二次函数的应用(面积问题)

变式2 用总长为60m篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长36m，菜园被篱笆分割成等 面积的三块，分别种值不同的蔬菜，如图有如下三种方案：
（方案1）
（方案2）
（方案3）
设BC长度为x m，矩形ABCD的面积为y㎡，请问这三种方案中，哪种方案所围菜园面积最大，请 说明理由.
方案1：x=30,y取最大值，最大值为225m2
4.用一定长度的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架,如图 (1)(2)(3)中的一种.设竖档 AB＝x 米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图 中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与 AD，AB 平行)．
(1)在图 (1)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x为多少时，矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为 1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料 总长仍为6m利用图3,解答下列问题：
(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积．
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？ 请通过计算说明．
方案2：x=10,y取最大值，最大值为150m2
方案3：x=15,y取最大值，最大值为168.75m2
方案1面积最大.
四、归纳小结
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最 小值的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的 值必须在自变量的取值范围内
五、课后练习
1.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=m． （1）若花园的面积为192 m2，求的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内 （含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
(1)x=20 (2)x=30,y最大，最大值为450m2
(3) 20 x 36
(4)x=20,y最大，最大值为400m2
(5)若BC边上需要开一个3米宽的小门,则
x=
时，矩形面积有最大值
.
(6)若BC边上需要开一个3米宽的小门, x为整
数则x=
时，矩形面积有最大值
.
(5)x=31.5,y最大值为496.125m2 (6)x=31或32，y最大值为496m2
(1)x1=10,x2=20
(2)x=15,y最大，最大值为225m2
(3) 0 x 10或20 x 30
(4)10 x 20
三、互动释疑
变式1（课本P57第7题）如图用总长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长 36m，设BC长度为xm，矩形ABCD的面积为y㎡. (1)当x为何值时，矩形面积为400㎡？ (2)当x为何值时，矩形面积最大，最大面积是多少？ (3)若矩形面积不小于400㎡，请直接写出x的取值范围. (4)若要求边AB的长不小于边BC的长，请直接写出矩形面积的最大值.
一、导学激疑
1.二次函数的一般式是
它的图像的对称轴是 ，
顶点坐标是
. 当a>0时，开口向 ，有最 点，
函数有最 值，是 .当a<0时，开口向 ，有最
点，函数有最 值，是
.
2.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的最值？有哪几种方法？写出求二次函
数最值的公式
（1）配方法求最值（2）公式法求最值
(2)在图 (2)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？最大面积是多少？
(3)在图 (3)中，如果不锈钢材料总长度为 a 米，共有n 条竖档，那么当 x 为多少时， 矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？最大面积是多少？
此时x= 20
.
⑤二次函数y=—x2+30x(x为10的整数倍)的最大值是200 ，
此时x= 10或20 .
二、自主质疑 （课本P49探究1）用总长为60m的篱笆围成一个矩形菜园 ABCD,设BC长度为x m，矩形ABCD的面积为y㎡. （1）当x为何值时，矩形面积为200㎡？ （2）当x为何值时，矩形面积最大？求出最大值？ （3）若矩形面积不超过200㎡，请直接写出x的取值范围. （4）若矩形面积不低于200㎡，请直接写出x的取值范围.
当x=-
b 2a
时，y有最大（小）值
4ac-b2 4a
小练习
①二次函数y=—x2+30x的最大值是 225，此时x= 15 .
②二次函数y=—x2+30x(0＜x＜30)的最大值是 225 ，
此时x= 15
.
③二次函数y=—x2+30x(0＜x≤10)的最大值是 200，
此时x= 10
.
④二次函数y=—x2+30x(20≤x＜30)的最大值是 200，
2.如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间 用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为米。 （1）若两个鸡场总面积为96m2，求； （2）若两个鸡场的面积和为S，求S关于的关系式； （3）两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？
3.某课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一Biblioteka Baidu半圆，下部是一个矩形， 如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？