-+，试求t 的取值范围。 解析：此题全面考察一次函数、反比例函数、二次函数的知识，解题过程还要运用到一元

二次方程，解不等式，公式转换运算，绝对值运算等知识；

同时，此题解答过程要充分运用分类思维，发散思维，整体代入等数学思维方式 此题属思维开放题型，要求对“梦之点”横、纵坐标相等这个概念理解透彻并充分加

以运用：

解答过程：

（1）4y x

=

（2）由31y kx s =+-得当y x =时，(13)1k x s -=-

当13

k =且s=1时，x 有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个； 当13

k =且s ≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在； 当13k ≠，方程的解为113s x k -=-，此时的“梦之点”存在，坐标为（113s k

--，113s k

--） （3）由21y a x b x y x

⎧=++⎨=⎩得：2(1)10a x b x +-+=则

12,x x 为此方程的两个不等实根， 由12x x -=2，又-2＜1x ＜2得：-2＜1x ＜0时，-4＜2x ＜2；0≤1x ＜2时，-2≤2x ＜4； ∵抛物线2

(1)1y ax b x =+-+的对称轴为12b x a

-=，故-3＜12b a -＜3 由12x x -=2, 得： 22(1)44b a a -=+，故a ＞18；215748t b b =-+=2109(1)48

b -+ =244a a ++10948=21614()248a ++，当a ＞12-时，t 随a 的增大而增大，当a =18时，

t=17

6

,∴a＞

1

8

时，t大于17/6

2：（2013长沙中考第25题）

图（1）

3：（长沙中考2012）

4：到凸四边形的一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点，。如图①：PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点。

（1）如图②，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P，求证：点P是四边形ABCD的准内点。

（2）分别画出图③平行四边形，和图④梯形的准内点（作图工具不限，要求有必要的说明）

（3）判断下列例题的真假：

①任意凸四边形一定存在准内点

②任意凸四边形一定只有一个准内点。

③若P是四边形ABCD的准内点，则：PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD

图1 图2 图3 图4

5：阅读材料：

过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫做△ABC 的水平宽（a ），中间这条直线在△ABC 内部线段的长度叫做△

ABC 的铅垂高（h ），我们可以得出一种计算△ABC 面积的新方法：S △ABC =12

ah.即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

解答下列问题：

如图①，抛物线顶点坐标为C （1，4）交X 轴于点A （3，0），交Y 轴于点B

（1） 求抛物线的解析式及直线AB 的解析式

（2） 点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA ，PB 。当P 点

运动到顶点C 时，求S △CAB

（3） 是否存在一点P ，使S △PAB = 98

S △CAB

B 水平宽

6

7

在平面直角坐标系中，过线段AB（AB不与Y轴平行）的两个端点A,B分别作X轴的垂线，垂足分别为E,F.则我们把EF叫做线段AB在X轴上的射影，线段EF的长度叫做线段AB在X轴上的射影长。

（1）若双曲线y=