单自由度系统(自由振动)

第二章 单自由度系统的自由振动

本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。

§2-1 无阻尼系统的自由振动

无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当

其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K

若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向

下为正，向上为负，表示振动过程中质量

块的位置。现设质量m 向下运动到x ，此

时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的

()x m x k W F

=+∆-=∑m

未挂量位

静平衡位置

k

一自由度弹簧—质量系统

∆

==k mg W x

m W

x

()

k +∆

乘积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m (1-1-1 令

m

k

p =

2

(1-1-2)

单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为

02=+x p x

(1-1-3)

设方程的特解为 st e x =

将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为

ip

s p s ±==+2,1220

则(1-1-3)的通解为

pt

D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4)

C 、

D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时

00,x x

x x == （1-1-5）

则

pt p

x

pt x x sin cos 00 +

= （1-1-6）

经三角变换，又可表示为

)sin(α+=pt A x

（1-1-7）

其中 0

012

20,x px tg p x x A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α （1-1-8） 自由振动的振幅A 和初相位角与系统的参数和初始条件有关。

系统的振动周期

k

m

p T π

π22==

秒（s ）

系统振动的频率为

) ( 21211mg k g m k T f n =∆∆

===

π

π

秒-1(s -1

)或(Hz) 系统振动的圆频率为T

f m k p n ππ22=== 弧度/秒(rad/s)

§2-2 能量法

系统的动能T 与势能U 之和称为系统的机械能。在没有阻尼的情

形下，系统没有能量损失，机械能将守恒，即

T+U=常量

（2-2-1） 因而有

0)(=+U T dt

d

（2-2-2）

应用上二式好可得到系统的运动方程和固有频率。

设物体按x=Asin （

n

+）的规律作谐振动。取平衡位置为零势

能点，物体在任意位置x 时的动能T 和势能U 分别为

222

,2x k U x m T ==

将上二式代入（1-2-2）可得系统运动方程。 当物体运动经过平衡位置x=0时，动能达最大值

22max 2

1

A mp T =

当物体位移最大时，即x=A ，T=0，U 达最大值 2max 2

1kA U = 因此 T max =U max

（2-2-3）

即 2222

121kA A m n =ω 得 m

k p m

k

p ==

,2 §2-3 阻尼系统的自由振动

实际系统中阻尼总是存在的，它不断消耗系统的能量，使运动逐

渐减弱，直至振动完全消失。

阻尼产生的根源有多种，不同的来源产生的阻尼力其变化规律也

不相同。常见是一种粘性阻尼，其阻尼力与物体运动速度大小成正比，方向与速度方向相反，即 F R =cv

其是c 称为粘性阻尼系数，v 为物体的运动速度。 粘性阻尼系统的运动方程:

0=++kx x c x

m (2-3-1) 令

p m

c

p m k ζ2,2==

(2-3-2)

(1-3-1)运动方程化为

022=++x p x p x

ζ (2-3-3)

设特解 st e x =

得特征方程及特征根

p

s p ps s )1(,022

2,122-±-==++ζζζ

(2-3-4) 方程(1-3-3)的通解 t s t s e C e C x 2

1

21+=

(2-3-5)

或

p

s p

s e

C e

C x )1(2)1(122,122,1---=-+-=+=ζζζζ

(2-3-6)

阻尼讨论:

1.>1,大阻尼情形

由于s 1、s 2 均为负实数，运动解x 将按指数规律减小，并趋于平

衡位置。

2.=1,临界阻尼情形