第2讲 概率(知识点串讲)(原卷版)

第二讲概率

1．事件的相关概念

2．事件的关系与运算

定义符号表示包含如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B B⊇A

3. (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． 例1．(2019·山东曲阜检测)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )

A ．至少有一个黑球与都是黑球

B ．至少有一个黑球与都是红球

C ．至少有一个黑球与至少有一个红球

D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球

4．概率和频率

(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A

n

为事件A 出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．

5. (1)概率与频率的关系

关系⇨频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个

确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值

(2)随机事件概率的求法

求法⇨

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生

的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率

例2、(2019·湖北武汉调研)一鲜花店根据一个月(30天)某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下，将日销售量落入各组区间的频率视为概率.

(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天作促销活动，求这2天恰好是在日销售量低于50枝时的概率．

6．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1． (2)必然事件的概率P (E )＝1． (3)不可能事件的概率P (F )＝0． (4)概率的加法公式

如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率

若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．

例3．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )

A ．0.3

B ．0.4

C ．0.6

D ．0.7

练习．(2019·山东济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为____________．

练习．(2019·辽宁大连月考)从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P (A ∪B )＝____________(结果用最简分数表示)．

练习. (2019·河南洛阳检测)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17

，都

是白子的概率是12

35

，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )

A ．1

7

B ．12

35

C ．17

35

D ．1

7．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

8．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

9．古典概型的概率公式

P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数

．

例4．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )

A ．0.6

B ．0.5

C ．0.4

D ．0.3

练习．(2019·山东淄博月考)从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是____________．

练习．(2019·辽宁大连模拟)将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为____________．

10. 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：

化事件—将题目条件中的相关知识转化为事件 ↓

辨概型—判断事件是古典概型还是其他概型

↓

列事件—选用合适的方法列举基本事件

↓

求概率—代入相应的概率公式求解

例5. (2019·山东泰安模拟)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：

(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？

(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．