材料力学弯曲变形PPT课件
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材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l,抗弯刚度为
EI,在右端受有集中力偶M0的作用,求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0, FAy= FBy= M0/l 从而,截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形:
线位移:长度变化
水平方向—小变形假定,挠曲轴平坦,忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角:角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角,
一般用q (x)表示截面转角,并且以逆时针为正
q'
对于细长梁,略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是,梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理,对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
材料力学弯曲应力PPT课件
M
Fl
F 解:1.画梁的剪力图和弯矩图
按正应力计算
max
M max Wz
6F1l bh2
F1
bh2
6l
107 100 1502 109 6
3750N
3.75kN
按切应力计算
max 3FS / 2A 3F2 / 2bh
F2 2 bh / 3 2106 100150106 / 3 10000N 10kN 35
截面为bh=30 60mm2 的矩形
求:1截面竖放时距离中性层20mm 处的正应力和最大正应力max; (2) 截面横放时的最大正应力max
b
解: M Fa 5103 0.18 900Nm
竖放时
横放时
IZ
bh3 12
30 603 12
54cm 4
y 20mm : M y 33.3MPa
主要公式:
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系
1 M
EIZ
My
IZ
为曲率半径
1
为梁弯曲变形后的曲率
11
§5.2 纯弯曲时的正应力
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力
My
IZ
•横截面惯性积 Iyz =0
•弹性变形阶段 ( p )
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲近似使用
12
试校核梁的强度。
分析: 非对称截面,要寻找中性轴位置 作弯矩图,寻找需要校核的截面
要同时满足 t,max t , c,max c
25
例题
解:(1)求截面形心
52
z1 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
《材料力学》课件8-2两相互垂直平面内的弯曲
弯曲变形的分布
弯曲变形的分布规律
两相互垂直平面内的弯曲变形分布规律与受力情况、材料性质和结构特点等因 素有关。通过分析这些因素,可以确定变形在两个相互垂直平面内的分布情况 。
变形分布对结构性能的影响
弯曲变形的分布情况直接影响到结构的承载能力和稳定性。因此,在设计过程 中,需要充分考虑变形分布的影响,以优化结构性能。
THANKS
感谢观看
案例三:机械零件的弯曲分析
总结词
机械零件的弯曲分析是机械工程中常见的分析类型,主 要关注的是零件在不同工况下的变形和应力分布。
详细描述
在机械零件设计中,两相互垂直平面内的弯曲分析是评 估零件性能的重要手段。通过弯曲分析,可以优化零件 的结构设计,提高零件的刚度和强度,降低应力集中和 疲劳失效的风险,从而提高机械设备的可靠性和稳定性 。
弯曲强度的分布
弯曲强度的分布规律
在两相互垂直平面内的弯曲中,弯曲强度在截面上呈线性分布,即离中性轴越远,弯曲 强度越大。
弯曲强度分布的影响因素
弯曲强度分布受到多种因素的影响,如截面形状、材料性质、弯矩大小等。例如,对于 矩形截面,其弯曲强度分布与弯矩的分布密切相关。
弯曲强度的应用
结构设计中的应用
案例二:建筑结构的弯曲分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构的弯曲分析主要关注的是在不同载荷和环境因素 下结构的稳定性。
建筑结构的弯曲分析需要考虑的因素包括结构形式、材料 特性、支撑条件、外部载荷等。通过弯曲分析,可以预测 建筑在不同工况下的变形和应力分布,从而优化建筑设计 ,提高建筑的稳定性和安全性。
03
两相互垂直平面内的弯曲的应力 分析
弯曲应力的计算
弯曲应力的计算公式
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 (Basic concepts and example problems)
一、工程实例(Example problem)
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程(differential equation of the deflection curve) 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响; (2) 略去了 w2项; (3) tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值,
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学课件ppt-6弯曲变形
L 6
(x
a)3 ]
4、求转角
x 0 代入得:
A
1
x0
Fb(L2 b2 ) 6LEI
x L代入得:
B
2
xL
Fab(L 6LEI
a)
目录
5、求 ymax 。
由 dy 0 求得 ymax 的位置值x。
dx
A
Fb(L2 b2 ) 6LEI
0,
C
1
xa
Fab(a b) 3LEI
0( a
例6-4 已知:q、l、 EI,求:yC ,B
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24 EI
,
wC1
5ql 4 384 EI
w
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3
3EI
,
wC 3
3ql 4 48 EI
w
B2
(ql) l2 16 EI
ql3 16 EI
,
wC 2
(ql )l 3 48 EI
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
y1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2 )x],
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2 )]
F(x 2
a)2
,
y2
(x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2)x
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
材料力学课件-6弯曲变形
对称截面形状
对称的截面可以减小弯曲变形和应力。
非对称截面形状
非对称的截面会导致不均匀的弯曲应力分布。
材料的弯曲变形特性
1 弯曲模量衡量材料的抗弯能力,源自 材料的刚度有关。2 弯曲强度
材料能够承受的最大弯曲 应力。
3 弯曲韧度
材料在弯曲变形下能够吸 收的能量。
测量材料的弯曲模量的方法
1
简支梁试验
通过在两个支点上加力,测量梁的挠度
梁的截面形状对弯曲变形的影响
形状对称性
对称的截面形状可以减小弯曲变形。
截面面积
较大的截面面积可降低弯曲应力和变形。
截面离心率
截面离心率越小,弯曲变形越小。
欧拉公式的介绍
欧拉公式描述了弯曲梁的变形和应力之间的关系。它是弯曲变形的经典理论基础,广泛应用于工程设计和结构 分析中。
对称性在弯曲变形中的应用
三点弯曲试验
2
来计算弯曲模量。
在梁的中间施加力,测量梁的挠度和应
力来计算弯曲模量。
3
四点弯曲试验
在梁的两端和中间分别施加力,测量梁 的挠度和应力来计算弯曲模量。
弯曲变形在工程设计中的应用
桥梁设计
弯曲变形是桥梁结构中常见的变形,需要考虑材料 的弯曲特性。
建筑设计
梁在建筑中承担重要的结构作用,需要考虑弯曲变 形。
材料力学课件ppt-6弯曲 变形
本节将介绍弯曲变形的定义和原理,讨论梁的截面形状对弯曲变形的影响, 以及欧拉公式的应用。还将探讨对称性在弯曲变形中的重要性,介绍材料的 弯曲变形特性,并介绍测量材料弯曲模量的方法。最后,我们将探讨弯曲变 形在工程设计中的应用。
弯曲变形的定义和原理
弯曲变形是指材料在承受外部力矩作用下产生的曲线形变。这种变形是由梁 的纵向拉伸和压缩引起的。
材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为:
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度(
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度(
B
转角
4、挠度与转角的关系:
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
《弯曲变形》课件2
航空航天器中的弯曲变形控制
总结词
航空航天器中,弯曲变形控制对于确保 飞行器的气动性能和结构稳定性至关重 要。
VS
详细描述
在航空航天领域,弯曲变形控制涉及到飞 机和航天器的整体和局部结构的刚度和稳 定性要求。为了减小弯曲变形,需要采取 一系列的设计和控制措施,如优化结构设 计、加强材料和制造工艺的控制等。这有 助于提高飞行器的性能和安全性。
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THANKS
弯曲变形的定义
01
02
03
弯曲变形
物体在受到外力作用时, 其形状发生改变的现象。
弯曲变形的程度
与外力的大小、物体的材 料性质和受力方式等因素 有关。
弯曲变形的特点
物体在受力后发生弯曲, 但内部结构并未发生破坏 或永久性变形。
弯曲变形的应用场景
桥梁工程
桥梁在车辆和风载等外力作用下会发 生弯曲变形,但设计合理的桥梁结构 能够保证安全性和稳定性。
几何方程
描述了物体形状的变化和 应变之间的关系。
弯曲变形的能量平衡方程
应变能
物体因弯曲变形而储存的能量, 与应力和应变有关。
外力势能
物体受到的外力与位移有关,可以 转化为势能。
能量平衡方程
描述了物体在弯曲变形过程中能量 的变化和平衡。
弯曲变形的有限元分析
有限元模型
将物体划分为有限个小的单元 ,每个单元有一定的属性和行
分析
对实验结果进行统计分析,研究弯曲变形的规律和特点。通过对比不同材料和规 格的试样,分析其抗弯性能和影响因素。结合理论分析,探讨弯曲变形的本质和 机理。
06
弯曲变形的实际应用案例
桥梁工程中的弯曲变形控制
总结词
桥梁工程中,弯曲变形控制是确保结构安全和稳定的关键因素。
《材料力学弯曲》课件
定义方式
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示,即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量,R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ,并利用应变计测量应变 值,从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件,建 立物体的有限元模型,通 过模拟受力情况下的变形 过程,计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形,利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图,可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中,物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同,形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域,应变会集中 增大,可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中,材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ,工程师可以更好地理解材料的性能,预测其在各种工况下的行为,从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设,这些假设简 化了问题的复杂性,使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力,提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示,即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量,R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ,并利用应变计测量应变 值,从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件,建 立物体的有限元模型,通 过模拟受力情况下的变形 过程,计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形,利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图,可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中,物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同,形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域,应变会集中 增大,可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中,材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ,工程师可以更好地理解材料的性能,预测其在各种工况下的行为,从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设,这些假设简 化了问题的复杂性,使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力,提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
材料力学 弯曲变形PPT课件
EIw ql x3 - q x4 Cx D 12 24
(3) 利用边界条件确定积分常数
x 0: w0 D0 x l : w 0 C ql3
24
(4) 求转角方程、挠度方程 EIw ql x q x2 0 x l
22
w q l3 6lx2 4x3
转角方程
EI为常量 EIw [ M (x)dx] dx Cx D 挠度方程
C、D 为积分常数;由边界条件和连续性条件确定。
边界条件: 固定端:w=0;θ=0;
铰支座:w=0;
弯曲变形的对称点:θ=0。
连续性条件: 挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个
值。
[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程,并确定绝
第七章 弯曲变形
第七章 弯曲变形
§7.1 概述 §7.2 挠曲线的近似微分方程 §7.3 用积分法求挠度和转角 §7.4 用叠加法求挠度和转角 §7.5 梁的刚度计算 §7.6 简单超静定梁 §7.7 梁的弯曲应变能 §7.8 提高弯曲刚度的措施
§7-1 概述
一、工程中的弯曲变形问题
若变形过大,会引起较大的振动,破坏起吊工 作的平稳性。
又如,车床主轴:
若变形过大,不 仅会影响齿轮的 啮合和轴承的配 合,使传动不平 稳,磨损加快, 而且还会严重地 影响加工精度。
4
又如,如图所示轮轴: 若轮轴的变形过大,会使轮子不能正常啮合,影响工 作的平稳性等。
5
但有时又有相反要求,要求构件有适当变形,才能 符合使用要求。
如汽车叠板弹簧,要求产生较大变形,才能在车辆 行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。
24EI
w
q
w qx l3 2lx2 x3
材料力学课件第六章1 弯曲变形
代入通解得方程组: F (0) 2 Fl (0) C 0
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得: C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率:
1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y
w x
x
3
F
因此有:
2
2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得: 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得:RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担:P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量: (1)截面位移及特点: •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移, 较竖向线位移小许多。
(2)度量变形的基本量: •挠度w: 横截面形心的竖向线位移,向上为正。 •截面转角θ :横截面绕中性轴的角位移,逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 (1)简化: 认为截面只有竖向位移。 y (2)简化后问题的特点: •挠曲线方程为挠度方程:
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得: C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率:
1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y
w x
x
3
F
因此有:
2
2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得: 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得:RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担:P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量: (1)截面位移及特点: •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移, 较竖向线位移小许多。
(2)度量变形的基本量: •挠度w: 横截面形心的竖向线位移,向上为正。 •截面转角θ :横截面绕中性轴的角位移,逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 (1)简化: 认为截面只有竖向位移。 y (2)简化后问题的特点: •挠曲线方程为挠度方程:
材料力学_-刘鸿文-第四版_第六章_课件__弯曲变形
A
B
x l
y A
θ maxB
max
x
' Plx Px2
EI 2EI Plx 2 Px3
2EI 6EI
l
P
max 及 ωmax 都发生在自由端截面处
max
|xl
Pl 2 EI
Pl 2 2EI
Pl 2 2EI
(
)
max
|xl
Pl 3 3EI
()
例题: 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ωmax 和最大转角 max .
B
A
B
例题:确定梁的边界条件和连续条件
A
B
C
D
边界条件
A 0 D 0, D 0
EI M(x)
A
B
C
D
连续条件
C左 C右 , C左 C右 B左 B右
例题 : 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 P 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ωmax 和最大转角 max .
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1 (x)
| (1
''| '2 ) 32
1 M(x)
( x) EI
| ''|
(1
'2
)
3 2
M ( x) EI
| ''|
(1
2
)
3 2
M ( x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右
为正,y 轴竖直向上为正。
y
M>0
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2.确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3.建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
(-)
(+)
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解:1.确定约束力 从铰处将梁截开
qa
(+)
(-)
qa/2 qa2/2
(-)
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到:
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3.建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
(-)
(+)
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解:1.确定约束力 从铰处将梁截开
qa
(+)
(-)
qa/2 qa2/2
(-)
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到:
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
《材料力学》课件5-6梁内的弯曲应变能
弯曲应变能对应力分布的影响
弯曲应变能对梁内应力分布的影响
在梁弯曲过程中,由于弯曲应变能的存在,梁内的应力分布会发生变化。在靠近梁的自由端区域,弯 曲应变能较低,因此应力水平较低;而在靠近固定端区域,弯曲应变能较高,因此应力水平也相应较 高。
弯曲应变能对梁的承载能力的影响
弯曲应变能的大小直接影响到梁的承载能力。随着弯曲应变能的增加,梁的承载能力会逐渐降低。因 此,在设计梁时,应充分考虑弯曲应变能的影响,以确保梁的承载能力满足使用要求。
应变能与外力势能的关系
01
应变能是外力势能的一部分,当外力对物体做功时,应变能逐 渐增加。
02
当外力去除后,应变能逐渐释放,使物体恢复原状。
应变能的大小取决于材料的弹性模量、应变程度以及外力的大
03
小和作用方式。
弯曲应变能的计算方法
弯曲应变能计算公式: $U = int_{L} frac{1}{2}EI left( frac{dtheta}{dx} right)^2 dx$
弯曲应变能对应力平衡的影响
弯曲应变能对梁内应力平 衡的影响
在梁弯曲过程中,由于弯曲应变能的释放或 吸收,会对梁内的应力平衡状态产生影响。 当梁受到外力作用时,弯曲应变能的变化会 引起梁内应力的的影响
在分析梁的稳定性时,需要考虑弯曲应变能 的作用。通过引入弯曲应变能的相关因素, 可以更准确地预测梁在受到外力作用时的稳 定性状态,从而为梁的设计和优化提供依据
梁的弯曲应变能与截面尺寸的关系
截面尺寸对弯曲应变能的影响
梁的截面尺寸对弯曲应变能有一定影响。一般来说,随着截面尺寸的增大,梁的弯曲应 变能也会相应增大。这是因为较大的截面尺寸意味着更多的材料参与弯曲变形,导致应
变能的增加。
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= (x)
规定:向上的挠度为正,向下的挠度为负。 逆时针转角为正,顺时针转角为负。
挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、
弯曲刚度之间存在下列关系:
1= M EI
08.05.2020
.
5
在Oxw坐标系中,挠度与转角存在下列关系:
dw tan
dx
y
在小变形条件下,挠曲
线较为平坦,即很小,因而 上式中tan。于是有
08.05.2020
.
8
w
d2w M dx 2 EI
M O
M x
d2w M dx2 EI
由于规定挠度向上为正,有
d 2w M dx2 EI
——挠曲线微分方程
仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。
08.05.2020
.
9
§6-3 用积分法求弯曲变形
d2w dx2
M (x) EI
对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯矩
横截面形心处的铅垂位移,称为挠度(deflection),用w 表示; 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 角度,称为转角(slope) ,用 表示;
横截面形心沿水平方向的 y
位移,称为轴向位移或水
平位移。通常不予考虑。 O
x
w
08.05.2020
.
4
y
挠曲线方程:
w = w(x)
转角方程:
dw
dx
08.05.2020
.
6
§6-2 挠曲线的微分方程
力学中的曲率公式
1M EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx2
3
1
d
w
2
2
dx
08.05.2020
.
7
小挠度情形下
dw
2
1
dx
d2w
1
dx2
3
1
dw dx
2
2
d2w M
dx2 EI
弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号 与 w 坐标的取向有关。
第六章 弯曲变形
基本要求
1.明确挠曲线、挠度和转角的概念,深刻理解 梁挠曲线近似微分方程的建立。
2.掌握计算梁变形的积分法和叠加法。 3.了解梁的刚度条件。
08.05.2020
.
1
§6-1 引 言
一.工程实际中的弯曲变形
08.05.2020
.
2
二.基本概念
1.挠曲线:梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹
最大转角:
A
Fab(lb) 6lEI
B
Fab(l 6lEI
a)
当a>b时,B为最大转角。
08.05.2020
.
19
AC段
16F lEb(lI2b23x12)
w16 FlE b1(lxI2b2x12)
y
A x1 a
F
C
x2 b
l
08.05.2020
.
12
例6-1 已知:悬臂梁受力如图示,F、l、EI均为
已知。求:梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角
y
A x l
F Bx
08.05.2020
.
13
y 解:
M (x)F(lx) A
x
Ew IF xFl
l
Ew IFx2FlxC 2
EIw Fx3Flx2C xD 62
由边界条件: x0 时 w , 0 , w 0
b均为已知。试:讨论这一梁的弯曲变形。 y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
08.05.2020
.
16
解: AEC I段 w1: M Flb(xx11)Fl bx1
y A
x1
EIw1
Fbx12 l2
C1
EI1wFl bx613C1x1D1FRA
Fb l
a
F
C
x2 b
l
B
FRB
Fa l
x
C E段 w B I2 M F : (lx2 b x)2 F F l(xx 2 b 2 aF )(x2a)
~~ ~
~
~ ~
~ ~
~
~ ~~
~
~ ~ ~~
位移边界条件
AA
A
A
AA
A
A
A
A AA
wA 0
wA 0
A 0
光滑连续条件
A
A A AA
A
A AA A
A AA A
wA
-弹簧变形
wALwAR
ALAR
wALwAR
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.
11
积分法求解步骤
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段点:集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
性范围内加载,梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。
这一连续光滑曲线称为弹性曲线(elastic curve),或挠
度曲线(deflection curve),简称弹性线或挠曲线。
y
F
O
x
08.05.2020
.
3
2.挠度与转角
梁在弯曲变形后,横截面的位置将发生改变,这种位 置的改变称为位移。梁的位移包括三部分:
得: CD 0
08.05.2020
.
F Bx
14
梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
Fx (x2l)
2EI w Fx2 (x3l)
6EI
y
A x l
最大转角和最大挠度分别为:
maxB
Fl2
2EI
wmaxvB
Fl3 3EI
08.05.2020
.
F Bx
15
例6-2 已知:简支梁受力如图示。F、EI、l、a、
方程M(x),代入上式后,分别对x作不定积分,得到包含积
分常数的挠度方程与转角方程:
(x)ddw xE MIdxC
——转角方程
w(x)(E Md I)x d xC xD——挠度方程
其中C、D为积分常数。Leabharlann 08.05.2020.
10
积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或
中间绞链连续条件确定。
~~ ~
08.05.2020
.
18
梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
AC段
16F lEb(lI2b23x12)
w16 FlE b1(lxI2b2x12)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
CB段 2 6 F lE [b l2 (I b 2 3 x 2 2 ) 3 b l(x 2 a )2 ]
w 2 6 F lE [b l2 (I b 2 x 2 2 )x 2 b l(x 2 a )3 ]
l
E2 I w F l x 6 b 2 3F(x2 6a)3C 2x2D 2
Bx
由连续和光滑条件: x 1 x 2 a 时 w 1 w 2 , ,w 1 w 2
得:
C 1C 2, D 1D 2
由边界条件: x10时w , 10 x2l时w , 20
得:
D1D20 C1C2F 6lb (l2b2)
Ew I2 F l x b 22 2F(x2 2a)2C2
08.05E .2020 2 I w F l x 6 b 2 3F(x2 6a .)3C 2x2D 2
17
EIw1
Fbx12 l2
C1
EI1wFl bx613C1x1D1
y
F
A
C
x1 x2
a
b
Ew I2 F l x b 22 2F(x2 2a)2C2