中考中的格点三角形问题

中考中的格点三角形问题

在正方形的方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形.在初中数学教材中都提到过格点三角形，并且近两年中考中都出现过一些题目，基本上是有关全等三角形、相似三角形、面积等问题，现特举例说明.

图1

例1 在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图1中画一个△A１B１C１∽△ABC （相似比不为1），且△A１B１C１都在单位正方形的顶点上.（上海市中考题）

略解：AB=，BC=2,AC=,如图1，只要使Ａ１Ｂ１=2，Ｂ１Ｃ１=2,Ａ１Ｃ１=2或Ａ１Ｂ１=1,B１C１=，A１C１=

等.

例2 如图2，在正方形的网格上有两个三角形△Ａ１Ｂ１Ｃ１和△Ａ２Ｂ２Ｃ２，则△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的面积比等于（）．

图2

A.4∶1

B.3∶1

C.5∶2

D.5∶3

（山东省中考题）

略解：先找到两个三角形△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△Ａ２Ｂ２Ｃ２是等高的，所以面积之比是两对应边Ｂ１Ｃ１与Ｂ２Ｃ２之比，为5∶2.

例3 在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，请你在图310×10的方格中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明.要求：所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母.（2001年山西省中考题）

略析：这样的三角形很多，找到两个相似的格点三角形（如图3），然后求出每个格点三角形的边长，证出三对对应边成比例或两对对应角相等，那么这两个三角形相似.

图3

例4 在方格纸上有一个△ＡＢＣ，它的顶点位置如图4所示，则这个三角形是________________三角形.（江西省中考题）

图4

略解：得出AB=AC=，是等腰三角形.

例5 如图5所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

（1）使三角形的三边长分别为3、2、（在图5中画一个即可）.

（2）使三角形为钝角三角形且面积为2（在图6中画一个即可）.

略解：（1）这样的三角形（如图5）为△ABC.

图5 图6

（2）如图6，△DEF即为所求.

格点三角形的问题不但考查了相似三角形的判定与性质定理、勾股定理、正方形的性质、钝角三角形、等腰三角形的性质、面积，而且考查了同学们的运算、画图、推理等技能，并且考查了学生分析问题的能力.通过格点三角形的问题的学习，发现了在数学学习中要善于运用课本上的习题，并能进行归纳、引申、变式训练，以来培养同学们的创新意识及创新能力.