数学分析简明教程答案19

第十九章含参变量的积分§1含参变量的正常积分1．求下列极限：（1）⎰-→+11220lim dx x αα；（2）⎰→220cos lim xdx x αα；（3）⎰+→++αααα122011limdx x ．解（1）由于22),(αα+=x x f 在]1,1[]1,1[-⨯-上连续，故⎰-+=1122)(dx x I αα在]1,1[-连续，所以，12)0()(lim lim 1112011220=====+⎰⎰⎰-→-→xdx dx x I I dx x αααα．（2）由于x x x f ααcos ),(2=在]2,0[]2,0[⨯上连续，故⎰=22cos )(xdx x I αα在]2,0[连续，所以，38)0()(lim cos lim 2202020====⎰⎰→→dx x I I xdx x αααα．（3）⎰⎰⎰⎰+++++++-++=++αααααααα11222212212211111111dx x dx x dx x dx x ，由于2211),(αα++=x x f 在]1,0[]1,0[⨯上连续，故⎰++=102211)(dx xI αα在]1,0[连续，所以，411)0()(lim 11lim 10201220παααα=+===++⎰⎰→→dx x I I dx x ．而对R ∈∀α，R x ∈有，ααα≤++⎰2211dx x ，ααα≤++⎰+112211dx x ，因此011lim 0220=++⎰→αααdx x ，011lim 11220=++⎰+→αααdx x ，因而，⎰⎰⎰++-++=++→→+→ααααααααα2201220122011lim 11lim 11lim dxx dx x dx x 411lim 11220πααα=++-⎰+→dx x 2．求)(x F '，其中：（1）⎰-=22)(x xxy dy e x F ；（2）⎰-=xxy xdy e x F cos sin 12)(；（3）⎰++=xb x a dy y xy x F )sin()(；（4）⎰⎰=xx t dt ds s t f x F 0]),([)(22．解（1）35222222222)(2)(2x x x xxy xx x x x xxy e xe dy y e ex edy y ex F -------+-=-⋅+-='⎰⎰．（2）)(sin )(cos 1)(222sin 1cos 1cos sin 21'-'+-='---⎰x e x e dy y e x F xxxx xxy xx e x edy y e xx xx xxy xcos sin 1cos sin cos sin 212---=⎰-．（3）)())(sin()())(sin()cos()('+++-'++++='⎰++x a xz x a x x b x b x b x dy xy x F xb xa =)](sin[)11()](sin[)11(a x x x a xb x x x b x +++-+++．（4）⎰⎰⎰⎰=+∂∂='xx x x x t dt x t xf ds s x f dt ds s t f x x F 020),(2),()),(()(2222．3．设)(x f 为连续函数，⎰⎰++=xxd d x f h x F 02])([1)(ξηηξ，求)(x F ''．解由于⎰⎰⎰⎰++=++=xx x x x du u f d h d x f d h x F 022002)(1)(1)(ξξξηηξξ，所以，]))(()([1)(02322⎰⎰⎰++∂∂+='x x x xx d du u f x du u f hx F ξξξ})]()2(2[)({10322⎰⎰+-++=x xxd x f x f du u f h ξξξ，)]2(3)3(5[1)]2()3(2)2(2)3(3[1)(22x f x f hx f x f x f x f h x F -=-+-=''．注记该题的函数应为⎰⎰++=h hd d x f hx F 002])([1)(ξηηξ（这从该教材第二版亦可得到印证），则⎰⎰⎰⎰+++=++=xhx x hhdu u f d h d x f d h x F 022)(1)(1)(ξξξηηξξ，所以，⎰⎰⎰+-++=∂∂='+++hx h x x d x f h x f h d du u f x h x F 0202)]()([1])([1)(ξξξξξξ])()([122⎰⎰+++-=h x x hx hx du u f du u f h ，)]()()2([1)]()()()2([1)(22x f h x f h x f h x f h x f h x f h x f h x F ++-+=++-+-+=''．4．研究函数⎰+=122)()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数．解当0≠y 时，被积函数在相应的闭矩形上是连续的，因此)(y F 在0≠y 连续．当0=y 时，0)0(=F ．而0>y 时，设m 为)(x f 在]1,0[上的最小值，则0>m ．由于y m dx yx y m y F 1arctan )(122=+≥⎰，而21arctan lim 0π=+→y y ，故有)(lim 0y F y +→若存在，必然)0(02)(lim 0F m y F y =>≥+→π或不存在，因而)(y F 在0=y 时间断．5．应用积分号下求导法求下列积分：（1）⎰-2022)sin ln(πdx x a （1>a ）；（2）)1()cos 21ln(02<+-⎰a dx a x a π；（3）)0,()cos sin ln(202222≠+⎰b a dx x b x a π；（4）)1(tan )tan arctan(20<⎰a dx xx a π．解（1）设⎰-=2022)sin ln()(πdx x a a I ，则有⎰⎰-=-∂∂='20222022sin 2)]sin ln([)(ππdxx a a dx x a xa I )11arctan11(arctan12)sin 1sin 1(22220--+-+-=-++=⎰a a a a a dx xa x a π12-=a π，即c a a da a a I +-+=-=⎰)1ln(1)(22ππ．c 的确定较为困难，可如下进行．)1ln()sin ln()1ln()(220222-+--=-+-=⎰a a dx x a a a a I c πππ)1ln(sin 1ln([ln 220222-+--+=⎰a a dx axa ππa a a dx ax 1ln)sin 1ln(22022-+--=⎰ππ，令+∞→a ，2ln 1ln 2ππ→-+a a a ，又1sin 1110222≤-<-<axa ，所以，0sin 1ln()11ln(222≤-≤-a xa ，)(011ln(211ln()sin 1ln(sin 1ln(220220222022+∞→→-=-≤-≤-⎰⎰⎰a a dx a dx a x dx a x ππππ，2ln π=⇒c ，即21ln 2ln )1ln()(22-+=--+=a a a a a I πππ．（2）设⎰+-=π2)cos 21ln()(dx a x a a I ，则⎰⎰+--=+--='ππ02202cos 2111cos 21)cos (2)(dx a x a a a dx ax a x a a I ⎰⎰+-+--=-+--=ππππ0222022cos 1211)1(1cos 2)1(11dxx aa a a a a dx xa a aa a 222022212)1(2)11arctan()1()1()1(2)1(1aa a a a x a a a a a a a a a +=+-=-++--+--=πππππ，所以，)1ln(21)0()()(202a da a a I a I a I a+=+=-=⎰ππ．（3）将a 看作参变量，b 认为是常数，记⎰+=202222)cos sin ln()(πdx x b x a a I ．可先设0>a ，0>b ，则⎰⎰+=+∂∂='2020222222222cos sin sin 2)]cos sin ln([)(ππdx x b x a x a dx x b x a aa I ．若b a =，则bxdx b a I 2sin 2)(202ππ=='⎰，若b a ≠作代换x t tan =，得⎰⎰∞+∞+++=++='022222022222))(1(212)(ab t t dt t a t dt b t a at a Ib a )(111(2222202222222222+=---=+--+-=⎰∞+πππba b b a a dt ab t b a b t b a a a ，所以，c b a πda b a πa I ++=+=⎰)ln()(，而c b b b I +==)2ln(ln )(ππ2ln π-=⇒c ，于是2ln 2ln )ln()(ba b a πa I +=-+=ππ．若0<a 或0<b ，则可以a -或b -代替a 或b ，因而总有ln)()(b a a I a I +==π．（4）记⎰=20tan )tan arctan()(πdx x x a a I ，令xx a a x f tan )tan arctan(),(=，当2,0π=x 时，f 无定义，但a a x f x =+→),(lim 0，0),(lim 2=-→a x f x π，故补充定义a a f =),0(，0),2(=a f π，则f 在],[]2,0[b b -⨯π连续（10<<b ），从而)(a I 在)1,1(-连续．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈+=,2,0 ,0,2,0( ,tan 11),(22ππx x x a a x f a 显然)0,(x f a 在2π=x 点不连续，但),(a x f a 分别在)0,1(]2,0[-⨯π和)1,0(]2,0[⨯π连续，故有⎰⎰+=='202220tan 11),()(ππdx xa dx a x f a I a ，)0,1(-∈a 或)1,0(∈a ．令t x =tan ，⎰⎰∞+∞+++--+-=++='0222222222222)1)(1(111)1)(1(1)(dt t a t a t a t a a dt t a t a I )1(2])1()1(1[11022222a dt t a a t a +=+-+-=⎰∞+π，)0,1(-∈a 或)1,0(∈a ．积分之1)1ln(2)(c a a I ++=π，)1,0(∈a ；2)1ln(2)(c a a I +--=π，)0,1(-∈a ．因为)(a I 在)1,1(-连续，故)(lim 0)(lim )0(0a I a I I a a -+→→===，得021==c c ，从而得|)|1ln(sgn 2)(a a a I +=π，1||<a ．6．应用积分交换次序求下列积分：（1）)0,0(ln 1>>-⎰b a dx xx x ab ；（2）)0,0(ln )1sin(ln 10>>-⎰b a dx xx x x ab ．解（1）b ab a b a yb a y a b y dy y dx x dx dy x dx dx xx x |)1ln(11ln 10101+=+===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰aba b ++=+-+=11ln)1ln()1ln(．（2）⎰⎰⎰⎰⎰==-b a y b a y a b dx xx dy dx dy x x dx x x x x 1010101sin(ln ]1[sin(ln ln 1sin(ln ．记⎰=1)1sin(ln )(dx x xy I y，则])1()1cos(ln )1sin(ln [11)1sin(ln 11)(10111101⎰⎰--+=+=+++dx x x x x x y dx x y y I y y y ]1(1sin(ln ()1cos(ln [)1(11cos(ln 11101101210⎰⎰---+=+=++dx x x x x x y dx x x y y y y ))(1()1(1)1sin(ln 1()1(12102y I y dx x x y y -+=-+=⎰，所以，1)1(1)(2++=y y I ，因此，)1)(1(1arctan 1)1(1)(ln )1sin(ln 210b a ab dy y dy y I dx x x x x b a b a a b +++-=++==-⎰⎰⎰．7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数：（1）⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(；（2）)()()(b a dy y x y f x F ba<-=⎰．解（1）)(2)()(0x xf dy y f x F x+='⎰，)(2)(3)(x f x x f x F '+=''．（2）⎰-=badyy x y f x F )()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤-=⎰⎰⎰⎰,,))((,,))(())((,,))((b x dy y x y f b x a dy x y y f dy y x y f a x dy x y y f ba b x xa b a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤-='⎰⎰⎰⎰,,)(,,)()(,,)()(b x dy y f b x a dy y f dy y f a x dy y f x F bab x xa b a⎩⎨⎧≥≤<<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=''．b x or a x b x a x f b x b x a x f a x x F ,0,,)(2,0,,)(2,,0)(8．证明：⎰⎰⎰⎰+-≠+-101022222101022222)()(dx y x y x dy dy y x y x dx ．证明⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+-101022102222101022222]1)(12[)(dy y x dy y x x dx dy y x y x dx 4|arctan 111012π==+=⎰x dx x ，⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+-10102221022101022222]121[)(dx y x y dx y x dy dx y x y x dy 4|arctan 11112π-=-=+-=⎰y dy y ，所以，⎰⎰⎰⎰+-≠+-101022222101022222)()(dx y x y x dy dy y x y x dx ．9．设⎰+=122ln)(dx y x y F ，问是否成立⎰=+∂∂='10022ln )0(dx y x yF y ．解1ln ln )0(110-===⎰⎰xdx dx x F ，所以，]11[ln 1)1ln (1)0()(101022221022+-+++=++=-⎰⎰⎰dx dx yx y y y dy y x y y F y F)0(21arctan 2)1ln(]arctan 1[ln 12102+→→++=++=y y y y y x y y y π，即2)0(π='+F ，同样2)0(π-='-F ，因此)0(F '不存在，而00ln 112210022==+=+∂∂⎰⎰⎰==dx dx y x y dx yx y y y ，因此，⎰=+∂∂='10022ln )0(dx y x yF y 不成立．10．设⎰=πθθθ20cos )sin cos()(d x e x F x ，求证π2)(≡x F ．证明R x ∈∀0，函数)sin cos(),(cos θθθx e x f x =在矩形域]2,0[]1,)1([00π⨯++-x x 连续，θθθθθθθsin )]sin sin([)sin cos(cos ),(cos cos x e x e x f x x x -+=亦在矩形域]2,0[]1,)1([00π⨯++-x x 连续，故由积分号下求导数可得⎰⎰==-=∂∂='πθθπθθθθθθθ20cos cos 20000]sin )sin sin()sin cos(cos [),()(d x e x e d x f x x F x x x x x x ⎰⎰-=πθπθθθθθ200cos 200cos 0sin )sin sin()sin sin(100d x e x d ex x x （00≠x ）⎰-⋅-=πθπθθθθθ200cos 00200cos 0)sin ()sin sin(1|)sin sin(100d x e x x x e x x x ⎰-πθθθθ200cos sin )sin sin(0d x e x 0=，当00=x 时，显然0sin cos )0(2020==='⎰ππθθθd F ．由R x ∈0的任意性，0)(='x F ，因此，C x F ≡)(，而πθπ2)0(20===⎰d F C ，所以，π2)(≡x F ．11．设)(x f 为两次可微函数，)(x ϕ为可微函数，证明函数⎰+-+++-=atx atx dzz a at x f at x f t x u )(21)]()([21),(ϕ满足弦振动方程22222x u a t u ∂∂=∂∂及初始条件)()0,(x f x u =，)()0,(x x u t ϕ=．证明)]()([21)]()([21at x at x aat x f at x f x u --+++'+-'=∂∂ϕϕ，)]()([21)]()([2122at x at x a at x f at x f xu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ，)]()([21)]()([21at x a at x a aat x f a at x f a t u -++++'+-'-=∂∂ϕϕ)]()([21)]()([2at x at x at x f at x f a -++++'+-'-=ϕϕ，)]()([2)]()([2222at x at x aat x f at x f a tu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ所以，)]()([2)]()([2222at x at x aat x f at x f a tu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ2222)]}()([21)]()([21{x u a at x at x a at x f at x f a ∂∂=-'-+'++''+-''=ϕϕ，即满足弦振动方程．又)()(21)]()([21)0,(x f dz z ax f x f x u xx =++=⎰ϕ，)()]()([21)]()([2)0,(x x x x f x f a x u t ϕϕϕ=++'+'-=，即满足初始条件．§2含参变量的广义积分1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛：（1）⎰+∞+022)cos(dy yx xy （0>≥a x ）；（2）)(1)cos(02+∞<<-∞+⎰+∞x dy y xy ；（3）)(1b x a dy e y y x ≤≤⎰+∞-；（4）⎰+∞-1cos dy y ye pxy（0>p ，0≥x ）；（5）)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx xx p．证明（1）因为当0>≥a x 时，],0[+∞∈∀y ，有22222211)cos(y a y x y x xy +≤+≤+，而dy y a ⎰+∞+0221收敛，由M 判别法，⎰+∞+022)cos(dy yx xy 在0>≥a x 是一致收敛的．（2）因为，),(+∞-∞∈∀x ，),0[+∞∈y 成立22111)cos(y y xy +≤+，而⎰+∞+0211dy y 收敛，由M 判别法，⎰+∞+021)cos(dy y xy 在+∞<<∞-x 一致收敛．（3）因为],[b a x ∈∀，),1[+∞∈y ，成立{}y M yb a y x e y e ye y ---≤≤,max ，其中{}0,max ≥=b a M ，而⎰+∞-1dy e y yM 收敛，所以⎰+∞-1dy e y y x 在b x a ≤≤一致收敛．（4）用Abel 判别法．已知⎰+∞1cos dy yyp收敛（见第十一章§3习题3（3）），又对每一个),0[+∞∈x ，函数xye-关于y 是单调函数，且),0[+∞∈∀x ，),1[+∞∈y ，有1≤-xye，由Abel 判别法知⎰+∞-1cos dy y ye pxy在),0[+∞一致收敛．（5）由于⎰+∞2sin dx x 收敛（见p56-§11.1-例10），又对每一个),0[+∞∈p ，函数px +11是单调减函数，且),0[+∞∈∀x ，),0[+∞∈p ，有111≤+p x ，由Abel 判别法，)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx xx p 在),0[+∞一致收敛．2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：（1）)0(20+∞<<-+∞⎰αααdx e x ；（2）⎰+∞-0dy xe xy ，（i ）)0(],[>∈a b a x ，（ii ）],0[b x ∈；（3）⎰+∞∞---dx e x 2)(α，（i ）b a <<α，（ii ）+∞<<∞-α；（4）)0(sin 0)1(22+∞<<⎰+∞+-x xdy e y x．解（1）)0(2)(0)(0222>===⎰⎰⎰∞+-∞+--∞+απαααααdu e ux d e dx e u x ，当0=α时积分为0．0>∀A ，由于2limlim 0222πααααα===⎰⎰⎰∞+-∞+-→∞+-→++du e du e dx e u Au o Ax o ，故0ε∃：200πε<<，00>∃α，使得有0020εαα>⎰+∞-Ax dx e ，因此积分非一致收敛．（2）积分对于每一个定值0≥x 是收敛的．当0=x 时，00=⎰+∞-dy xe xy ；当0>x 时1|00=-=∞+-+∞-⎰xy xy e dy xe ．（i ）)0(],[>∈a b a x ，由于aA xA Axy e e dy xe --+∞-≤=<⎰0，故εε1ln 1,00a A =∃>∀，使当0A A >时，就有ε=<-+∞-⎰0aA Axy e dy xe ，于是，在区间)0(],[>∈a b a x 上积分一致收敛．（ii ）由于+→0x 时，1→-Axe，故10:00<<∃εε，对于足够小的0x 值，00ε>-Axe ，故在],0[b 上，积分⎰+∞-0dy xe xy 不一致收敛．（3）对任意固定的α，积分⎰+∞∞---dx ex 2)(α都收敛，且（作代换t x =-α）πα==⎰⎰+∞∞--+∞∞---dt e dx e t x 22)(．（i ）取正数R 充分大，使得R b a R <<<-，显然，当R x ≥时，对一切b a <<α，有22)()(0R x x ee----<<α，而积分⎰⎰+∞--+∞∞---=0)()(222dx e dx eR x R x 收敛，由M 判别法，积分⎰+∞∞---dx e x 2)(α在b a <<α一致收敛．（ii ）0>∀A ，有παααα===⎰⎰⎰+∞∞--+∞--+∞→+∞--+∞→dt e dt e dx e t A t Ax 222limlim)(，故当α充分大时，0)(22επα=>⎰∞+--Ax dx e ，由此可知⎰+∞--0)(2dx e x α在+∞<<∞-α非一致收敛，因而⎰+∞∞---dx e x 2)(α在+∞<<∞-α更非一致收敛．（4）0>∀A ，有)0(sin sin 0)1(22222++∞-+∞--+∞+-→→=⎰⎰⎰x dt e dt e e xx xdy e t Ax t x Ay x，因此，积分⎰+∞+-0)1(sin 22xdy e y x在+∞<<x 0非一致收敛．3．设)(t f 在0>t 连续，⎰+∞)(dt t f t λ当a =λ，b =λ时皆收敛，且b a <．求证：⎰+∞)(dtt f t λ关于λ在],[b a 一致收敛．证明⎰⎰⎰+∞--+∞+=11)()()(dt t f t t dt t f t t dt t f t b b a a λλλ．由于⎰10)(dt t f t a 收敛，因而，对],[b a ∈λ一致收敛，αλ-t 当λ固定时，对t 在]1,0[单调，且1≤-αλt，因此，由Abel 判别法，积分⎰⎰=-11)()(dt t f t dt t f t taa λλ在],[b a 一致收敛．又因为⎰+∞1)(dt t f t b 收敛，故对],[b a ∈λ亦一致收敛，b t -λ当λ固定时，对t 在],1[+∞单调递减，且1≤-btλ，由Abel 判别法，积分⎰⎰+∞+∞-=11)()(dt t f t dt t f t t b b λλ在],[b a 一致收敛．因此，⎰+∞0)(dt t f t λ在],[b a 上一致收敛．4．讨论下列函数在指定区间上的连续性：（1）⎰+∞+=22)(dy yx xx F ，),(+∞-∞∈x ；（2）⎰∞++=21)(dy yy x F x，3>x ；（3）⎰--=ππ02)(sin )(dy y y yx F xx ，)2,0(∈x ．解（1）当0≠x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-==+=+=∞+∞+∞+⎰⎰,0,2,0,2arctan )()(11)(0222x x x yx y d xy dy y x xx F ππ而0)0(=F ，因此，)(x F 在0≠x 连续，在0=x 间断（第一类间断点）．（2）因为)1(,1112222≥<+=+---y y y y y y x x x ，而当3>x 时，无穷积分⎰+∞-121dx y x 收敛，⎰+=1021)(dy y y x F x在3>x 是常义积分，因而)(x F 在3>x 有意义．30>∀x ，03x b <<∃，当1≥y 时，),[+∞∈∀b x ，有222221111----≤<+=+b x x x yy y y y y ，而⎰+∞-121dy yb 收敛，因而⎰∞++021dy y y x 在),[+∞b 一致收敛，因此，⎰∞++=021)(dx yy x F x 在),[0+∞∈b x 连续，由),3(0+∞∈x 的任意性可知，)(x F 在3>x 连续．（3）⎰⎰----+-=ππππππ22202)()sin()(sin )(dy y y y dy y y yx F x x x x ，所以，)2,0(0∈∀x ，0>∃δ，使得δδ-<<<200x ，当]2,[δδ-∈x 时，有δδδδπππππ2(12(1)(1)(sin 11212-----=-≤-≤-y y y y y y y xx x x ，]1,0(∈y ，δδπππππ-----≤-≤--1212)()2(1)(1)()sin(y y y y y y xx x x ，),1[ππ-∈y ，⎰-11)2(1dy yδδπ及⎰----ππδδππ112)()2(1dy y 均收敛，所以⎰--202)(sin ππdx y y y x x 及⎰--πππ22)(sin dx y y y x x 均在]2,[δδ-∈x 一致收敛，因而⎰--ππ02)(sin dy y y yxx 在]2,[δδ-∈x 一致收敛．因此，)(x F 在]2,[δδ-∈x 连续，因而在δδ-<<<200x 连续，由)2,0(0∈x 的任意性，知)(x F 在)2,0(连续．5．若),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，含参变量广义积分⎰+∞=cdyy x f x Ι),()(在),[b a 收敛，在b x =时发散，证明)(x I 在),[b a 不一致收敛．证明目的在于证明：00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃及],[b a x ∈，使得0'''),(ε≥⎰A A dy y x f ．（1）因为⎰⎰⎰+-='''''''''),()],(),([),(A A A A A A dyy b f dy y b f y x f dy y x f ⎰⎰--≥'''''')],(),([),(A A A A dy y b f y x f dy y b f ，因此，若能证明00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃及],[b a x ∈，02),('''ε≥⎰A A dy y b f ，0'''),(),([ε<-⎰A A dy y b f y x f ，（2）则（1）式即可得到．剩下的问题在于证明（2）．01因⎰+∞cdy y b f ),(发散，故00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃，使得02),('''ε≥⎰A A dy y b f ．02但),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 连续，从而在有界闭区域b x a ≤≤，A y A ''≤≤'上一致连续，于是对上述01中00>ε，0>∃δ，当　δ<''-'x x ，δ<''-'y y 且],[,b a x x ∈'''，],[,A A y y '''∈'''时，有A A y x f y x f '-''<''''-''0),(),(ε，从而δ<-b x 时，有AA y b f y x f '-''<-0),(),(ε，由此推得0'''),(),([ε<-⎰A A dy y b f y x f ．6．含参变量的广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在],[b a 一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 上一致收敛．证明必要性．⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛，故0>∀ε，c A >∃0，当0A A >时，有ε<⎰+∞Ady y x f ),(，对],[b a x ∈一致地成立．对任意递增数列{}n A ：)(1c A A n =∞→，首先，∑⎰∑⎰∑=∞→∞=∞=++==nk A A n n A A n n k kn n dyy x f dy y x f x u 11111),(lim ),()()(),(),(lim 1x I dy y x f dy y x f cA cn n ===⎰⎰+∞∞→+，],[b a x ∈∀成立．其次，由于{}n A 单调递减趋于∞+，故对上述c A >0，N ∃满足0A A N ≥，因此当N n >时，0A A A N n ≥>，因此，有ε<==⎰∑⎰∑∞+∞=∞=+nk kA n k A A nk kdy y x f dy y x f x u),(),()(1，],[b a x ∈∀一致地成立，因此级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛于)(x I ．充分性．采用反证法．若不然，设对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n n n ndy y x f x u 在],[b a 上一致收敛，但广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在],[b a 不一致收敛，因此00>∃ε，c A >∀0，0A A >∃，],[0b a x ∈∃，使得00),(ε≥⎰+∞Ady y x f ．取01][)1(0>+=c A，)1(02A A >∃，],[1b a x ∈∃，使得012),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；取11)2(0+=A A ，)2(03A A >∃，],[2b a x ∈∃，使得023),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；取12)3(0+=A A ，)3(04A A >∃，],[3b a x ∈∃，使得034),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；如此一直下去．得到一列单调递增序列{}n A （令C A =1），且)(∞→+∞→n A n 和一列{}],[b a x n ⊂，使得01),(ε≥⎰+∞+n A n dy y x f ，即函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n nn ndy y x f x u在],[b a 非一致收敛，矛盾！因此，⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛．7．用上题的结论证明含参变量广义积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 的积分交换次序定理（定理19．12）和积分号下求导数定理（定理19．13）．证明积分交换次序定理设),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，且含参变量的广义积分⎰+∞=cdyy x f x I ),()(在],[b a 上一致收敛，则⎰⎰⎰+∞=cbabadx y x f dy dx x I ),()(，即⎰⎰⎰⎰+∞+∞=cbabacdx y x f dy dy y x f dx ),(),(．由于⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛⇒对任意递增趋于∞+的数列{}n A （c A =1），函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 一致收敛于)(x I ，由已知条件，),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，因而亦在],[],[1+⨯n n A A b a 上连续，故⎰+=1),()(n nA A n dy y x f x u 在],[b a 连续，因此利用函数项级数和函数的逐项积分定理，有∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=++===11111),(),()()(n A A ban baA A n ban ban nn ndxy x f dy dy y x f dx dx x u dx x I ⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+∞∞→=∞→===++cbaA cban nk A A ban dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy n k k),(),(lim ),(lim 111．积分号下求导数定理设),(y x f 和),(y x f x 都在),[],[+∞⨯c b a 上连续，若⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上收敛，⎰+∞cx dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛，则⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 可导，且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(，即⎰⎰+∞+∞∂∂=c c x dy y x f xdy y x f dx d ),(),(．由于⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上收敛，故对任意趋于∞+的递增函数列{}n A （C A =1），级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 上收敛于)(x I ，又⎰+∞cx dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛，故函数项级数∑∑⎰∞=∞='=+11)(),(1n nn A A x x u dy y x f n n在],[b a 上一致收敛，用函数项级数和函数的逐项求导定理，知⎰∑⎰∑+∞∞=∞==='='+cx n A A x n ndy y x f dy y x f x u x I n n),(),()()(111．8．利用微分交换次序计算下列积分：（1）⎰+∞++=12)()(n n a x dxa I （n 为正整数，0>a ）；（2）⎰∞+---0sin mxdx x e e bxax （0>a ，0>b ）；（3）⎰+∞-0sin 2bxdx xe ax (0>a )．解（1）由于积分⎰+∞+02ax dx对一切00>a 在0a a ≥上一致收敛，得)()()1(10220202a I a x dx dx ax a a x dx da d -=+-=+∂∂=+⎰⎰⎰+∞+∞+∞，由00>a 的任意性，知上式对一切0>a 成立．同理对积分⎰+∞+02ax dx逐次求导，得)(!)1()(!)1(01202a I n a x dx n a x dx da d n nn n nn -=+-=+⎰⎰∞++∞+，但3202122(aa da d a x dx da d ππ-==+⎰+∞，5323202221231)1()12(aada d ax dx da d ππ⋅-=-=+⎰∞+，用数学归纳法，可得121212!)!12()1(++∞+--=+⎰n n n nn an a x dx da d π，所以，)21()21(1!)!2(!)!12(2!2!)!12()(+-+-+-⋅=⋅⋅-=n n n n a n n a n n a I ππ．（2）当0=m 时，0sin 0=-⎰∞+--mxdx xe e bxax ，下设0≠m ．由于0sin lim0=---→+mx xe e bxax x ，因此0=x 不是瑕点，从而当0>a ，0>b 时，被积函数在+∞<≤x 0内连续（0=x 的函数值理解为极限值0），又由于)0(sin >-≤-----x xe e mx x e e bxax bx ax ，而积分⎰∞+---1dx x e e bx ax 收敛，由比较判别法，积分⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax收敛．当00>≥a a 时，积分⎰⎰∞+-∞+---=-∂∂00sin )sin (mxdx e dx mx xe e a ax bxax 是一致收敛的．事实上，由)0(sin 0≥≤--x emx exa ax立即得到此结论．于是⎰∞+---=0sin )(mxdx xe e a I bxax 在00>≥a a 时可以在积分号下求导数，得220sin )(ma mmxdx e a I ax +-=-='⎰+∞-，由00>a 的任意性知，上式对一切0>a 均成立，从而c m ada m a m a I +-=+-=⎰arctan )(22，其中c 为待定常数，令b a =，则得c m b b I +-==arctan 0)(mbc arctan =⇒．所以，)0()(arctan arctan arctan sin 20≠+-=-=-⎰∞+--m abm a b m m a m b mxdx x e e bx ax ．（3）⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞-+∞-+-=-=0000cos 2sin 21)(sin 21sin 2222bxdxe a b bx e a e bxd a bxdx xe ax ax ax ax ⎰+∞-=0cos 22bxdx e ab ax 设⎰+∞-=0cos )(2bxdx eb I ax ，由于bx e ax cos 2-与bx xe bx e bax ax sin )cos (22---=∂∂都是0≥x ，+∞<<∞-b 上的连续函数，且此时22cos ax ax e bx e --≤，22sin ax ax xe bx xe --≤，而积分⎰+∞-02dx e ax 与⎰+∞-02dx xe ax 都收敛，因此积分⎰+∞-0cos 2bxdx e ax 与⎰+∞-0sin 2bxdx xe ax 均在),(+∞-∞上一致收敛，从而可以在积分号下求导数．所以，)(2sin )(02b I abbxdx xe b I ax -=-='⎰+∞-，解得，ab ceb I 42)(-=，其中c 是待定常数．但21)0(02πa dx e I ax ==⎰∞+-，得ab a b axe aa b e a a b b I a b bxdx xe 42402224212)(2sin --∞+-===⎰ππ．9．利用对参数的积分法计算下列积分：（1）⎰∞+---022dx xeebx ax （0>a ，0>b ）；（2）⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax （0>a ，0>b ）．解（1）⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--=-=-batx abtx bx ax dxxe dt dt e xdx dx xe e2222⎰⎰⎰+∞-+∞--=--=b a tx ba tx dte t tx d e dt t 0022221)(21ab a b t dt t b a b a ln 21)ln (ln 21ln 2121=-===⎰．（2）⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--==-b a tx b a tx bxax mxdxe dt dt e mxdx mxdx xe e 000sin sin sin abm a b m m a m b m tdt m t m baba+-=-==+=⎰222)(arctan arctan arctanarctan（)0≠m ，而0=m 时，0sin 0=-⎰∞+--mxdx xe e bxax ，这也可以归结到前面最终答案中0=m 的情形，所以，abm a b m mxdx x e e bx ax +-=-⎰∞+--20)(arctan sin ．10．利用⎰+∞+-=+0)1(2211dy e xx y 计算Laplace 积分⎰+∞+=021cos dxx x L α和⎰+∞+=0211sin dx x xx L α．解先计算⎰+∞+=021cos dx xxL α．若0=α，则2arctan 111cos 00202πα==+=+=∞++∞+∞⎰⎰x dx xdx x x L ，故下设0≠α．⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞+∞+-+∞==+=0000)1(02cos cos )(1cos 22xdx e dy e xdx dy e dx x x L yx y x y ααα⎰⎰⎰∞++-∞++-∞+--==⋅=0)(0)4(042222221dt eedt ety dy e yet t t yyααααπππ，其中第四个等号应用了8（3）中)(b I 的结果．下面计算⎰∞++-=0)(2dt eI t α．设u t =-α，则+∞<<t 0时，+∞<<∞-u ，αα22+=+u t )2(212α++=⇒u u t ，从而有du u u u du u u dt ααα22212221(21222+++=++=，代入得⎰⎰∞+∞-+-∞++-+++==duu u u e dt eI u t αααα222122)2(0)(22)2222(21022)2(022)2(22⎰⎰∞++-∞-+-+++++++=du u u u e du u u u e u u αααααα)2222(21022)2(022)2(22⎰⎰∞++-∞++-+++++-+=du u u u edu u u u e u u αααααα（前者作负代换）ααααπ2020)2(0)2(2221222-∞+--∞++-∞++-====⎰⎰⎰edu e e du e du e u u u ，所以，αααααππππ--∞++-=⋅=⋅=⎰e e edt eeL t 2220)(2．再计算⎰+∞+=0211sin dx x xx L α．显然⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+∞+∞==+=+=ααααππ000020021221cos 1cos duedu e dx x ux du du x ux dx L uu απαπαπααπαααααsgn )1(20,)1(2,0,)1(20,,0,200----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎰⎰e e e du e du e u u ．11．利用)0(2102>=⎰+∞-x dy e xxy π计算Fresnel 积分⎰⎰+∞+∞==002sin 21sin dx xxdx x F ，和⎰⎰+∞+∞==0021cos 21cos dx xxdx x F ．解在积分⎰+∞-=221dy e xxy π的两端乘以x sin ，再在100x x x ≤≤<上积分，则得⎰⎰⎰+∞-=1210sin 2sin x x xy x x dy xe dx dx xx π.由于202sin y x xy e ex --≤⋅，而⎰+∞-020dy e y x 收敛，故积分⎰+∞-02sin dy xe xy 对10x x x ≤≤一致收敛，从而可以进行积分顺序的交换，得⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-++-=⋅=4201021021]1)cos sin ([2sin 2sin dy yx x y e dx e x dy dx xx x x xy x x xy x x ππ⎰⎰∞+-∞+-+++=04004201cos 21sin 22020dyy e x dy y y e x y x y x ππ⎰⎰∞+-∞+-+-+-04104211cos 21sin 22121dy y e x dy y y e x y x y x ππ，上述等式右端的诸积分分别对+∞<≤00x ，+∞<≤10x 都是一致收敛的(120≤-y x e，121≤-y x e ，且⎰∞++0421dy y y 及⎰+∞+041ydy均收敛)．于是，它们分别是10,x x (+∞<≤00x ，+∞<≤10x )的连续函数，从而令+→00x ，可在积分号下取极限，得⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞++-+-+=04104210401cos 21sin 212sin 21211dy y ex dy y y e x y dy dx xx y x y x x πππ，且由于上式右端后两个积分均不超过积分)(0211121+∞→→=⎰∞+-x x dy e y x π．故0104221→+⎰∞+-dy y y e y x ，)(0110421+∞→→+⎰∞+-x dy y e y x ，令+∞→1x 取极限，222212sin 040ππππ=⋅=+=⎰⎰∞+∞+y dy dx xx ，所以，22sin 21sin 002π==⎰⎰∞+∞+dx x x dx x ．同理可得，22cos 02π=⎰∞+dx x ．12．利用已知积分2sin 0π=⎰+∞dx x x ，202π=⎰∞+-dx e x 计算下列积分：（1）dx x x⎰∞+024sin ；（2）⎰+∞cos sin 2dy yyxy π；（3）⎰+∞-022dx e x ax （0>a ）；（4）⎰+∞++-0)(2dx e c bx ax （0>a ）；（5）⎰∞+∞-+-dx ex a x )(222（0>a ）．解（1）⎰⎰⎰∞++∞∞+∞++-=-=03040424cos sin 4sin )1(sin sin dx xxx x x x xd dx x x dxx xx x ⎰+∞-=0cos )3sin sin 3(⎰⎰⎰+∞+∞+∞--=0002sin 214sin 212sin 23dx x x dx x x dx x x 42212)4(44sin 21)2(22sin 00πππ=⋅-=-=⎰⎰+∞+∞x d x x x d x x ．（2）⎰⎰+∞+∞-++=0)1sin()1sin(1cos sin 2dyyyx y x dy y yx y ππ])1sin()1sin([100⎰⎰+∞+∞-++=dy yy x dy y yx π⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<=-=<<-=．1,0,1,21,1,1,11,0,11,21,11,1x x x x or x x or x x。