条件数学期望例题
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条件数学期望例题
1
例 1 某人准备读一章数学书或者一章历史 书．如果他在读一章数学书中印刷错误数是服从 均值为 2 的 Poisson 分布，而他在读一章历史 书中的印刷错误数是服从均值为 5 的 Poisson 分布．假设该读者选取哪一本书是等可能时，求 该读者遇到的印刷错误数的期望是多少？
2
解：
其中最后一个等式用了上例中建立的结果
EYn 1．由前面的方程推出 ERn n ．
28
5
解：
以 N 记事故次数，以 X i 记在第 i 次事故中的受伤人
数 ， i 1, 2, ， 那 么 伤 者 总 数 可 以 表 示 为
N
X i ．现在
i 1
E
N i 1
Xi
E
E
N i 1
Xi
N
．
6
但是
N
n
E i1 Xi N n E i1 Xi N n
n
E Xi i1
9
例 3（几何分布的期望） 连续抛 掷一枚出现正面的概率为 p 的硬币直 至出现正面为止．问需要抛掷的次数的 期望多少？
10
解：
以 N 记需要抛掷的次数，而令
1 Y 0
如果第一次抛掷的结果是正面 ． 如果第一次抛掷的结果是反面
11
现在
EN EEN Y
PY 1 EN Y 1 PY 0 EN Y 0
果矿工选取第 2 个门，那么 3 小时后他将回到他的矿井．但是，一旦他回到
矿井，问题就和以前一样了，而直到他到达安全地的附加时间的期望正是
EX ．因此，
EX Y 2 3 EX ．
在方程（3.7）中其它等式后面的推理是相似的．
17
因此，
EX 1 2 3 EX 5 EX ，
3 解方程，得
记 X 表示该读者遇到的印刷错误
数．令
1 Y 2
如果读者选取数学书 ， 如果读者选取历史书
3
则由全期望公式，得
EX EEX Y PY 1EX Y 1 PY 2EX Y 2
12 15 7 ． 222
4
例 2（随机变量的随机数量和的期望） 假定一工 厂设备每周出现事故次数的期望为 4．又假定在每次 事故中受伤工人数是具有相同均值 2 的独立随机变 量．再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的 事故数目相互独立．每周受伤人数的期望是多少？
定相继的抛掷是独立的，这就推出在第一次出现反面直到正面首次
出现时的附加抛掷次数的期望是 EN ．
13
因此，
EN Y 11．
将式（3.6）代入方程（3.5），推出
EN p 1 p1 EN ，
解方程，得
EN 1 ．
p
14
例 4 某矿工身陷有三个门的矿井之中．经第 1 个门的通道行进 2 小时后，他将到达安全地；经第 2 个门的通道前进 3 小时后，他将回到矿井原地； 经第 3 个门的通道前进 5 小时后，他又将回到矿井 原地．假定这个矿工每次都等可能地任意一个门， 问直到他到达安全地所需时间的期望是多少？
EX 10 ．
18
例 5 在一次聚会上，N 个人将自己戴的 帽子扔到屋子中央．将这些帽子充分混合 后，每人随机选取一顶．求取到自己的帽子 的人数的期望数．
19
解：
以 X 记取到自己的帽子的人数．再设
1 Xi 0
第 i 个人取到自己的帽子， 其它情形
i
1,
2,
,
N ，
N
则有 X X i ． i 1
15
解： 令 X 记矿工到达安全地所需的时间，以Y 记他 最初选取的门．现在
EX EEX Y
3
P Y
Βιβλιοθήκη Baidu
i
EX
Y
i
i 1
3 1 E X Y i ， i1 3 16
然而
EX Y 1 2 ， EX Y 2 3 EX ， EX Y 3 5 EX ． （3.7） 为了理解为什么这是正确的，我们以 EX Y 2为例，给出其如下推理．如
20
现在，因为第 i 个人等可能地在 N 个帽子中取一个，
这就推出
PXi
1
P第 i
个人取到自己的帽子
1 N
，
随之，
EXi 1 PXi 1 0 PXi 0 1 ， i 1, 2, , N ．
N
21
将上式代入上面的方程，得
EX
E
N
X
i
i1
N
EXi i 1
N
1
i1 N
1．
因此，无论聚会上有多少人，平均总有一人取到自己的帽子．
ERn n ．
这个结果是正确的，现在给出一个归纳性证明．
由 于 显 然 有 ER1 1 ， 假 定 对 于 k 1, , n 1 ， 有 ERk k ．
24
为了计算 ERn ，我们先对第一轮中的匹配
数 Yn 取条件．它给出
ERn EERn Yn
n
PYn
i
ERn
Yn
i．
i0
25
现在，给定最初一轮的全部匹配数 i ，需 要的轮数将等于1加上余下的 ni 个人 匹配他们的帽子需要的匹配轮数．
（由 N 与 X i 相互独立）
nEX1， （由随机变量序列Xi独立同分布）
7
由它导出
E N Xi N N EX1
i1
因此，
E
N i 1
Xi
E E
N i 1
Xi
N
EN EX1
EN EX1．
8
所以，在上面的例子中，在一周中受伤人
数的期望值为
E
N
X
i
EN
E
X1
4
2
8
．
i1
22
例 6（匹配轮数问题） 假设在上面的例题中， 取到自己的帽子的人离开，而其余人（没有匹配 到的那些人）将他们取的帽子放到房间中央，混 杂后重新取．假定这个过程连续进行到每个人都 取到自己的帽子为止．假定 Rn 是开始时有 n 个人
出席的轮数．求 ERn ．
23
解： ⑴ 由上例推出，不论留在那里的人有多少，平均每轮有一 次匹配．这就使人想到
p EN Y 1 1 p EN Y 0．
（3.5）
12
然而
EN Y 11， EN Y 01 EN．
（3.6）
为了明白为什么式（3.6）是正确的，我们考察 EN Y 1，由于Y 1，
我们知道第一次抛掷结果是正面，所以，需要抛掷的次数的期望是
1．另一方面，如果Y 0 ，第一次抛掷结果是反面．然而，由于假
26
所以，
n
ERn PYn i 1 ERn i i0 n 1 ERn PYn 0 PYn i ERni i 1 n 1 ERn PYn 0 n iPYn i （由归纳假设） i 1 1 ERn PYn 0 n1 PYn 0 EYn ERn PYn 0 n1 PYn 0 27
1
例 1 某人准备读一章数学书或者一章历史 书．如果他在读一章数学书中印刷错误数是服从 均值为 2 的 Poisson 分布，而他在读一章历史 书中的印刷错误数是服从均值为 5 的 Poisson 分布．假设该读者选取哪一本书是等可能时，求 该读者遇到的印刷错误数的期望是多少？
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解：
其中最后一个等式用了上例中建立的结果
EYn 1．由前面的方程推出 ERn n ．
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解：
以 N 记事故次数，以 X i 记在第 i 次事故中的受伤人
数 ， i 1, 2, ， 那 么 伤 者 总 数 可 以 表 示 为
N
X i ．现在
i 1
E
N i 1
Xi
E
E
N i 1
Xi
N
．
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但是
N
n
E i1 Xi N n E i1 Xi N n
n
E Xi i1
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例 3（几何分布的期望） 连续抛 掷一枚出现正面的概率为 p 的硬币直 至出现正面为止．问需要抛掷的次数的 期望多少？
10
解：
以 N 记需要抛掷的次数，而令
1 Y 0
如果第一次抛掷的结果是正面 ． 如果第一次抛掷的结果是反面
11
现在
EN EEN Y
PY 1 EN Y 1 PY 0 EN Y 0
果矿工选取第 2 个门，那么 3 小时后他将回到他的矿井．但是，一旦他回到
矿井，问题就和以前一样了，而直到他到达安全地的附加时间的期望正是
EX ．因此，
EX Y 2 3 EX ．
在方程（3.7）中其它等式后面的推理是相似的．
17
因此，
EX 1 2 3 EX 5 EX ，
3 解方程，得
记 X 表示该读者遇到的印刷错误
数．令
1 Y 2
如果读者选取数学书 ， 如果读者选取历史书
3
则由全期望公式，得
EX EEX Y PY 1EX Y 1 PY 2EX Y 2
12 15 7 ． 222
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例 2（随机变量的随机数量和的期望） 假定一工 厂设备每周出现事故次数的期望为 4．又假定在每次 事故中受伤工人数是具有相同均值 2 的独立随机变 量．再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的 事故数目相互独立．每周受伤人数的期望是多少？
定相继的抛掷是独立的，这就推出在第一次出现反面直到正面首次
出现时的附加抛掷次数的期望是 EN ．
13
因此，
EN Y 11．
将式（3.6）代入方程（3.5），推出
EN p 1 p1 EN ，
解方程，得
EN 1 ．
p
14
例 4 某矿工身陷有三个门的矿井之中．经第 1 个门的通道行进 2 小时后，他将到达安全地；经第 2 个门的通道前进 3 小时后，他将回到矿井原地； 经第 3 个门的通道前进 5 小时后，他又将回到矿井 原地．假定这个矿工每次都等可能地任意一个门， 问直到他到达安全地所需时间的期望是多少？
EX 10 ．
18
例 5 在一次聚会上，N 个人将自己戴的 帽子扔到屋子中央．将这些帽子充分混合 后，每人随机选取一顶．求取到自己的帽子 的人数的期望数．
19
解：
以 X 记取到自己的帽子的人数．再设
1 Xi 0
第 i 个人取到自己的帽子， 其它情形
i
1,
2,
,
N ，
N
则有 X X i ． i 1
15
解： 令 X 记矿工到达安全地所需的时间，以Y 记他 最初选取的门．现在
EX EEX Y
3
P Y
Βιβλιοθήκη Baidu
i
EX
Y
i
i 1
3 1 E X Y i ， i1 3 16
然而
EX Y 1 2 ， EX Y 2 3 EX ， EX Y 3 5 EX ． （3.7） 为了理解为什么这是正确的，我们以 EX Y 2为例，给出其如下推理．如
20
现在，因为第 i 个人等可能地在 N 个帽子中取一个，
这就推出
PXi
1
P第 i
个人取到自己的帽子
1 N
，
随之，
EXi 1 PXi 1 0 PXi 0 1 ， i 1, 2, , N ．
N
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将上式代入上面的方程，得
EX
E
N
X
i
i1
N
EXi i 1
N
1
i1 N
1．
因此，无论聚会上有多少人，平均总有一人取到自己的帽子．
ERn n ．
这个结果是正确的，现在给出一个归纳性证明．
由 于 显 然 有 ER1 1 ， 假 定 对 于 k 1, , n 1 ， 有 ERk k ．
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为了计算 ERn ，我们先对第一轮中的匹配
数 Yn 取条件．它给出
ERn EERn Yn
n
PYn
i
ERn
Yn
i．
i0
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现在，给定最初一轮的全部匹配数 i ，需 要的轮数将等于1加上余下的 ni 个人 匹配他们的帽子需要的匹配轮数．
（由 N 与 X i 相互独立）
nEX1， （由随机变量序列Xi独立同分布）
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由它导出
E N Xi N N EX1
i1
因此，
E
N i 1
Xi
E E
N i 1
Xi
N
EN EX1
EN EX1．
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所以，在上面的例子中，在一周中受伤人
数的期望值为
E
N
X
i
EN
E
X1
4
2
8
．
i1
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例 6（匹配轮数问题） 假设在上面的例题中， 取到自己的帽子的人离开，而其余人（没有匹配 到的那些人）将他们取的帽子放到房间中央，混 杂后重新取．假定这个过程连续进行到每个人都 取到自己的帽子为止．假定 Rn 是开始时有 n 个人
出席的轮数．求 ERn ．
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解： ⑴ 由上例推出，不论留在那里的人有多少，平均每轮有一 次匹配．这就使人想到
p EN Y 1 1 p EN Y 0．
（3.5）
12
然而
EN Y 11， EN Y 01 EN．
（3.6）
为了明白为什么式（3.6）是正确的，我们考察 EN Y 1，由于Y 1，
我们知道第一次抛掷结果是正面，所以，需要抛掷的次数的期望是
1．另一方面，如果Y 0 ，第一次抛掷结果是反面．然而，由于假
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所以，
n
ERn PYn i 1 ERn i i0 n 1 ERn PYn 0 PYn i ERni i 1 n 1 ERn PYn 0 n iPYn i （由归纳假设） i 1 1 ERn PYn 0 n1 PYn 0 EYn ERn PYn 0 n1 PYn 0 27