用数学归纳法证明不等式的技巧和对策
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则问题就迎刃而解了 ! 各个击破 - ! 分类讨论， 当由 “假设不等式”向 “目标不等式”过 渡的处理方法和涉及的参变量的大小有关 时， 可对这个参变量进行分类讨论， 化为几个 小问题各个击破之 ! 【例 -】 正项数列｛’$ ｝中， 对于任何 $ 求证： 对于任 ’$ $ $ ’$ + ’$ #& 恒成立， " %# ， & 何 $ " %# ， 恒成立 ! ’$ . $ $ 证明： ! $ % & 时由 ’ & + ’ & # ’ $ ) * 解 得 * . ’ . & 原不等式成立 ! " 设 $ % & 时原不等式成立， & 成立， & 由于 ’& #& $ ’& + ’ $& 恒成立 & （/） 时， * . ’# $ & #& 即 * . ’& . & 成立 ’& #& $ ’& + ’ $& . ’& $ & #& & & （ 0） 时， . ’& . & #& & & & （& + ）% ・ ’& #& $ ’（ & & + ’ & ）. & & #& & ! & #& 由 （/） （ 0） 、 可知 $ % & # & 时原不等式 成立 & 由 !" 可知对于任何 $ " % # ， ’$ . $ 成立 评注： 当问题化归为只须证明： ’& + ’ $& & 时， 就 ’& 的值的大小进行讨论， 使放 & #& 缩过程非常简捷 ! . 围魏救赵 1 ! 等价转化， 当给出的不等式不容易直接用数学归纳 法证明时， 可以对命题进行等价转化， 化归为 证明相对容易的不等式 ! 【例 1】 已知数列｛’$ ｝ 满足： ’& ) * 且
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重点突破 " ! 合理化归， 若通过合理的化归， 已经找到要证明的 “中途不等式” ， 而这个 “中途不等式”又不是 很熟悉时， 则可对 “中 途 不 等 式”再 进 行 分 析， 找到问题的症结所在， 然后进行重点突 破! 【例 "】 设 ! ， 求证： "" # ， $ " %# ， $ $ ! # " ! # " # $ $ 证 明： ! $ % & 时，左 边 % 右 边 %
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用数学归纳法证明不等式的技巧和对策 浙江宁波市北仑中学 （"!*)++） 吴文尧 数学归纳法是证明和自然数相关的不等 式的最有效方法， 其证明的关键是如何实现 从 “ % % & 时原不等式成立” （ 这个不等式不 妨称之为 “假设不等式” ） 到 “ % % & # ! 时原 不等式成立” （ 这个不等式不妨称之为 “目标 不等式” ） 的过渡 , 本文介绍用数学归纳法证 明不等式的若干技巧和对策， 供大家参考 , 合理放缩 ! , 早期假设， 要由 “假设不等式”成立推证到 “目标不 等式” 成立， 可先不择手段地尽早使用 “假设 不等式” ， 再利用辅助条件通过合理的放缩， 逐步向 “目标不等式” 逼近 , ! ! 【例 !】 设 ! ， 且 # " # $# ， % !, ! " % % 求证： 对于任何 % # ’ # 有： （ ! # "） - ! "% $ $$ % - $ % #! 成立 证明： 左边 % 右边 % +， 原不 ! % % ! 时， 等式显然成立 , 即： " 设 % % & 时原不等式成立， （! # 则% （! #
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评注： ! 上述过渡的第一步即不择手段 # # # 地呼唤出 （ ! ! "） ［ （ ! ! "） 是过 " ! " " ］ 渡成功的一半 # “假设不等式” 后， 问题化归为求 " 用尽 $ $ 等于 ! ， " 的二元函数在条件 ! % $ 下的 ! " 最小值问题， 若注意到原不等式 “ % ”成立条 则容易想到上述放缩过程 # 件为 ! % " % &， 强行过渡 & # 先斩后奏， 先通过 “假设不等式”的等价变形得到 一个其中一边和 “目标不等式”完全一样的 不等式后， 对另一边的变形可先把 “目标不等 式” 的另一边强行写上， 然后再解决遗留的 “尾巴” 问题； 这种 “先斩后奏” 的方法也不失 为是实现过渡的好方法 # 【例 &】 设 $ ! % ! 且 $ " &， 求证： $! $ $ $ ! !…! ( #$ 恒成立 # & ’ # # #$ & 证 明： 左边 % $ ! # ( # & % ! $ % & 时， & 右边， 原不等式成立 # （ # " &） 的原不等式成立， "设 $ % # $ $ $ 即$ ! ! !…! ( ## & # ’ # ## $ $ $ $ )$ ! ! !…! ! ( ## & ’ # # # # # # !$ $ $ （# # ! $ " % ## ! $ ! " ! ## ! $ ## ! $ $ $ " ( ## ）% # # ! $ ! # # ! $ # # ! $ ! ## ## ! $ ! $ $ " % # # ! $ ! ## # # ! $ ! ##
求证： !， !" ! # ! # !" " # ! # !" # # ! " " $ ! 证 明： 构 造 向 量 ! （!， ， !， !） " （!" ! # !， !" " # !，!" # # !） & ’ ! ・ " ’ " ’ ! ’・’ " ’ ( !" ! # ! # !" " # ! # !" # # ! " （" ! # !）#（" " # !）#（" # # !） ・! " ! " ! # " # # ）# "・! " % "! $ % !（ ( !" ! # ! # !" " # ! # !" # # ! " "! $ !$ 【例 )】 已知 ! ， 求证： "， # # $# ， " # # $ $ " # ! （ ! # " # #） # # # # ! ! # "$ $ 证 明： 构 造 向 量 ! % （ ， " # # ! !
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