167;13射影平面

请在课后尽可能多地练习画出已知图形的对偶图形、写出已知 命题的对偶命题，并从对偶原则出发，重新审视前面所学知识.
§ 1.5 Desargues定理
一个古老、美丽、实用的重要定理！
一、Desargues定理
1、两个三点形的对应关系 若两个三点形对应顶点的连线共点，
则称这对对应三点形具有透视中心， 透视中心也称为Desargues 点.
图形Σ
作对偶变换
图形Σ'
互为对偶图形
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则
2. 基本对偶图形举例
(1) 点
(1)' 直线
(2) 点列(共线点集) l(P)
(2)' 线束(共点线集)
L( p)
(3) 点场(共面点集)
(3)' 线场(共面线集)
(4) 简单n点形：n个点(其中无 三点共线)及其两两顺次连线 构成的图形.
这是一对自对偶图形，在使用中将不加区分. 简称三点形, 三线形.
§ 1.4 平面对偶原则
完全n点(线)形：n=4
完全四点形ABCD
完全四线形abcd
这是射影几何中最重要的一对图形，我们来作专门的剖析
完全四点形ABCD
完全四线形abcd
顶点 A, B,C, D
边 p, q;r, s;t,u
对边(没有公共顶点的边) p,q; r, s; t,u
3. 作一图形的对偶图形 4. 平面对偶原则
例 2 对偶命题举例
(1) A 过相异二点有且仅有 一条直线.
(1)' PA 两相异直线有且仅有 一个交点.
(2) A 如果两个三点形的对 应顶点连线共点，则其对应 边的交点必定共线.
(2)' PA 如果两个三点形的对 应边交点共线，则其对应顶 点的连线必定共点.
注3: 两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭.
§ 1.3 射影平面
五、复射影平面、实-复射ຫໍສະໝຸດ Baidu平面
注4: 在实-复射影平面上, 下列结论成立. (教材P.28)
(1). 点x在直线u上 x在u上. (1)'. 直线u过点x u过x.
(对 uj xj 0两边取共轭即得结论)
(2). 虚点x在实直线u上 x在 (2)'. 虚直线u过实点x u过x. u上.
(2) a,b,l共点于P; c,d,l共点于Q
(2) ' A,B,L共线于p; C,D,L共线于 q
因此有教材P.32归纳的4个一般步骤, 请在实践中进一步体会.
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则 1. 基本概念 2. 基本对偶图形举例
3. 作一图形的对偶图形 4. 平面对偶原则 (1) 射影命题
若两个三点形对应边的交点共线， 则称这对对应三点形具有透视轴， 透视轴也称为Desargues 线.
有趣 请问你是怎样画出这两个图的？
问题 存在透视中心 存在透视轴？
画图过程演示
§ 1.5 Desargues定理
一、Desargues定理 1、两个三点形的对应关系
2、Desargues定理
定理 (Desargues定理及其逆定理)
注1 只有射影命题才有对偶命题.
注2 对偶原则是一个双射 F： 点几何
线几何
因此，对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转 化，可以起到事半功倍的作用.
§ 1.4 平面对偶原则
二、代数对偶
考察方程
A1 B2 C3 0.
视 (1,2,3) 为点的流动坐标，则方程表示直线 [A, B,C].
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则 1、基本概念 2、对偶图形举例
3、作一图形的对偶图形 例 1 作下列图形的对偶图形(P.32，例1.12).
翻译
点 P,Q
2个 直线 p, q
2条
直线 l, a,b,c, d
5条 点 L, A, B,C, D
5个
关联关系 (1) P, Q在l上；
关联关系 (1) ' p, q过点L；
重要原理！ 贯穿全书！
一、平面对偶原则
1. 基本概念
(1). 对偶元素 点 直线
(2). 对偶运算 过一点作一直线
在一直线上取一点
(3). 对偶变换 互换对偶元素地位、作对偶运算
(4). 对偶图形 在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系
构成的图形Σ，若将Σ中各元素改为其对偶元素、各运算改为其对 偶运算(即对Σ作对偶变换)，则得到另一个图形Σ'. 称Σ、 Σ'为一对 对偶图形.
Desargues定理画图过程演示
提示：从现在起，画图要预先设计、思考，否则天大的 纸也摆不下一张图！真尴尬耶！
§ 1.5 Desargues定理
今日作业 P.35: 1(图1.19, 1.22); 4; 5
祝同学们国庆节快乐！
The Class is over. Goodbye!
课件作者：南师大数科院周兴和
对边点(对边的交点)
pq, r s, t u
X
Y
Z
对边三点形 XYZ
4个 边 a,b,c, d
4条
6条 顶点 P,Q; R, S;T,U
6个
对顶(不在同一边上的顶点)
3组 P,Q; R, S; T,U
3组
对顶线(对顶的连线)
3个
PQ,
x
RS, TU
y
z
3条
对顶三线形 xyz
请课后画图，熟悉图形及名称. 今后将专门研究其重要性质
在射影平面上，若命题A仅与点和直线的关联、顺序关系有关， 则称A为一个射影命题.
(2) 对偶命题
射影命题A
作对偶变换
射影命题PA
(3) 平面对偶原则
互为对偶命题
定理1.9 (平面对偶原则)在射影平面上，
射影命题A成立
射影命题PA成立
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则 1. 基本概念 2. 基本对偶图形举例
定义1.12不 若存 存在 在00
C,使得x j C,使得x j
R, 则P( x1 , R, 则P( x1 ,
x2 , x2 ,
x3 )为实点 x3 )为虚点
注1: 类似定义实直线与虚直线. 于是在实-复射影平面上一个元
素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变.
注2: 实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以 有虚直线，过虚点可以有实直线.
§ 1.3 射影平面
一、实射影平面(二维实射影空间) 二、实射影平面的模型 三、射影坐标变换 四、实射影直线(一维实射影空间)
§ 1.3 射影平面
五、复射影平面、实-复射影平面
实射影平面
三维实向量类: RP2 , (RP2 )*
复射影平面
三维复向量类: CP2 , (CP2 )*
实-复射影平面
将实射影平面嵌入到复射影平面中(作为 其子空间)，即带有虚元素的实射影平面
射影性质
射影不变性 射影不变量
图形在中心射影下保持不变的 性质和数量
目前已知的射影性质：
射影不变性： 点与直线的关联关系(结合性)；同素性；…… 结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变
同素性：点 点；直线 直线 射影不变量： 有待探索. 目前所知几何量均不是射影不变的
§ 1.4 平面对偶原则
得代数对偶原则
注：事实上, 可以有许多种不同的代数对偶映射. 比如将在第四 章学习的配极变换.
§ 1.4 平面对偶原则
二、代数对偶
例 3 代数对偶结论举例.
(1) 点 (A, B,C)
Au1 Bu2 Cu3 0.
(2) 原点 (0,0,1)
u3 0.
(3) 无穷远直线上的点 (A, B,0)
视 [1,2,3] 为直线的流动坐标，则方程表示点 (A, B,C).
考察方程组
A11 A21
B12 B22
C13 C23
0 0
点几何观点：方程组表示两直线交点，解出坐标为 (A, B,C). 线几何观点：方程组表示两点的连线，解出坐标为 [A, B,C]. 规定 令坐标相同的点与直线为一对相互对偶的代数对偶元素.
对于两个对应三点形，
存在透视中心 存在透视轴 .
证明：代数法. 请认真自学. 纳闷 这张美丽的图是如何画的？
注1、仅用综合法，Desargues 定理不可能在平面内获得证明，只 能作为公理.
注2、Desargues定理与其逆定 理实际是一对对偶命题.
注3、满足Desargues定理的一对三点形称为透视的三点形.
(3). 实直线上的点或为实点或 为成对出现的共轭虚点.
(4). 两共轭虚点连线为实直线.
(3)' . 过实点的直线或为实直线 或为成对出现的共轭虚直线.
(4)'. 两共轭虚直线交点为实点.
(5). 过一虚点有且仅有一条实 直线.
(5)'. 在一条虚直线上有且仅有 一个实点.
§ 1.1 射影平面
六、图形的射影性质(射影不变性)
(4)' 简单n线形：n条直线(其 中无三线共点)及其两两顺次 相交的交点构成的图形.
顶点：n个；边：n条.
边：n条；顶点：n个.
下面分别考察n=3和n=4的情形
§ 1.4 平面对偶原则
简单n点(线)形：n=3
简单三点形
简单三线形
简单四点形
简单n点(线)形：n=4 简单四线形
显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关
Au1 Bu2 0.
(4)－(8) Thm. 1.5－Thm. 1.9
(1)' 直线 [A, B,C]
Ax1 Bx2 Cx3 0.
(2)' 无穷远直线 [0,0,1]
x3 0.
(3)' 过原点的直线 [A, B,0]
Ax1 Bx2 0.
(4)'－(8)' Thm. 1.5'－Thm. 1.9'
§ 1.4 平面对偶原则
(5) 完全n点形：n个点(其中 无三点共线)及其每两点连线 构成的图形.
顶点：n个； 边：n(n 1) 条 2
(5)' 完全n线形：n条直线(其 中无三线共点)及其每两直线 交点构成的图形.
边：n条； 顶点：n(n 1) 个
2
完全n点(线)形：n=3
完全三点形ABC
完全三线形abc