理论力学周衍柏第三版第二章习题答案

第二章习题解答

解 均匀扇形薄片，取对称轴为x 轴，由对称性可知质心一定在x 轴上。

题2.1.1图

有质心公式

⎰⎰=

dm

xdm x c

设均匀扇形薄片密度为ρ，任意取一小面元dS ，

dr rd dS dm θρρ==

又因为

θcos r x =

所以

θ

θθρθρsin 32a dr rd dr rd x dm xdm x c

===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 对于半圆片的质心，即2

πθ=代入，有

πππ

θθa a a x c 342

2sin

32sin 32=⋅

==

解 建立如图图所示的球坐标系

题2.2.1图

把球帽看成垂直于z 轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为ρ。 则

)(222z a dz y dv dm -===ρπρπρ

由对称性可知，此球帽的质心一定在z 轴上。 代入质心计算公式，即

)

2()(432

b a b a dm zdm z c

++-

==⎰⎰

解 建立如题图所示的直角坐标，原来人W 与共同作一个斜抛运动。

y

O

题2.3.1图

当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为x v ，此人即以 x v 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以αcos v 0=水平v 作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离1s

t a v s ⋅=cos 01 ① gt v =αsin 0 ②

ααcos sin 20

1g

v s = ③

第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有

)(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+α

可知道

u w

W w

a v v x ++

=cos 0 水平距离

αααsin )(cos sin 0202uv g

W w w

g v t v s x ++==

跳的距离增加了

12s s s -=∆=

αsin )(0uv g

w W w

+

2.4 解 建立如图图所示的水平坐标。

题2.4.1图

θ题2.4.2图

以1m ，2m 为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有

2211=+x m x m && ① 对1m 分析；因为

相对绝a a a += ②

1m 在劈2m 上下滑，以2m 为参照物，则1m 受到一个惯性力21x m F &&-=惯（方向与2m 加速度方向相反）。如图图所示。所以1m 相对2m 下滑。由牛顿第二定律有

θ

θcos sin 21111x m g m a m &&+=' ②

所以1m 水平方向的绝对加速度由②可知

..

2

1

'1cos //x a a -=θ绝 ③

..

2..2..

1cos cos sin x x g x -⎪⎭

⎫

⎝⎛==θθθ④

联立①④，得

g m x θ

sin m m 2

12+=

θ

θcos sin 2..

1 ⑤ 把⑤代入①，得

g m m s m x θ

θ

θ2

121..

2sin cos sin =-

= ⑥ 负号表示方向与x 轴正方向相反。求劈对质点反作用力1R 。用隔离法。单独考察质点1m 的受力情况。因为质点垂直斜劈运动的加速度为0，所以

0sin cos ..

2111=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+-θθx m g m R ⑦

把⑥代入⑦得，

g m m m m R θ

θ

2

12211sin cos +=

⑧ 水平面对劈的反作用力2R 。仍用隔离法。因为劈在垂直水皮方向上无加速度，所以

0cos 122=--θR g m R ⑨

于是

g m m m m m R θ

2

122122sin )

(++=

⑩

2.5 解 因为质点组队某一固定点的动量矩

∑=⨯=n

1

i i i m v r J i

所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如

图图所示薄圆盘，任取一微质量元，

题2.5.1图

dr rd dm θρ⋅=

2

a M πρ=

所以圆盘绕此轴的动量矩J

⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⨯=r rdrd r )ωθρv r dm J (=

ω22

1

Ma

解炮弹达到最高点时爆炸，由题目已知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行知，分成的两个部分1M ，2M ，速度分别变为沿水平方向的1v ，2v ，并一此速度分别作平抛运动。由前面的知识可知，同一高处平抛运动的物体落地时的水平距离之差主要由初速度之差决定。进而转化为求1v ，2v 。炮弹在最高点炮炸时水平方向上无外力，所以水平方向上的动量守恒：

()221121V M V M U M M +=+ ①

以()21M M +质点组作为研究对象，爆炸过程中能量守恒：

()E V M V M U M M -+=+2222112212

12121

② 联立①②解之，得

()2

211

12M M M EM U v ++

=

()2

211

22M M M EM U v +-

=

所以落地时水平距离之差s ∆