用数学归纳法证明不等式的技巧和对策

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不等式的证明方法

不等式的证明方法不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛的应用。

证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。

1.数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。

当不等式对于一些特定的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。

具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式；（3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明Pk(k+1)；（4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知，当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。

2.数学推理数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。

例如，可以利用已知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得出需要证明的不等式。

3.代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。

例如，对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对不等式进行推导和比较，得出结论。

4.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式成立。

具体步骤如下：（1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个条件可以是一个数、一个式子等；（2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论；（3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式成立。

5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。

它断言，若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。

不等式的证明与数学归纳法结合

不等式的证明与数学归纳法结合不等式在数学中起着重要的作用，它们用于比较和描述数值之间的关系。

在解决不等式问题时，数学归纳法是一种常见的证明方法。

本文将介绍不等式的证明以及如何结合数学归纳法来解决相关问题。

一、不等式的证明方法不等式的证明可以通过直接证明法、反证法、数学归纳法等多种方法来实现。

在这里，我们重点介绍数学归纳法与不等式的结合运用。

数学归纳法是一种常用的证明方法，适用于证明对于所有自然数n 都成立的命题。

它分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。

基础步骤：证明当n=1时，命题成立。

归纳假设：假设当n=k时，命题成立，即命题对于某个自然数k成立。

归纳步骤：证明当n=k+1时，命题也成立。

二、不等式证明的案例为了更好地理解不等式的证明与数学归纳法的结合运用，我们来看一个具体的案例。

假设我们要证明对于所有自然数n都有1+3+5+...+(2n-1)=n^2。

基础步骤：当n=1时，命题左边为1，右边为1^2=1，显然相等，基础步骤成立。

归纳假设：假设当n=k时，命题成立，即1+3+5+...+(2k-1)=k^2成立。

归纳步骤：我们需要证明当n=k+1时，命题也成立。

即1+3+5+...+(2(k+1)-1)=(k+1)^2也成立。

在归纳步骤中，我们需要将左边的项展开并进行简化：1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k^2+(2(k+1)-1)=(k^2+2k+1)=(k+1)^2可以看出，当n=k+1时，命题也成立。

因此，根据数学归纳法，对于所有自然数n，1+3+5+...+(2n-1)=n^2成立。

三、结合数学归纳法证明不等式数学归纳法可以用于证明不等式的正确性。

我们将通过一个例子来说明这一点。

假设我们要证明对于所有自然数n都有2^n>n^2。

基础步骤：当n=1时，命题左边为2^1=2，右边为1^2=1，显然左边大于右边，基础步骤成立。

归纳假设：假设当n=k时，命题成立，即2^k>k^2成立。

如何通过数学归纳法证明不等式

如何通过数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，其基本思想是利用已知的某些命题推出新的命题。

在数学证明中，常常使用归纳法来证明一些不等式，这种方法既简单又直观，下面我们来探讨如何通过数学归纳法证明不等式。

一、归纳法的基本思想首先，我们来了解一下归纳法的基本思想。

设P(n)是一个依赖于自然数n的命题，则通过归纳法证明P(n)对于所有自然数n成立的一般方法为：1.证明当n=1时P(1)成立；2.假设当n=k时P(k)成立，即前提条件为P(k)成立；3.证明当n=k+1时P(k+1)成立，即由前提条件P(k)可以导出P(k+1)。

这就是数学归纳法的基本思想。

二、通过数学归纳法证明不等式接下来我们探讨如何通过数学归纳法证明不等式。

对于一些不等式，我们可以通过归纳法来证明它们的成立性。

1. 首先，我们需要确定适用于归纳法的不等式类型。

一般来说，递推式、等差数列、等比数列等都是适用于归纳法的不等式类型。

2. 其次，我们需要证明当n=1时不等式成立。

通常情况下，我们可以通过代数化简或数值计算的方法证明不等式在n=1时成立。

3. 第三步是归纳假设。

假设当n=k时不等式成立，即前提条件为不等式在n=k时成立。

4. 第四步是证明当n=k+1时不等式成立。

通过推导得出不等式在n=k+1时成立。

5. 最后需要证明这个不等式在所有自然数下成立。

通常情况下，我们可以通过归纳证明法的反证法来证明，如果该不等式在某个自然数下不成立，那么其前面的所有自然数也不成立，即矛盾。

因此，该不等式在所有自然数下成立。

比如，对于一个递推式an=a(n-1)+n，我们可以通过数学归纳法证明其大于等于n(n+1)/2。

具体证明如下：当n=1时，an=1，n(n+1)/2=1，因此不等式在n=1时成立。

假设当n=k时，an大于等于k(k+1)/2成立。

当n=k+1时，an=a(k+1-1)+(k+1)=ak+k+1。

根据归纳假设，ak 大于等于k(k+1)/2，于是k+ak大于等于k(k+1)/2+k+1=(k+1)(k+2)/2，因此，an大于等于(k+1)(k+2)/2。

不等式证明的基本方法与策略总结

不等式证明的基本方法与策略总结不等式证明在数学研究、数学建模以及各种工程问题中都有重要的应用价值。

同时，不等式证明也是各种数学竞赛中的重头戏。

本文将总结不等式证明的基本方法与策略，以便读者更好地理解不等式证明的思路和套路。

一、基本方法1. 套路化：对于一些经典不等式如柯西不等式等，可以先了解它的证明方法，将其归纳总结出来，然后通过类比去证明其他不等式。

2. 变形：对于一个不等式，可以通过一些代数变形，将其转换为其他形式，更容易被证明出来。

如将两个不等式的左侧相乘，右侧相乘，再相减，得到新的不等式。

或者将一个不等式的左右两侧都平方，再相减，也可以得到新的不等式。

3. 等价转换：将不等式转化为等价形式，然后再利用已有的定理进行证明。

如将一个不等式的等号两侧同时加上一个数，就可以转化为另一个不等式，然后再进行证明。

4. 递推：递推是一种常用的证明方法，它可以将一个复杂的不等式转化为一个比较简单的不等式，然后通过多次递推证明出原不等式。

递推的关键在于找到一个递推式和一个初始条件。

二、基本策略1. 二分法：二分法是一种常用的证明策略，它将一个不等式的左右两侧分别处理，然后比较两侧的大小关系得到证明的结论。

2. 置换对称法：置换对称法指的是将一组变量按照一定的置换方式进行对称化，然后证明得到不等式后，再通过恢复变量之间的关系，得到原始不等式。

3. 大杀器策略：大杀器策略指的是使用一些已知的定理和公式来证明不等式。

如柯西不等式、阿贝尔不等式、托肯不等式等，这些定理都是不等式证明中比较重要的工具。

4. 分段讨论法：分段讨论法是一种常用的证明策略，适用于证明一些具有特定性质的不等式。

它将不等式的变量进行合理的分段，然后分别证明每个分段中的不等式。

三、小结总的来说，不等式证明的基本方法和策略都比较常用和灵活，在实际应用中需要根据具体问题进行灵活运用。

同时，在证明不等式之前，需要对不等式的基本定义和定理进行系统化的学习和掌握，才能更好地利用这些理论工具进行证明。

高考数学如何利用数学归纳法解决不等式问题

高考数学如何利用数学归纳法解决不等式问题在高考数学中，解决不等式问题是一个重要的考察点。

而数学归纳法作为一种重要的数学证明方法，也可以被应用于解决不等式问题。

本文将探讨如何利用数学归纳法解决不等式问题，并提供一些例子来说明其具体应用。

在介绍利用数学归纳法解决不等式问题之前，我们先来了解一下数学归纳法的基本原理。

数学归纳法是一种数学证明方法，用于证明一些在自然数集上的命题。

它包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

首先，证明当自然数为一个给定的起始值时命题成立，这称为基础步骤。

接下来，假设当自然数为k时命题成立，然后证明当自然数为k+1时命题也成立，这称为归纳步骤。

通过这个过程，我们可以得出结论：对于所有自然数n，命题都成立。

那么如何将数学归纳法应用于解决不等式问题呢？我们可以通过以下步骤来进行：步骤一：找到适合应用数学归纳法的不等式问题。

通常情况下，我们可以在不等式问题中观察到某种规律或者模式，并可以通过一个起始值开始其中的证明过程。

具体的选择需要根据具体问题来决定。

步骤二：进行基础步骤证明。

根据数学归纳法的原理，我们需要证明当自然数取某个起始值时，不等式成立。

这通常需要运用已知的数学方法或者推论来进行证明。

步骤三：进行归纳步骤证明。

首先，我们假设当自然数为k时，不等式成立。

然后，我们需要证明当自然数为k+1时，不等式依然成立。

这一步骤通常需要运用数学归纳法的思想，通过将k替换为k+1来进行推导和证明。

步骤四：总结证明过程并得出结论。

通过基础步骤证明和归纳步骤证明，我们可以得出结论：对于所有自然数n，不等式成立。

这就解决了原始的不等式问题。

下面，我们通过一个具体的例子来说明如何利用数学归纳法解决不等式问题。

例子：设有一个数列{an}，满足以下条件：1. a1 = 1；2. a(k+1) = a(k) + 2k, k ≥ 1。

我们想要证明对于所有的正整数n，不等式an < n^2成立。

解：首先，我们进行基础步骤证明。

如何利用数学归纳法解决不等式不等证明

如何利用数学归纳法解决不等式不等证明数学归纳法是一种证明方法，常用于证明自然数上的命题。

然而，它也可以应用于不等式的证明过程中。

本文将介绍如何利用数学归纳法解决不等式不等证明，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。

不等式证明的目标是证明一个给定的不等式在某个范围内成立。

而数学归纳法通过逐步证明不等式在一个特定的范围内成立，从而推导出它在更大范围内的成立情况。

下面将详细介绍如何利用数学归纳法进行不等式证明。

首先，我们需要明确要证明的不等式及其范围。

对于一个不等式不等证明，一般需要明确存在一个特定的范围n，使得不等式在这个范围内成立。

假设要证明的不等式为P(n)，其中n为自然数。

接下来，我们需要进行归纳基础的证明。

即证明P(1)成立。

这一步骤相当于证明不等式在最小的情况下成立，为后续归纳证明提供了基础。

通常，我们可以通过直接计算或代入值来证明P(1)成立。

完成了归纳基础的证明后，我们需要进行归纳假设的假设。

假设P(k)成立，其中k为任意自然数且k≥1。

这一步相当于假设不等式在某个特定情况下成立，以便我们能够利用这个假设进行后续的归纳推理。

接下来，我们需要进行归纳步骤的证明。

归纳步骤的证明需要证明假设P(k)成立的情况下，P(k+1)也成立。

这一步骤相当于通过利用归纳假设，将不等式从k的情况推导到k+1的情况。

通常，我们可以通过代入值，运用不等式性质或运算法则等方法，将P(k+1)与P(k)产生关联，从而得到归纳步骤的证明。

最后，我们需要提出结论。

一旦完成了归纳步骤的证明，我们就可以得到对于任意满足n≥1的自然数，P(n)成立的结论。

这一结论通过数学归纳法建立起来，证明了给定不等式在特定范围内的成立情况。

综上所述，利用数学归纳法可以解决不等式不等证明的问题。

通过正确的归纳基础、归纳假设和归纳步骤的证明，我们可以得到不等式在给定范围内的成立情况。

然而，在应用数学归纳法进行不等式证明时，我们应该注意合理选择范围、正确使用不等式性质和运算法则等，以确保证明的正确性和完整性。

利用数学归纳法证明不等式的基本技巧

利用数学归纳法证明不等式的基本技巧利用数学归纳法证明不等式的基本技巧：1、比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差（作商）—变形—判断—结论．作差法：差与“0”比较。

为了判断作差后的符号，经常需要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，判断其正负．作商法：商与“1”相比较。

作商时，需要满足两者均为正数。

2、综合法（顺推）：综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点是“执因索果”，即由“已知”，利用已经证明过的不等式或不等式的性质逐步推向“未知”。

综合法证明不等式的逻辑关系是：A B1B2…Bn B，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 B.3、分析法（逆推）：从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

4、放缩法：要证明不等式A<B 成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．放缩法证明不等式的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．常用的放缩技巧有：①应用均值不等式进行放缩；②舍掉(或加进)一些项；③在分式中放大或缩小分子或分母。

5、反证法：即从正难则反的角度去思考，要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等词语时，可以考虑用反证法．6、常数代换法常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，以到达化繁为简的目的。

常用的带有常数项的恒等式，可由题目中的条件变形得到，也可用常用的公式或公式变形。

7、几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法。

数学归纳法证明不等式的两个技巧

数学归纳法证明不等式的两个技巧数学归纳法是一种数学证明方法，常用于证明自然数的性质。

它的基本思想是：首先证明当n为一些特定的自然数时，不等式成立；然后假设当n为一些自然数时，不等式也成立；最后利用这个假设证明当n为n+1时，不等式仍然成立。

下面将介绍两种常用的数学归纳法证明不等式的技巧。

技巧一：基础情况的证明在使用数学归纳法证明不等式时，首先需要证明基础情况，即当n为一些特定的自然数时，不等式是否成立。

例如，我们想要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n≤n²。

基础情况是n=1时，不等式左边为1，右边为1²=1，不等式成立。

技巧二：归纳假设的运用假设当n为一些自然数时，不等式也成立，即假设1+2+3+...+n≤n²成立。

然后我们要利用这个假设来证明当n为n+1时，不等式仍然成立。

例如，我们要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n+(n+1)≤(n+1)²。

根据归纳假设，我们可以得到1+2+3+...+n≤n²，所以我们可以将不等式右边的(n+1)²展开为n²+2n+1现在，我们需要证明1+2+3+...+n+(n+1)≤n²+2n+1、我们可以逐步将左边拆分成两部分，即(1+2+3+...+n)+(n+1)。

根据归纳假设，我们知道前一部分不大于n²，所以该不等式可以进一步简化为n²+(n+1)≤n²+2n+1最后，可以发现左边的n²+(n+1)小于等于右边的n²+2n+1，因为(n+1)小于等于2n+1、所以，我们得到了当n为n+1时，不等式仍然成立。

综上所述，通过基础情况的证明和归纳假设的运用，可以使用数学归纳法证明不等式。

这两个技巧可以帮助我们在证明过程中合理利用已有的条件和假设，从而简化证明的过程。

如何利用数学归纳法解决不等式推导

如何利用数学归纳法解决不等式推导数学归纳法（Mathematical Induction）是一种经典的数学证明方法，它可以被用来解决各种数学问题，包括不等式推导。

本文将探讨如何利用数学归纳法解决不等式推导的问题。

在使用数学归纳法解决不等式推导之前，我们首先需要了解数学归纳法的基本原理。

数学归纳法的基本思想是通过证明当一个命题在某个“基准情况”成立，并且在某个情况下成立时，在下一个情况下也成立，从而得出该命题在所有情况下成立的结论。

下面我们将以一个具体的例子来说明如何利用数学归纳法解决不等式推导的问题。

假设我们需要证明不等式推导问题的一个结论：对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n ≤ n^2。

第一步，我们先证明基准情况。

当n = 1时，左边的和为1，右边等于1^2，显然左边小于等于右边，基准情况成立。

第二步，我们假设当n = k时，不等式推导成立，即1 + 2 + 3 + ... +k ≤ k^2。

然后我们需要证明当n = k + 1时，不等式推导也成立。

当n = k + 1时，左边的和为1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)，右边等于(k + 1)^2。

根据我们的假设，我们知道1 + 2 + 3 + ... + k ≤ k^2，所以我们可以把不等式改写为k^2 + (k + 1) ≤ (k + 1)^2。

接下来，我们对不等式进行简化和变形：k^2 + k + 1 ≤ k^2 + 2k + 1。

经过化简，我们得到k + 1 ≤ 2k + 1。

由于k是正整数，所以k + 1 ≤ 2k + 1成立。

因此，在假设成立的情况下，我们得到了当n = k + 1时不等式也成立的结论。

综上所述，根据数学归纳法的原理，不等式推导问题的结论对于所有正整数n都成立。

因此，我们成功地利用数学归纳法解决了不等式推导问题。

通过上述例子，我们可以看出数学归纳法在解决不等式推导问题中的应用。

如何应用数学归纳法证明不等式

如何应用数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种常见的数学证明方法，通过证明初始情况成立和任意情况都成立，来证明一般情况成立。

在不等式证明中，也可以应用数学归纳法。

本文将介绍如何应用数学归纳法证明不等式。

第一步，证明初始情况成立。

通常，需要选取一个最小的自然数来作为初始情况，然后证明不等式在该自然数下成立。

以证明$a^n-1$能够被$(a-1)$整除为例。

当$n=1$时，$a^1-1=a-1$，由于$a-1$显然能够整除$a-1$，因此初始情况成立。

第二步，假设任意情况成立。

即假设当$n=k(k \in N^*)$时，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除。

第三步，证明一般情况也成立。

即证明当$n=k+1$时，$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。

由于$a^{k+1}-1 = a^k \cdot a - 1 = (a^k-1) \cdot a + (a-1)$，而根据假设，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除，因此$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。

通过上述三步，我们得到了$a^n-1$能够被$(a-1)$整除。

类似的，可以应用数学归纳法证明其他的不等式。

例如证明$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$，我们可以选取$1$作为初始情况；假设当$n=k(k \in N^*)$时，$1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$；然后证明当$n=k+1$时，$1+2+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$。

当然，在进行数学归纳法证明时，选择初始情况和需要证明的语句都需要谨慎选择。

总结一下，数学归纳法是一种常见的数学证明方法，可以应用在不等式证明当中。

通过证明初始情况成立、假设任意情况成立、证明一般情况也成立这三步，可以有效地证明不等式。

数学归纳法在不等式证明中的应用

数学归纳法在不等式证明中的应用数学归纳法（Mathematical Induction）是一种常用的证明方法，通过归纳的方式证明某个性质在一系列正整数中成立。

在数学领域中，归纳法常被应用于等式的证明，但它同样适用于不等式的证明。

本文将介绍数学归纳法在不等式证明中的应用，并通过实例加深理解。

首先，让我们回顾一下数学归纳法的基本原理。

数学归纳法分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤：证明当$n=1$时，不等式成立。

也就是验证当$n$等于最小值时，不等式是否成立。

归纳步骤：假设当$n=k$时，不等式成立，即$P(k)$成立。

然后利用这个假设证明当$n=k+1$时，不等式也成立，即证明$P(k+1)$成立。

接下来，我们通过一个具体的例子来进行说明。

我们要证明对于任意的正整数$n$，都有$2^n > n$成立。

基础步骤：当$n=1$时，$2^1=2$，而$1<2$，所以基础步骤成立。

归纳步骤：假设当$n=k$时，$2^k > k$成立（即假设$P(k)$成立）。

我们需要证明当$n=k+1$时，$2^{k+1} > k+1$也成立（即证明$P(k+1)$成立）。

由归纳假设，$2^k > k$。

我们将这不等式两边都乘以2，得到$2^{k+1} > 2k$。

另一方面，由基础步骤我们知道$k < 2^k$。

把这两个不等式组合在一起，得到$k < 2^k < 2^{k+1}$。

根据不等式的传递性，$k < 2^{k+1}$。

同时注意到$k+1$也小于$2^{k+1}$，于是我们有$k < 2^{k+1} \leq k+1 < 2^{k+1}$。

综上所述，对于任意的正整数$n$，都有$2^n > n$成立。

数学归纳法在不等式证明中的应用并不仅限于上述例子。

实际上，数学归纳法可以应用于各种不等式的证明，只需要根据具体的不等式特性进行相应的推导和变换即可。

数学归纳法证明不等式

01
02
03
例子一：n=5时的情况
假设n=10时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}$。
02
CHAPTER
数学归纳法证明不等式的步骤
验证基础情况
首先验证n=1时，不等式是否成立。
基础情况成立
如果基础情况成立，则可以继续进行归纳步骤。

初始步骤
归纳步骤
归纳假设
假设当n=k时，不等式成立，即$P(k)$成立。
归纳推理
基于归纳假设，推导当n=k+1时，不等式也成立，即$P(k+1)$成立。
应用归纳假设
在归纳推理过程中，需要利用归纳假设$P(k)$来推导$P(k+1)$。
要点一
要点二
完成归纳
当归纳步骤完成后，可以得出结论，对于任意正整数n，不等式都成立。
归纳假设的应用
03
CHAPTER
应用数学归纳法证明不等式的例子
假设n=5时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$。
确定数列的通项公式
通过数学归纳法，可以证明数列的通项公式，进而研究数列的性质和规律。

不等式的推导和证明方法

不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。

不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。

在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。

本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。

一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。

若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。

不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。

例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。

对于 $n=1$，该不等式显然成立。

假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。

根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。

不等式的数学运算法则与证明技巧

不等式的数学运算法则与证明技巧不等式在数学中扮演着重要的角色，它们广泛应用于各个领域，如代数、几何、概率等。

了解不等式的数学运算法则和证明技巧，对于解决问题和推导结论具有重要意义。

本文将介绍一些常见的不等式运算法则和证明技巧，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、不等式的基本运算法则1. 加法和减法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，则a + c >b + ca > b，则a - c >b - c2. 乘法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，且c > 0，则ac > bca > b，且c < 0，则ac < bc3. 除法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，且c > 0，则a/c > b/ca > b，且c < 0，则a/c < b/c4. 幂法则：对于任意正实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，则a^c > b^c这些基本的不等式运算法则可以帮助我们进行不等式的简化和变形，从而更好地理解和解决问题。

二、常见的不等式证明技巧1. 数学归纳法：数学归纳法是一种常用的证明技巧，可以用来证明一类不等式的成立。

它包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

首先证明当n取某个特定值时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，再证明当n=k+1时不等式也成立，由此可以得出当n为任意正整数时不等式成立。

2. 反证法：反证法是一种常用的证明技巧，可以用来证明某个不等式的否定命题不成立。

假设不等式的否定命题成立，然后通过推理和推导得出矛盾，从而证明原不等式成立。

3. 极值法：极值法是一种常用的证明技巧，可以用来证明某个不等式的最大或最小值。

通过求导或其他方法找到函数的极值点，然后证明在极值点附近不等式成立，从而得出结论。

4. 增减函数法：增减函数法是一种常用的证明技巧，可以用来证明某个不等式随变量的增大或减小而成立。

用数学归纳法证明不等式-高中数学知识点讲解

用数学归纳法证明不等式1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0 时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1/ 2【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n 只观察前 3 项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．2/ 2。

用数学归纳法证明不等式举例

(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;
(2)设数列{an}(n∈N+)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常
数M,使得对于任意的n∈N+,都有an≤M.
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)解:由 h(x)=x3-x− 知,x∈[0,+∞),而 h(0)=0,且
当n=5时,25=32>52=25,
当n=6时,26=64>62=36.
故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2,
题型一
题型二
题型三
题型四
下面用数学归纳法加以证明.
(1)当n=5时,2n>n2显然成立.
(2)假设当n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立,
即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,
因为这是靠不完全归纳法得出的,因此,需要给出一定的逻辑证明,
所以,通过观察、分析、归纳、猜想,探索一般规律,其关键在于正
确的归纳猜想,如果归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明
也就无法进行了.
在观察与归纳时,n的取值不能太少,否则将得出错误的结论.前几
项的关系可能只是特殊情况,不具有一般性,因而,要从多个特殊事
3
假设当 n=k(k≥1)时,ak≤a 成立,则当 n=k+1 时,由+1
= +
≤a+ ≤a3,知 ak+1≤a.
因此,当 n=k+1 时,ak+1≤a 成立.
故对任意的 n∈N+,an≤a 成立.
综上所述,存在常数 M=max{x0,a},使得对于任意的 n∈N+,都有

如何利用数学归纳法解决不等式证明

如何利用数学归纳法解决不等式证明数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明不等式。

它基于一个重要的思想，即如果我们可以证明当n满足某个条件时不等式成立，然后再证明当n+1满足相同条件时不等式也成立，那么我们就可以利用数学归纳法来断定对于所有符合条件的n，不等式都成立。

一、数学归纳法的基本思想数学归纳法的基本思想是通过先证明基础情况的成立，再通过递推关系证明所有情况的成立。

具体来说，数学归纳法包含以下两个步骤：1. 证明基础情况：首先我们需要证明当n取某个特定值时不等式成立，通常这个特定值是最小值（比如0或者1）。

这个步骤是数学归纳法的起点，也是我们证明的基础。

2. 递推关系的证明：接下来我们需要证明当n+1满足某个条件时，由n满足相同条件的情况可以推出n+1满足相同条件。

这个步骤是数学归纳法的核心，通过递推关系的证明，我们可以将不等式的成立从一个情况推广到下一个情况，直到覆盖所有符合条件的情况。

二、利用数学归纳法解决不等式证明的步骤下面以一个具体的例子来说明如何利用数学归纳法解决不等式证明的问题。

例题：证明对于任意正整数n，都有1+2+3+...+n ≤ n^2/2。

证明：步骤一：证明基础情况成立当n=1时，左边的表达式是1，右边的表达式是1^2/2=1/2。

显然左边小于等于右边，基础情况成立。

步骤二：递推关系的证明假设当n=k时不等式成立，即1+2+3+...+k ≤ k^2/2，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立，即1+2+3+...+k+(k+1) ≤ (k+1)^2/2。

根据我们的假设，已知1+2+3+...+k ≤ k^2/2，我们再加上(k+1)两边，得到：1+2+3+...+k+(k+1) ≤ k^2/2 + (k+1)。

我们可以进一步化简右边的表达式：k^2/2 + (k+1) = (k^2 + 2k + 1)/2 = (k+1)^2/2。

因此，1+2+3+...+k+(k+1) ≤ (k+1)^2/2。

人教版数学高二A版选修4-5素材4.2用数学归纳法证明不等式

庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法证明不等式的基本步骤（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或n0=2等等）时，命题正确；（2）证明如下事实：假设当n=k（k∈N且k≥n0）时，命题正确，由此推出当n=k+1时命题也正确.完成了以上两步后，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变，先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形.一般地,只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明.辨析比较数学归纳法与其他证明不等式的方法数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时，各自都有自己的具体要求，比如数学归纳法就有严格的两个步骤，反证法就有严格的格式（必须先假设结论的否命题，再推出矛盾，最后否定假设，肯定原命题），分析法也有自己的格式（综合法的逆过程），综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁，在数学归纳法的第二步中，也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.二、数学归纳法证明不等式的重点和难点1.重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路.2.难点：在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.要注意分离出该命题中，可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），即假设f(k)>g(k)成立，证明f(k+1)>g(k+1)成立.对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用.误区警示数学归纳法证明不等式，不能简单套用两个基本步骤，一定要用到归纳假设，对于n=k+1时的证明注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换.三、数学归纳法证明不等式的运用范围数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.联想发散在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？典题·热题知识点一：命题的结构特征例1 求证：6531312111>+++++++n n n n ,n≥2,n ∈N . 思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，k31不是第k 项，应是第2k 项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k 收尾.根据此分母的特点，在3k 后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了131+k ,231+k ,331+k 共三项，而不是只增加)1(31+k 一项.证明：（Ⅰ）当n=2时，右边=31+41+51+61>65，不等式成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k ∈N )时命题成立，即65312111>+++++k k k .则当n=k+1时，)1(31231131312)1(11)1(1+++++++++++++k k k k k k=)11331231131(312111+-+++++++++++k k k k k k k >)11331231131(65+-++++++k k k k >65)113313(65)11331331331(65=+-+⨯+=+-++++++k k k k k k . 所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n ∈N *均成立. 误区警示错误的思维定式认为从n=k 到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.例2 已知，S n =1+21+31+…+n1,n ∈N ，用数学归纳法证明：n S 2>1+2n,n≥2,n ∈N .思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k 项，而不是只增加了121+k 这一项，否则证题思路必然受阻.证明：（Ⅰ）当n=2时，22S =1+21+31+41=1+>12131+22， ∴命题成立.（Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k ∈N )时命题成立，即k S 2=1+21+31+…+2121k k +>. 则当n=k+1时，12+k S =1+21+31+…+12122112121+++++++k k k k >1+111121212121212211212++++++++>++++++k k k k k k k k2112121212211++=++=⨯++=+k k k k k 所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n ∈N 均成立. 方法归纳本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k 到n=k+1时不等式左端项数的增减情况. 知识点二：比较法例3 求证：1+21+31+…+n 1≥12+n n . 思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明1)1()1(2112+++>++k k k k ，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.证明：（Ⅰ）当n=1时，左式=1，右式=1112+⨯，左式=右式; 当n=2时，左式=1+21=23,右式=1222+⨯=34;23>34,左式>右式. ∴当n=1或n=2时，不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥1)时，不等式成立，即 1+21+31+…+121+≥k k k . 则当n=k+1时，左式=1+21+31+…+1121112111++=+++≥++k k k k k k k . ∵)2)(1(1)1()1(2112++=+++-++k k k k k k k >0, ∴1)1()1(2112+++>++k k k k =右式. 由不等式的传递性，可得左式>右式， ∴当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，对一切n ∈N ,不等式都成立. 误区警示在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定. 知识点三：放缩法例4 证明：n n21312111<++++，n≥2,n ∈N .思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，在证明12112+<++k k k 时，使用了均值定理进行放缩. 证明：(Ⅰ)当n=2时，左边=223212211=+<+，右边=22. ∴左边<右边，∴n=2时，原不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k 时，不等式成立，即k k21312111<++++. 当n=k+1时，112111312111++<++++++k k k k1211)]1([1112112+=++++<+++•=+=<k k k k k k k k k ∴n=k+1时，原不等式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知对n≥2的任何自然数，原不等式成立.知识点四：转化等价命题例5 数列{a n }的通项公式为a n =3n+2，将数列{a n }中的第2,4,8,…,2n 项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，记其前n 项和为S n ,T n =n(9+a n )，当n ≥4时，证明S n >T n . 思路分析：要证S n >T n ，只需证3×2n+1+2n-6>3n 2+11n ，即证2n+1>n 2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化. 证明：∵a n =3n+2， ∴n a 2=3×2n +2，∴S n =a 2+a 4+a 8+…+a n a 2=3(2+4+8+…+2n )+2n=3×2n+1+2n-6. 而T n =n(9+a n )=3n 2+11n. 要证S n >T n ，只需证3×2n+1+2n-6>3n 2+11n ，即证2n+1>n 2+3n+2. 用数学归纳法来证明：(Ⅰ)当n=4时，S 4=98,T 4=92,S 4>T 4成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥4)时，结论成立，就是2k+1>k 2+3k+2，那么 2k+2-［(k+1)2+3(k+1)+2］>2(k 2+3k+2)-(k 2+5k+6) =k 2+k-2=(k+2)(k-1).∵k≥4,∴(k+2)(k-1)>0.∴2k+2>(k+1)2+3(k+1)+2.这就是说，当n=k+1时，S n >T n 也成立. 由(Ⅰ)(Ⅱ)知，对n≥4,S n >T n 都成立. 方法归纳本题用数学归纳法证明2n+1>n 2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：作差——利用归纳假设——变形（因式分解）——定号.这比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的. 巧解提示也可不用数学归纳法来证明2n+1>n 2+3n+2(n≥4)，而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n≥4时， 2n+1=2·2n =2(1+1)n=2(11210n n n n n n C C C C C +++++- ) ≥2(11210n n n n n n C C C C C ++++-)=n 2+3n+4 >n 2+3n+2.知识点五：单调性例6 已知数列{a n }中，所有项都是正数，且a n+1≤a n -a 2n ，求证：a n <n1. 思路分析：（Ⅰ）当n=1时，由a 2≤a 1-a 12=a 1(1-a 1)，且a 1>0,a 2>0，可得a 1<1，命题成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥1)时命题成立，即a k <k1. 则当n=k+1时，a k+1≤a k -a 2k =a k (1-a k )，∵a k <k1， ∴1-a k >1-k 1=kk 1-.由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k 到(k+1)的证明.所以我们可以利用函数f(x)=-x 2+x 的单调性进行证明：函数f(x)=-x 2+x 的最大值为f(21)=41，且在(-∞,21］上为增函数.证明：（Ⅰ）当n=1时，由a 2≤a 1-a 12=a 1(1-a 1)，且a 1>0,a 2>0，可得a 1<1，命题成立.而a 2≤a 1-a 12=f(a 1)≤41<21，故n=2时命题也成立. （Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，命题成立，即a k <k1，因为函数f(x)=-x 2+x 在(-∞,21］上为增函数，所以由a k <k 1≤21及a k+1≤a k -a 2k 得a k+1≤f(a k )<f(k 1)=21k -+k 1=21k k -<11112+=--k k k ,即a k+1<11+k ，所以当n=k+1时，命题也成立.根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n ∈N *，a n <n1. 知识点六：活用起点的位置例7 已知函数f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61，又当x ∈［41,21］时，f(x)≥81. （1）求a 的值；（2）设0<a 1<21,a n+1=f(a n ),n ∈N *,证明:a n <11+n . 思路分析：在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式a n+1=f(a n )=23-a 2n +a n 的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移. (1)解：由于f(x)=ax 23-x 2的最大值不大于61,所以f(3a )=62a ≤61,即a 2≤1.又x ∈［41,21］时f(x)≥81, 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥.813234,81832,81)41(,81)21(a a f f 即解得a≥1. ∴a=1.(2)证明：（Ⅰ）当n=1时，0<a 1<21，不等式0<a n <11+n 成立；因f(x)>0,x ∈(0,32),所以0<a 2=f(a 1)≤61<31,故n=2时不等式也成立.（Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，不等式0<a k <11+k 成立，因为f(x)=x-32x 2的对称轴为x=31,知f(x)在［0,31］为增函数，所以由0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k ),于是有0<a k+1<11+k -32·21)2()1(24212121)1(122+<+++-+=+-+++k k k k k k k k . 所以当n=k+1时，不等式也成立.根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n ∈N *，不等式a n <11+n 成立.方法归纳将起点的位置推移至2的目的，就是要将a k 和11+k 置于函数f(x)的单调区间［0,31］内，从而由0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k ). 问题·探究交流讨论探究问题1 我们已经学习过贝努利不等式（1+x ）n ＞1+nx 的证明，如果我们加强条件，如：已知x ＞-1，且x≠0，n ∈N ，n≥2.如何来证明不等式（1+x ）n ＞1+nx.证明的方法有哪些呢？探究过程:老师：首先验证n=2时的情况.（1）当n=2时，左边=（1+x ）2=1+2x+x 2，右边=1+2x ，因x 2＞0，则原不等式成立. （2）假设n=k 时（k≥2），不等式成立，即（1+x ）k ＞1+kx. 现在要证的目标是（1+x ）k +1＞1+（k+1）x ，请同学们考虑.同学甲：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时.应构造出归纳假设适应的条件.所以有（1+x ）k +1=（1+x ）k （1+x ）.因为x ＞-1（已知），所以1+x ＞0,于是（1+x ）k （1+x ）＞（1+kx ）（1+x ）.同学乙：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx ）（1+x ）≥1+（k+1）x. 显然，上式中“=”不成立.故只需证：（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x. 老师：证明不等式的基本方法有哪些？同学丙：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法.老师：在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用.同学丁：证明不等式（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x ，可采用作差比较法.（1+kx ）（1+x ）-［1+（k+1）x ］=1+x+kx+kx 2-1-kx-x=kx 2＞0（因x≠0，则x 2＞0）. 所以，（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x. 同学甲：也可采用综合法的放缩技巧.（1+kx ）（1+x ）=1+kx+x+kx 2=1+（k+1）x+kx 2.因为kx 2＞0，所以1+（k+1）x+kx 2＞1+（k+1）x ，即（1+kx ）（1+x ）＞1+（1+k ）x 成立. 老师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写.探究结论:在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的重点和难点.要注意分离出该命题中可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），并借助于其他数学方法（如分析法、比较法、综合法、反证法等）.问题2 我们在证明不等式的时候，常用放缩法的技巧来达成目的，可在具体的题目中究竟如何放缩还要视具体的题目而定，我们不妨来看看这样一个命题的证明，求证：2上标n+2＞n 2，n ∈N .探究过程:老师：（1）当n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边＞右边.所以原不等式成立. （2）假设n=k 时（k≥1且k ∈N ）时，不等式成立，即2k +2＞k 2. 现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k+1+2＞（k+1）2成立. 同学甲：利用归纳假设2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2＞2·k 2-2.老师：将不等式2k 2-2＞（k+1）2，右边展开后得k 2+2k+1.由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k 2+2k+1方向进行转化，即2k 2-2=k 2+2k+1+k 2-2k-3.由此不难看出，只需证明k 2-2k-3≥0，不等式2k 2-2＞k 2+2k+1即成立.同学乙：因为k 2-2k-3=（k-3）（k+1），而k ∈N ，故k+1＞0，但k-3≥0成立的条件是k≥3，所以当k∈N时，k-3≥0未必成立.老师：不成立的条件是什么？同学乙：当k=1，2时，不等式k-3≥0不成立.老师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立.那么，n=3时是否也需要论证？同学丙：n=3需要验证，这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基础，而第二步中对于k是大于或等于3才成立，故在验证时，应验证n=3时，命题成立.老师：通过上例可知，在证明n=k+1时命题成立过程中，针对目标k2+2k+1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围（k≥1）太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤（把验证n=1扩大到验证n=1，2，3）的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.探究结论:设S（n）表示原式左边，f（n）表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k+1命题的转化途径是：要注意：这里S′（k）不一定是一项，应根据题目情况确定.。