《孙子算经》

《孙子算经》

《孙子算经》的作者与编纂年代史书没有确实的记载。大约在公元四、五世纪，成书于祖冲之以前。传本《孙子算经》与《隋书·经籍志》所载之《孙子算经》在分卷、度量衡单位名称等方面均不相合，可见传本《孙子算经》在隋以后有人改窜和附加之处。

《孙子算经》现传本(图1-46)分三卷。其中第一卷叙述算筹记数和演算。关于筹算乘除法的具体演算步骤，可用现代语言表述如下。

二数相乘时先用算筹布置一数于上格，一数于下格，没有被乘数和乘数的区别。把下格的数向左边移动，使下数的末位和上数的首位对齐(图1-47)。以上数首位数目分别乘下数各位，从左边到右边，用算筹布置逐步乘得的数于上下两格的中间(图1-48)，并且把后得的乘积依次并入前所已得的数。求得了这一个部分乘积之后，把上数的首位去掉，下数向右边移过一位(图1-48)。再以上数的第二位乘下数各位，并入中间已得的积数内(图1-49)。这样继续下去，到末了上数各位一一去掉，中间所列就是二数的相乘积。例如上述的78×56。最后中间的4368就是所求的乘积。

古代筹算除法的演算步骤和乘法相反。用算筹布置实数(被除数)于中格，法数(除数)于下格，所得的商数布置在上格，先把法数的首位放到实数首位下边(图1-50)，议好应得商数的首位。如果实数不够大，则把法数向右移过一位(图1-51)，再考虑商数的首位，以商数首位乘法数各位，从左边到右边，随即在中格实数内减去每次乘得的数，然后把法数向右移一位，再议商数的第二位(图1-52)。再以商数第二位依次乘法数各位，从实数内减去每次乘积如前(图1-53)。于是，到中格实数减完时，就得到所求的结果。如果实数减不尽就是有余数。

例如上述的4392÷78最

《孙子算经》的第二卷举例说明筹算的分数算法和开平方法(参阅本章第六节)。因而，《孙子算经》是目前发现的一本详载筹算法的书，是我们考证古代筹算法的主要依据。

《孙子算经》的第二卷和第三卷选用了大量浅近易懂的属于日常生活的应用问题(共有64个题)，在《九章算术》深度的范围内每章各举一二个典型例题，并指示其解题方法。这对初学数学的人是很有帮助的。因此，可以说《孙子算经》是一部启蒙的算术入门书。

《孙子算经》中最有价值的内容是第三卷第26题的“物不知数”问题。它最早记叙了举世闻名的孙子“剩余定理”原题是“今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何”。“答曰：二十三。”这个问题用现代数论里的同余式符号来表示即：已知N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)，求最小的数N。答案是N=23该题“术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之得二百三十三，以二百十减之，即得。凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得”。

按照术文的前半段，这问题的解为

N＝70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23。

依据术文的后半段，下列一次同余式组

N≡R1(mod 3)≡R2(mod 5)≡R3(mod 7)的解为

N=70R1＋21R2＋15R3-105p(p为正整数)

[或N≡70R1＋21R2＋15R3(mod 105)]

这个“物不知数”问题是一个很有猜谜味道的趣味题，它的解法也很巧妙。以后，在民间流传很广，并且流传到后世，还有“秦王暗点兵”、“剪管术”、“鬼谷算”、“韩信点兵”等各种有趣的名称。表面上看来，这只是一个游戏题，实际上有很强的天文学背景，同时也是数论中同余式理论的出发点，它的一般情形由我国宋代数学家秦九韶用大衍求一术求得解决。传到国外后，被称为“中国剩余定理”(详见第二章第五节)。