高中数学-教师-对数函数反函数
数学必修一第四章知识点总结
高中数学人教必修第一册第四章知识点讲解对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：a x 的系数：1a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)性质定义域R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a 对对数函数的图象的影响①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C4的a 值依次为()A 43，35，110B 43，110，35C ．43，，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，43，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ；②把x 替换为y ，y 替换为x ；③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A ．log 2xB ．12xC ．12log xD ．2x－2解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．答案：A【例3－2】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9，即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点()A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．答案：A 4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)中仅含有一个常数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n (k ＞0，且k ≠1)，则解得a ＝k ＞0．还可以直接写出1na m =，再利用指数幂的运算性质化简1nm ．例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a =±．又a ＞0，所以12a =．当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a ---====．【例4－1】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝()A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ．∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝5(2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较log a ab，log bba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2ab＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32．(2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )∞设u ＝3－2x ，x ∞∵u ＝3－2x ∞y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝log 2(3－2x )∞∴函数y ＝log 2(3－2x )∞【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a aa ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )，又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．(3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝(－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k ln()＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．(2)由于m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x ，令479.888ln479.8x=-，解得x ≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。
对数函数图象及性质——图象反函数
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$log_a(M^n)=nlog_aM$，$log_aM=log_bM/log_ba$等。
02
对数函数图象分析
图象形状及特点
定义域与值域
对数函数的定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty,
+ty)$。
过定点
对数函数图象恒过定点$(1,0)$ 。
单调性
当底数$a>1$时，对数函数在 其定义域内是增函数；当 $0<a<1$时，对数函数在其定 义域内是减函数。
涉及两者综合应用问题
对数函数与反函数的综合应用
01
结合对数函数和反函数的性质，解决一些复杂的数学问题，如
求解方程、不等式、最值等。
图象与反函数的综合应用
02
利用对数函数的图象和反函数的性质，解决一些实际问题，如
经济学中的复利计算、物理学中的声强级计算等。
拓展应用
03
将对数函数和反函数的综合应用拓展到其他领域，如工程学、
对数函数与反函数互化方法
对于对数函数$y=log_b(x)$，其反函 数为指数函数$y=b^x$。
互化方法：将对数函数的$x$和$y$互 换，即可得到其反函数的解析式。
两者在解决实际问题中联系和应用
在解决一些实际问题时，可以利 用对数函数和指数函数的互逆关 系进行转化，从而简化问题的求 解过程。
例如，在求解复利、增长率等问 题时，可以利用指数函数进行建 模；而在求解对数方程、求解某 些特定函数的定义域等问题时， 则可以利用对数函数的性质进行 求解。
此外，在一些工程和科学计算中 ，也经常需要利用对数函数和指 数函数的互逆关系进行数值计算 和数据处理。
高一数学指、对数函数与反函数
赴成吉思汗陵。第二天早上，成陵的主殿上野鸽子翻飞环绕，它们喜欢这里，老祖宗也喜欢它们。主殿穹隆高大，色调是蓝白这样的纯色，蒙古人喜欢的两种色彩。后来，我从远近很多角度看成陵的主殿，它安详，和山势草木土地天空和谐一体，肃穆，但没有凌驾天地的威势。从陵园往 下面看，河床边上有一排餐饮的蒙古包，门口拴马。天低荒漠，平林如织。此时心情如同唱歌的心情，不是唱“草原上升起不落的太阳”，而如“四季”—— 春天来了，风儿到处吹，土地苏醒过来。本想留在春营地，可是路途太远，我们催马投入故乡怀抱。 民歌有意思，留在春营地和 路途太远有什么关系呢？让不矛盾的矛盾，为归乡找了一个理由。 还有一首民歌《飞快的枣红马》，词曰：“骑上我飞快的枣红马，顺着山坡跑下去。可爱的姑娘索波达，挑着木桶走了上来。”这个词，你说说，不是电影的分镜头剧本吗？画面闪回。但人家是词，唱的就是这个。什么 爱呀之类在这里没有。不是说词越干净越好，是说“爱”这个东西要藏着。草芽藏在泥土里露头张望，是爱。把“爱”挂嘴边，大大咧咧走街串巷唱，已经不是“爱”，是吆喝。 有一次，内蒙广播合唱团在中山音乐堂演出。起初，他们不知观众是什么人，反正是人和在的人，唱。第一 首歌、第二首歌，观众还安静，响着高雅艺术场所应有的节制的掌声。从第三首歌开始，场上哗动，或说骚乱，人们站起来高喊点歌，有人拥到台前观看。艺术家有些慌乱，当他们听到众人齐声合唱，看到台下的人一边唱一边擦眼泪的时候，才明白： ——他们是到内蒙古插队的知青。 知青听到《孤独的白驼羔》，听到《陶爱格》和《达古拉》回到耳边，终于坐不住了。他们的嗓子不归自己管了，加入合唱。人审美，其实是回头看自己的命运。对他们来说，辽阔的草原、冬夜、茫茫雪地、马群、干牛粪炊烟的气味、蒙古语、房东妈妈，都在歌声中次第出现，没有一样 遗落。是什么让他们泪水难当？是他们的青春。青春贯穿其中，他们为自己偷洒一滴泪。 演出结束，知青们冲到后台，不让演员走，掣他们胳膊请吃饭。后来，大家到一处宽敞的饭店唱了一夜。 在成陵边上，我们喝完奶茶从屋里出来，同行的张新化请一位牵马的蒙古老太太唱歌。她不 唱，说“你们骑马吧。” 新化说，“我们不骑马，听你唱也给钱。” 她说：“不行。”不骑马，光唱歌就收人家钱，那不行。 我们说，你牵马走，我们在后边跟着你走，听你唱歌。老太太不同意，不骑马怎么收你钱？结果是，我们骑上马，白发苍苍的老太太牵马在前面走。年龄像我 母亲一样的老太太，在沙土地上牵马行走，唱：“西北方向升起黑云，是不是要下雨了？我心里像打鼓一样不安稳，是不是达古拉要和我离分？” 马走着，宽大的腹肋在我腿间挪移，不得劲儿。老太太边唱边议论“苦啊，真苦。”我以为她说嘴里味道，后知说歌词。她说：“亲人离开 亲人，多苦啊！” 苦啊。我们骑着马走了一大圈儿。老太太的歌声在沙土地上，在灌木和干涸的河道上面环绕。她声音不亮，岁数大，呼吸不行了，却是原汁原味。一只小狗在马前跑，离马蹄子不远停下，再跑，我担心马踩着它。它停下必抬头看我一眼，不知道在看什么。 财富离幸福 有多远？ 贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。 ? （一） ? 赚钱以及把钱花出去所获得的，有时只是一种方便，而非幸福。 ? 譬如买车与备手机，好处是把一个人很快地从甲地运到 乙地及至庚地辛地，还能及时和很多人谈话。简言之，可以多办事，但不一定和幸福有关。坐车幸福吗？如果不论效率，与在家里坐沙发无甚差别。打手机更谈不上幸福，它不是抽烟与吃饺子。虽然有人站在马路上欣欣然以手机通话，仿佛幸福。 有人不想多办事，也不想到哪儿去 以及跟别人谈话，这样会妨碍他们宁静（实际是幸福）的生活，不如书与琴棋有用。毛主席做了许多事情，但必定不是拼命打手机及开车游走所成，乾坤在手岂不比爱立信在手更好？就是羊毫在手糖块在手及至小人书在手也比方向盘在手更愉快安全。因为前者是享受，后者是劳役或伪享 受，与幸福无关。 （二） 人有时不知道自己到底要什么。 如果把一个人的消费愿望摊开，广告引导占三成，如名牌之类；模仿他人占三成，譬如对中产阶级生活方式自觉不自觉的模仿；还有三成是实践童年以及青少年时期未遂之愿，在此，潜意识发生作用；人本能的满足只 占一成，饮食男女而已。 于是，日日杯觥交错并不幸福，因为广告引导与追随潮流所满足的只是转瞬即逝的虚荣心，明他已经成了某种人，譬如富人，明完了也就完了，无它。而满足童年的愿望属于今天多吃几个包子填充往年某日的饥饿，满足的只是一种幻像。而本能的满足，只 需一箪食、一瓢饮、一位贤惠的女人和一张竹榻。 但人们不甘心于简朴，虽然简朴离真理近而离虚荣远。人用力明自己是重要的，于是以十分的努力去满足一分的愿望，然而这与幸福无关。 （三） ? 如果有钱并有闲，想从食色层面提升并扩展自己的幸福，需要文化的介入。尼采 说：“我发现了一种幸福——歌剧！”对与古典音乐无缘的人，歌剧则不是幸福，你无法领受《图兰朵》中“今夜无人入睡”带来视听圣餐。明仁天皇迷恋海洋微生物，丘吉尔迷恋油画，爱因斯坦迷恋小提琴，是大幸福，也是文化上的幸福。他们也是有钱的人，但倘无文化也只能蹈入口 腹餍之途。 ? 一些有钱人易烦恼，因为他们的消费与性格有关，与文化无关；与面子有关，与愉快无关；与时尚有关，与需要无关。 （四） ? 不久前，我假道太行山区远游，见到那里的农人希望到年底能添一头驴或牛，以帮助运输或种地。到了县城，酒桌上争就当科长或两室一厅的 住房。在，听朋友交流打高尔夫球的体会。而到了深圳，几位巨富比较各自的健康状况，甘油三脂，高密度脂蛋白胆固醇（HDL），后者在每公升血液中多一毫克，心肌梗塞的发生率会下降3%。 ? 我想到，太行山农人的甘油三脂和HDL一定最让深圳的富豪倾心。这样，又想起海因里 希·伯尔那篇一个渔夫在海边晒太阳，有游客劝他工作等等的小说。人的努力常常会使目标回到原地，换句话说，人也许不知道自己的幸福在哪里。 有时，人只为温饱而工作，没有办法去为幸福而谋划，因为谋划的结果大多是财富或满足，离幸福仍然很远。 ? 其实幸福太简单，简 单到我们承担不了。 （五） ? 为什么穷人离幸福很近？ ? 如同朴素离美很近那样，穷人的愿望低而单纯。人在风雪路上疾走，倘遇暖屋烤火，是一种幸福。把汗湿的鞋垫抻出来，手脚并感炉火的温暖，与封侯何异？这时，倘有一杯热茶与点心，更让人喜出望外。这样的例子太多，如 避雨之乐，推重载之车上坡幸无顶风之乐，在街头捡一张旧报纸读到精妙故事之乐，在快餐店吃饭忽闻老板宣布啤酒免费之乐，走夜路无狼狗尾随之乐。穷人太容易快乐了，因为愿望低，“望外”之喜于是多多。有钱人所以享受不到这些货真价实的幸福，是因为此类幸福需要风雪、推车、 捡报纸以及走夜路这些条件。 ? 穷人的幸福差不多是以温饱不逮为前提的，满足了温饱，幸福却变得悭吝，它的价值又升高了。 ? 除非你有意过一种简单的生活。 （六） 贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯 洁和情操的醇厚，靠内力实现。 蝴蝶一如梦游人 ? 会飞的生灵里，蝴蝶一如梦游人。它好像不知住哪儿飞，断断续续。鲍罗丁有一首曲子叫《我的生活》，什么样的生活，醉醺醺，有一点混乱，甜蜜忧伤各半，如蝴蝶。 ? 蝴蝶蹁跹，像找丢失的东西。仔细看，它啥东西都没丢，触须、 肚子和翅膀是它的全部家当。它飞，一跳一跳，像人跺脚。也许，它视陆地为海洋，怕浪花打湿衣袂。 ? 蝴蝶有大梦，伏落灌木的时候，其实在工作。梦里飞里，直至被露水凉醒。诺瓦利斯说：“如果在梦中梦见自己做梦，梦就快醒了。”它梦见城市的水泥地面长满卷心菜和十字花科 椰菜，楼顶冒出清泉，空气变好了。蝴蝶对空气很挑剔，它的肺太纤弱。蝴蝶梦到月亮跟太阳商量，替值一个白班。月色昼夜相连，雾一般的蝴蝶弥漫城市上空，如玉色的落叶，却无声息。 人愿把蝴蝶想象为女性，正如可以把鸟类想象为男性。鸟儿高飞，一如士兵。蝴蝶一生都在草地 灌木中。蝴蝶假如不怯生，从敞开的窗飞进人类的家里，那么—— 落在酣睡的孩子的额上，有如天使的祝福。 落书页上，好像字句开出素白的花。 落碗边，仿佛里面装满泉水。 ? ?落鞋上，这双鞋好像刚刚走过长满鲜花的草地。 ? 落于枕旁，人梦见青草像一片流水淹没大地。 ? 蝴蝶落在墙上的竹笛上，笛孔屏息，曲牌在一厢排起了队：平沙落雁、阳关三叠、大起板、鹧鸪飞。 蝴蝶飞过人的房间，看人的床辅、厨房、牙刷和眼镜，缓缓飞出窗外，接着梦游。 春天是做梦的季节，边飞边梦，蝴蝶就像年青人。 黄金不用是废铁 ? 讲个故事吧。 有一个老汉勤 劳致富。他种的粮食，自用之外卖钱，再把钱换成黄金。这些金子放丰一只瓦罐里，摆在屋檐下面。老汉累的时候，或者需要娱乐的时候，背着手看这些金锭，它们闪闪发光，像歌颂老汉的不凡。 当然，喜欢黄金的人并不只老汉一个人，别人也喜欢。别人不想经历种粮食、卖粮食、换 钱再买黄金这么复杂的历程，把老汉的偷走了。 黄金没了，老汉就哭。他没想到别人用偷的方法积累黄金。他觉得自己的粮食啊，汗水啊，青春啊，特别是黄金，都让这个人偷走了。悲声惊动了邻居，大伙儿围成一圈儿，听老汉哭。 ? 一位邻居说：这些黄金你用过吗？用的意思是打 个戒指，或者换一头小毛驴替代劳动，也包括送给别人施善。 老汉说：没有。 邻居说：没用过，你哭什么？ ? 老汉说什么话？没用过就不疼吗？没用过就没有价值吗？ ? ?邻居说：嗨，没用过的东西就跟没有东西是一样的。黄金对你来说，用处只在看。别哭啦，你可以看其他的东 西，比如花、比如天空的云彩。还有，你拿几块镀金的元宝放在罐子里，不也好看吗？ 老汉止住了哭泣。他不赞成邻居的话，但这一番话让他无法反驳，只好认为自己不曾有过黄金，别人也未曾偷走它。 故事就是这样，不一定真正发生过，但有一点儿趣味。一个有才能的人不运用才 能，就贫穷如老汉，
人教版高中数学必修一教案 ：1.3反函数
反函数——课堂教学设计一、[教材依据]全日制普通高级中学教科书数学（人教版）第一册（上）第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。
二、[教材分析][设计思路]1、体验教学的原则：重视学生的亲身体验与感悟，使学生具有对于知识生成、发展、形成及应用过程的体验和感悟。
本节课力求体现二期课改的思路，以学生发展为本。
整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主，教师引导为辅。
使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法，逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力，培养学生勇于探索的精神。
2、本节教材是在学生初步学习了函数及其性质后，再来接触的一个新概念-----“反函数”。
反函数是函数中的一个重要概念，对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。
它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的，反函数本身也是一个函数。
由于反函数的定义本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度，认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步概括出反函数的定义，进而明确求解反函数问题的步骤。
当然学生在具体求解指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题，教学中要预以足够的重视。
为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点，在本节教学中采用由课本上前面的例题（本章第一节“函数”部分给出的3个对应，并且是3个从A到B的函数）来加深对反函数定义的理解，这样便于把抽象的问题直观化。
反函数概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用，对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。
三、[教学目标]1、知识与技能目标：（1）、理解反函数的概念 （2）、会求一些简单函数的反函数。
2、过程与方法目标：通过师生的共同讨论，弄清反函数的概念，探索与原函数的相互关系，会求一些简单函数的反函数。
高中数学 第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 对数函数的图象和性质 第1课时 反函数及对
2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．[知识]1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.a＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1．对数函数的概念把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案 A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a＞0且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a ＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、110，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35 答案 A解析 方法一 先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.方法二 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.规律方法 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1， 得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三 对数函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0，解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式． 跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] (2)函数y ＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C. 要点四 反函数例4 求下列函数的反函数：(1)y ＝2x －5；(2)y ＝x1－x ；(3)y ＝1＋e 2x . 解 (1)从x ＝2y －5中解得y ＝x ＋52，即为所求；(2)从x ＝y 1－y 中解得y ＝xx ＋1，即为所求；(3)从x ＝1＋e 2y 移项得x －1＝e 2y .两端取自然对数得到ln(x －1)＝y2，解得y ＝2ln(x －1)，即为所求．规律方法 要找寻函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f (x )的反函数g (x )．既然y ＝g (x )是从x ＝f (y )解出来的，必有f (g (x ))＝x ，这个等式也可以作为反函数的定义． 跟踪演练4 y ＝ln x 的反函数是________． 答案 y ＝e x解析 由y ＝ln x ，得x ＝e y ，所以反函数为y ＝e x.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x 答案 D解析 选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 2．函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞) B．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项； 当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除D 项，A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________． 答案 (2,1)解析 函数图象过定点，则与a 无关， 故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1， 所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 5．函数y ＝lg x 的反函数是________． 答案 y ＝10x解析 由反函数的定义知x ＝10y，故反函数为y ＝10x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、基础达标1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则a 的值可以是( )A ．0.5B ．2C ．eD ．π 答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象单调递减，∴0＜a ＜1，只有选项A 符合题意． 2．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.3．在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称 答案 B解析 ∵y ＝13log x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象关于x 轴对称．4．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f (f (18))的值为( )A ．27 B.127C ．－27 D ．－127答案 B解析 f (18)＝log 218＝log 22－3＝－3，f (f (18))＝f (－3)＝3－3＝127.6．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 答案 －32解析 设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， 则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解之得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解之得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)． 二、能力提升8．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，即g (x )＝2x. 又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0＜a ＜1且0＜b ＜1.所以g (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.由g (x )的值域为(b ，＋∞)．所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C. 10．若log 2a 1＋a21＋a<0，则a 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值X 围． 解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：函数f (x )为单调增函数，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值X 围为(0,2)． 三、探究与创新12．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解 因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.13．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的word 11 / 11 表达式，并画出大致图象．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的大致图象如图所示：。
专题04 指数函数与对数函数互为反函数(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
专题04 指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数()y f x =是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y f x −=.特别地，x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y x =对称，即00(,())x f x 与00((),)f x x 分别在函数()y f x =与反函数1()y f x −=的图象上.若方程()x f x k +=的根为1x ，方程1()x f x k −+=的根为2x ，那么12x x k +=. 二、典型例题例题1．（2022·高三课时练习）若关于x 的方程5log 4x x +=与54x x +=的根分别为m 、n ，则m n +的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【详解】解：由题意，可知5log 4x x =−+，54x x =−+，作出函数5log y x =，5xy =，4y x =−+的图像（如图），A 、B 两点的横坐标分别为m 、n ，且A 、B 关于直线y x =对称，AB 的中点为C ，联立,4,y x y x = =−+ 可得点C的横坐标为2，因此4m n +=． 故选：C.【反思】本题也可直接利用结论解题：若方程()x f x k +=的根为1x ，方程1()x f x k −+=的根为2x ，那么12x x k +=.在本例中，记5()log xf x =，则1()5x f x −=，这样利用结论，可快速得到：4m n +=。
例题2．（2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末）已知1x 是方程34x x ⋅=的根，2x 是方程3log 4x x ⋅=的根，则12x x =（ ） A ．16 B ．8C ．6D ．4【答案】D联立2y xy x = =− ，解得1xy ==，则直线y x =与直线2y x =−交于点()1,1M ， 易知直线y x =与直线2y x =−垂直，因为函数2log y x =与函数2x y =的图象关于直线y x =对称，则A 、B 两点关于直线y x =对称，线段AB 的中点为M ，所以，12a b +−=，解得3a b +=. 故答案为：3.13．（2022·上海·高一专题练习）设方程2log 2x x +=的解为1x ，22x x +=的解为2x ，则12x x +=_____________. 【答案】2.【详解】由2log 2x x +=的解为1x ，得211log 2x x =−+， 同理22x x +=的解为2x ，得2222xx =−+， 又函数2log y x =与函数2x y =互为反函数，图象关于直线y x =对称，且2y x =−+与y x =互相垂直，且交点为(1,1)， 则函数2log y x =与函数2y x =−+的交点11(,)A x y ，函数2x y =与函数2y x =−+的交点22(,)B x y ，关于直线y x =对称，即11(,)A x y 与22(,)B x y 关于点(1,1)对称，即122x x +=， 故答案为：2.14．（2019·浙江宁波·高一校联考期中）若1x 是方程1240x x −+−=的根，2x 是方程2log 3x x +=的根，则12x x +=__________．【答案】4【详解】解：1x 是方程1240x x −+−=的根，2x 是方程2log 3x x +=的根，把方程分别变形为()1231x x −=−−，2log 3x x =−，由于2x y =与2log y x =互为反函数，则12(1)3x x −+=， 124x x ∴+=．故答案为4．。
高中数学对数函数教案
高中数学对数函数教案对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。
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下面是白话文整理的高中数学对数函数教案【最新2篇】，希望能够给予您一些参考与帮助。
教学目标1、在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。
3、通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性。
教学重点，难点重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质。
难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。
教学方法启发研讨式教学用具投影仪教学过程一、引入新课今天我们一起再来研究一种常见函数。
前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数。
反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数。
这个熟悉的函数就是指数函数。
提问：什么是指数函数？指数函数存在反函数吗？由学生说出是指数函数，它是存在反函数的。
并由一个学生口答求反函数的过程：由得。
又的值域为所求反函数为。
那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数。
2.8对数函数（板书）一、对数函数的概念1、定义：函数的反函数叫做对数函数。
由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发。
如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗？最初步的认识是什么？教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件。
在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质。
二、对数函数的图像与性质（板书）1、作图方法提问学生打算用什么方法来画函数图像？学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图。
同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图。
人教高中数学必修一A版《对数函数的概念》《对数函数的图象和性质》指数函数与对数函数说课教学课件
(3)在同一坐标系中,对数函数 y=log2x,y=log5x,y=log 1 x,y=log 1 x 的
2
5
图象如图所示.从图中看,对数函数图象的分布与底数有什么关系?
提示:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0<a<1时,a
越小,图象越靠近x轴.
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填表
对数函数的图象和性质
数的大小,如图所示.
2.牢记特殊点:对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象经过
(1,0),(a,1),
1
,-1 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练2作出函数y=
解:先画出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象
思想方法
随堂演练
反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数
解析式时只须一个条件即可求出.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=
2
是
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数 2.2 对数函数 互为反函数的两个函数图象之间的关系》示范课件_3
的值.
点评：
利用互反函数的图象关于 直线y=x对称.
2019/10/20
作业： P75 习题2.2B组:1，4，5.
2019/10/20
y=x对称.
方法：
结合这个函数的单
在PQ((m函n,,mn数)),y也证=f在明(x函P)的关数图于y调在=象直f性反(上x线数)可函任的y是=以数取图它x的说，一象自对明 且点上己称它 反.. 点存 函
举例:(1)y=x+c,
(2)y=kx－1.
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例3 若点P（1，2）同时在函数y＝
图象上任意一点，点Q（n，m）在哪
个函数的图象上？
将点P的坐标代入y=logax得：
n=logam 化成指数式 m=an
所以，点Q（n，m）在函数y=ax的
图像上.
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探究3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样 的位置关系？由此说明对数函数y=logax
的图象与指数函数y＝ax的图象有怎样
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探究（二）：反函数的存在性
问题1:在函数y＝x2中，若将y作自变量， 那么x与y的对应关系是函数吗？为什 么？
对比： 下列函数哪些存在反函数：
(1)y=x2(x>0);
(2)y=x2(x<－2)；
(3)y=x2(x>－2);
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(4)y=x3(x∈R).
探究（二）：反函数的存在性 问题2:一个函数在其对应形式上有一 对一和多对一两种，那么在哪种对应 下的函数才存在反函数？ 结论：
探究（一）：反函数的概念 一般地，由函数y=f(x)解得x=f－1(y)， 且x是y的函数(即对于每一个y值，都 有唯一的x与之对应)，那么，我们把 函数x=f－1(y)叫做函数y=f(x)的反函数.
高中数学必修一课件：第四章对数函数的图象和性质(第2课时)
A．y＝3－x
1 B．y＝3x
C．y＝log3x
D．y＝log1x
3
解析 函数y＝ax和y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
2．已知y＝14x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－12，则x0等于( C )
A．－2
B．－1
C．2
1 D.2
解析
由题意知f(x)＝log
1 4
x，f(x0)＝－
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
解析 若函数f(x)有意义，则xlo>g02，x－1>0，
∴x>2.
∴函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
(2)函数y＝f(x)是g(x)＝log 2x的反函数，则f(2)＝___2_____．
2
题型二 解对数型不等式
例2 解下列不等式．
(1)log1x>log1(4－x)；
7
7
(2)logx12>1；
(3)loga(2x－5)>loga(x－1)，其中a＞0，且a≠1.
x>0， 【解析】 (1)由题意可得4－x>0，解得0<x<2.
互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调 性相同吗？单调区间相同吗？
答：相同；不相同．
课时学案
题型一 反函数
例1 已知f(x)＝(22 021)x，x<0，求f(x)的反函数g(x)及其定义域、值域． 【解析】 ∵f(x)＝(22 021)x，x<0， ∴f(x)的反函数g(x)＝log22 021x＝2 0121log2x， 当x<0时，0<f(x)<1，即f(x)的值域为(0，1)， 从而g(x)的定义域为(0，1)，值域为(－∞，0)．
高中数学课件-第8讲 对数函数
18
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
B 因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，a≠1)在R上是奇函数， 所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意， 因为f(x)为减函数，所以0＜a＜1，则g(x)＝loga|x＋2|(0＜a＜1). 由g(－4－x)＝loga|－4－x＋2|＝loga|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于 直线x＝－2轴对称，排除选项C，D；又g(0)＝loga|0＋2|＝loga2＜0，可知 选项A错误， 所以g(x)的大致图象为B.故选B.
13
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
D 当 0＜a＜1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减， 于是函数 y＝a1x的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增， 函数 y＝loga(x＋12)的图象过定点(12，0)，在(－12，＋∞)上单调递减， 因此，D 中的两个图象符合. 当 a＞1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增，
8
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
常用结论 1.对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(1a，－
1). 2.如图给出 4 个对数函数的图象，
则 b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数 逐渐增大.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第8讲 对数函数
2
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计
高中数学-对数函数的图象和性质(二)
对数函数的图象和性质(二)高中数学函数 1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题.3.了解反函数的概念和图象特点．一、与对数函数有关的定义域问题例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝；(2)y ＝；(3)y ＝.lg (2－x )1log3(3x －2)log4(4－x )x －3解 (1)要使函数式有意义，则lg(2－x )≥0，∴Error!∴x ≤1.故函数的定义域为(－∞，1]．(2)要使函数式有意义，则log 3(3x －2)≠0，∴Error!∴x >，且x ≠1.23故函数的定义域为∪(1，＋∞)．(23，1)(3)要使函数式有意义，则Error!解得x <4，且x ≠3.故函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．反思感悟 (1)对数函数的真数大于0.(2)求定义域的常用方法是解不等式(组)，有时在解不等式时，还要考虑函数的单调性．(3)有时求定义域比较特殊，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，每去掉一层对数符号都要考虑函数的单调性，最后求出x 的取值范围．跟踪训练1 求下列函数的定义域：(1)y ＝log (2x ＋1)；(2)y ＝.3x ＋22x ＋x 2lg (2x －1)解 (1)要使函数式有意义，则Error!解得x >－且x ≠0，12∴函数的定义域为∪(0，＋∞)．(－12，0)(2)要使函数式有意义，则Error!即Error!解得x >，且x ≠1.12∴函数的定义域为∪(1，＋∞)．(12，1)二、与对数函数有关的综合性问题例2 已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2.(1)若f (x )>0，求x 的取值范围；(2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域．解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2，∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0，∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3.∴x 的取值范围是(3，＋∞)．(2)∵x ∈(－1,3]，∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]，∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]．∴f (x )的值域为(－∞，0]．反思感悟 (1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解；(2)判断函数的奇偶性，一定要先求函数的定义域，再研究f (x )与f (－x )的关系．跟踪训练2 函数f (x )＝log a (a >0，且a ≠1)的图象( )1＋x1－x A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于y 轴对称答案 A解析 因为函数f (x )的定义域为(－1,1)，f (－x )＝log a ＝log a －1＝－loga＝－f (x )，1－x1＋x (1＋x 1－x )1＋x1－x 所以函数f (x )为奇函数，所以函数图象关于原点对称．三、反函数问题 在同一坐标系下，画出函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象，观察两函数图象的关系．提示 知识梳理反函数：指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．注意点：(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数；(2)互为反函数的两个函数图象关于y ＝x 对称．(高中阶段只要求掌握这一类反函数)例3 若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x 的反函数，则f (f (2))的值为( )A ．16 B ．0 C ．1 D ．2答案 B解析 函数y ＝2x 的反函数是y ＝log 2x ，即f (x )＝log 2x .∴f (f (2))＝f (log 22)＝f (1)＝log 21＝0.反思感悟 互为反函数的函数的性质(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数．(2)互为反函数的定义域与值域互换．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．跟踪训练3 函数y ＝log 3x 的反函数的定义域为( )(13≤x ≤81)A ．(0，＋∞) B.(13，81)C ．(1,4) D ．[－1,4]答案 D解析 由y ＝log 3x ，可知y ∈[－1,4]．(13≤x ≤81)所以反函数的定义域为x ∈[－1,4]．1．知识清单：(1)利用对数函数的单调性求函数的定义域．(2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集．1．函数f (x )＝的定义域为( )1log2x －1A ．(0,2) B ．(0,2]C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 C解析 若函数f (x )有意义，则Error!即Error!解得x >2.∴函数f (x )的定义域为(2，＋∞)．2．函数y ＝x ＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(1，＋∞) B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 C3．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A. B. C ．2 D ．41412答案 B解析 由题意得f (x )在[0,1]上单调递增或单调递减，∴f (x )的最大值或最小值在端点处取得，即f (0)＋f (1)＝a ，即1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＝－1，解得a ＝.124．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点，则(32，23)a ＝________.答案 2解析 由题意得f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1，x >0)，因为f (x )的图象过点，所以loga＝，所以＝，所以a 2＝2，所以a ＝(负值(32，23)322323a 322舍去)．课时对点练1．已知函数f (x )＝log 2x ，若函数g (x )是f (x )的反函数，则f (g (2))等于( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵g (x )是f (x )的反函数，∴g (x )＝2x ，∴g (2)＝22＝4，则f (g (2))＝f (4)＝log 24＝2.2．若点(a ，b )在函数y ＝lg x 的图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A. B ．(10a ,1－b )(1a ，b )C. D ．(a 2,2b )(10a ，b ＋1)答案 D解析 因为点(a ，b )在函数y ＝lg x 的图象上，所以b ＝lg a ．当x ＝时，有y ＝lg ＝－lg 1a 1a a ＝－b ，所以点不在此函数的图象上，A 不正确；当x ＝10a 时，有y ＝lg(10a )＝1＋lg(1a ，b )a ＝1＋b ，所以点(10a ,1－b )不在此函数的图象上，B 不正确；当x ＝时，有y ＝lg 10a ＝1－lga ＝1－b ，所以点不在此函数的图象上，C 不正确；当x ＝a 2时，有10a (10a ，b ＋1)y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在此函数的图象上，D 正确．3．下列三个数：a ＝ln ，b ＝－log 3， 大小顺序正确的是( )2332132,3c ⎛⎫⎪⎝⎭＝A ．c >a >b B ．c >b >a C ．b >a >c D ．a >b >c答案 B解析 ∵0＝log 31>b ＝－log 3＝log 3>a ＝ln ，∴c >b >a .322323132>0,3c ⎛⎫⎪⎝⎭＝4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )的解析式为( )A ．－log 2x B ．log 2(－x )C ．－log 2(－x ) D ．log x 2答案 C解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝log 2(－x )．又因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (x )＝－log 2(－x )．5．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)A ．2020年 B ．2021年C ．2022年 D ．2023年答案 C解析 设经过n 年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则150×(1＋8%)n ≥200，则n ≥≈≈3.8，取n ＝4，则经过4年后是2022年．2lg 2－lg 3lg 1.080.602－0.4770.0336．(多选)任取x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，若f>恒成立，则f (x )称为(x 1＋x 22)f (x 1)＋f (x 2)2[a ，b ]上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是( )A ．y ＝2x B ．y ＝log 2x C ．y ＝－x 2 D ．12y x=答案 BCD7．函数f (x )＝的定义域为________．4－x 2ln x 答案 (0,1)∪(1,2]解析 由Error!得0<x ≤2，且x ≠1.∴函数f (x )＝的定义域为(0,1)∪(1,2]．4－x 2ln x 8．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ,2a ]上的最大值与最小值之差为，则a ＝________.12答案 4解析 ∵a >1，∴f (x )＝log a x 在[a ,2a ]上单调递增，∴log a (2a )－log a a ＝，即log a 2＝，∴a ＝4.121212=2,a 9．已知函数f (x )＝log a (10＋x )－log a (10－x )(a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (x )>0，求x 的取值范围．解 (1)函数f (x )是奇函数．理由如下：要使函数有意义，则Error!解得－10<x <10，即函数的定义域为(－10,10)．函数的定义域关于原点对称．则f (－x )＝log a (10－x )－log a (10＋x )＝－[log a (10＋x )－log a (10－x )]＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．(2)若f (x )>0，则f (x )＝log a (10＋x )－log a (10－x )>0，即log a (10＋x )>log a (10－x )，若a >1，则Error!解得0<x <10，若0<a <1，则Error!解得－10<x <0，综上，当a >1时，x 的取值范围为(0,10)，当0<a <1时，x 的取值范围为(－10,0)．10．已知函数f (x )＝log 2(1＋x 2)．求证：(1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．证明 (1)函数f (x )的定义域是R ，f (－x )＝log 2[1＋(－x )2]＝log 2(1＋x 2)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)设x 1，x 2为区间(0，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(1＋x )－log 2(1＋x )＝log 2.2121＋x 211＋x 2由于0<x 1<x 2，则0<x <x ，0<1＋x <1＋x ，212212所以0<<1，1＋x 211＋x 2所以log 2<0，1＋x 211＋x 2所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．11．已知函数f (x )＝x ∈，则f (x )的值域是( )12log ,x [14，22]A. B. C. [0,2] D.[12，2][－12，2][0，12]答案 A解析 因为函数f (x )＝在上单调递减，所以函数f (x )的最小值为f ＝12log x [14，22](22)函数的最大值为f ＝所以函数的值域为.121log ,2 (14)121log =2,4[12，2]12．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减答案 D解析 已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数；当x >0时，f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上单调递增，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减．13．函数f (x )＝lg(＋x )的奇偶性为( )x 2＋1A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案 A解析 易知该函数的定义域为R ，又f (x )＋f (－x )＝lg(＋x )＋lg(－x )＝lg[(x 2＋1x 2＋1＋x )·(－x )]＝lg 1＝0，∴f (x )＝－f (－x )，x 2＋1x 2＋1∴f (x )为奇函数．14.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y ＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________．答案 2解析 设B (x ,2log a x )，∵BC 平行于x 轴，∴C (x ′，2log a x )，即log a x ′＝2log a x ，∴x ′＝x 2，∴正方形ABCD 的边长＝|BC |＝x 2－x ＝2，解得x ＝2.由已知，得AB 垂直于x 轴，∴A (x ,3log a x )，正方形ABCD 边长＝|AB |＝3log a x －2log a x ＝log a x ＝2，即log a 2＝2，∴a ＝.215．已知f (x )＝|log 3x |，若f (a )>f (2)，则a 的取值范围为________________．答案 ∪(2，＋∞)(0，12)解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，由于f (2)＝f ，故结合图象可知0<a <或a >2.(12)1216．已知函数f (x )＝的图象关于原点对称，其中a 为常数．121log 1axx --(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋恒成立，求实数m 的取值范围．()12log 1x m <-解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴函数f (x )的定义域关于原点对称，∵>0，1－ax x －1∴(x －1)(1－ax )>0，令(x －1)(1－ax )＝0，得x 1＝1，x 2＝，∴＝－1，a ＝－1，1a 1a 经验证，a ＝－1满足题意．(2)∵()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x +-＋－＝＋－＝＋，∴当x >1时，()12log 1+<1,x 又当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋恒成立，()12log 1<x m -∴m ≥－1.即实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．。
高中数学教师备课必备系列(基本初等函数)：专题七 反思高中反函数教学 Word版含解析
“反函数“是《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一章函数的内容之一，在课标及高考考纲中有不同层次的要求，同时“反函数”又是高中学生升入大学进一步学习函数必不可缺的关键知识，而在实际教学中对反函数的教学教师往往不易把握好“度”。
下面是一道高考题题：设点P 在曲线x e y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为( ) A 、2ln 1- B 、)2ln 1(2- C 、2ln 1+ D 、)2ln 1(2+它给出的是对数函数和线性函数的复合函数，考察的是反函数的知识，许多教师以为超标了，也有人认为不超标。
下面就这一问题谈谈高中数学反函数的教学。
一、 课标与考纲的要求：新课程标准中对反函数的要求是：“知道指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且互为反函数”。
新课标高考考试大纲中对反函数的要求近几年来一直是“了解指数函数)1,0(≠>=a a a y x且与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且互为反函数。
从上面的具体要求来看，课标对反函数的教学要求明显低于高考考试大纲的要求，考试大纲要求了解是指不仅要知道)1,0(≠>=a a a y x 且与互)1,0(log ≠>=a a x y a 且为反函数，而且要了解这两者为何互为反函数，互为反函数还应具有哪些性质？（定义域，值域，图像性质，对称性等，指数函数与对数函数的互化等知识、性质） x e y 21=与)2ln(x y =是否互为反函数呢？了解)1,0(≠>=a a a y x 且与)1,0(log ≠>=a a x y a 且互为反函数是否可判定x e y 21=与)2ln(x y =互为反函数呢？请看下面论证：将)2ln(x y =化为指数函数得：x e y 2=，y e x 21=互换y x ,，即x e y 21= 说明考生只要具备了)1,0(≠>=a a a y x 且与)1,0(log ≠>=a a x y a 且互为反函数，且掌握了指数函数与对数函数的互化，就可简捷地得出x e y 21=与)2ln(x y =互为反函数二、高中反函数教学应注意的几点新课标数学必修一对反函数的概念及相关知识描述不多，教师在教学及高考复习中不易把握，讲“深”超了，讲“浅”了无法形成反函数完整的知识体系，而反函数又是高中学生升入大学进一步继续学习必不可缺的知识，如何把握这个“度”，一直困惑着高中数学教师，下面就高中反函数教学应注意的问题谈谈个人拙见。
高中数学《反函数》课件
（1） y x 1 （x≥0）
（2）
y
2x 3 x 1
（x≠1）
教师示范，学生归纳解题步骤：
1、互解；2、互换；3、确定定义域。
设计意图：
应用是加深理解概念最有效的途径，两道题均来自课
本，紧扣教材应当成为教与学的立足点，规范解题过程，深化
解题方法，培养基本技能，讲完例题之后，提出两个小问题，
意在加深对所学内容的理解，培养学生分析、思考问题的习惯。
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教学方法和手段
针对本节课概念抽象的特点，整节课将以启 发学生思考、分析、讨论为主。采用“从特殊到 一般”、“从具体到抽象”的方法，体现“对比 和联系”的思想方法，力求做到以创造发展为目 的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段， 以推理判断为特征。
采用多媒体教学手段，增大教学容量和感观 性。
的区别和联系。
1、以旧引新，揭示课题
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
平方
-1
1
1
-2
2
4
-3
3
9
A
B
A
B
对比举例：函数（1）y=2x x∈R 属于异元异像
函数（2）y=x 2 x∈R 属于异元同像
y 都是 x 的函数
提出问题：若将 y 作为自变量，x 是否是 y 的函数呢？
由函数（1）解得
x y 2
，x 是 y 的函数
讨论归纳、导入定义
由前面的特例可以看到：给定函数 y=f(x)定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)解 出得到x=φ(y)，如果对于y在C中的任何一个值， x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式 子x=φ(y)就表示x是变量y的函数，把x=φ(y)叫 函数y=f(x)的反函数，
高一数学(指、对数函数与反函数)
知识探究（ 知识探究（一）：反函数的概念 思考1:设某物体以3m/s 3m/s的速度作匀速直 思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直
线运动，分别以位移s和时间t为自变量， 线运动，分别以位移s和时间t为自变量， 可以得到哪两个函数？ 可以得到哪两个函数？这两个函数相同 吗？ s t = 和s=3t 得到 3 x 思考2: 分别x 思考2:设 2 = y ，分别x、y为自变量可以 得到哪两个函数？这两个函数相同吗？ 得到哪两个函数？这两个函数相同吗？
练习 2. 函数 ＝3x的图象与函数 ＝3x的 函数y＝ 的图象与函数y＝ 的 图象关于
3x
(D ) B. x轴对称 轴对称 D. 直线 ＝x对称 直线y＝ 对称
A. y轴对称 轴对称 C. 原点对称
函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1) 例3 函数 ＝ － ＞ 且 的反函数的图象经过点(1, ， 的值. 的反函数的图象经过点 4)，求a的值 的值 依题意,得 解:依题意 得 依题意
x
解 : (1)1 − 2 > 0 ⇒ 2 < 1 ⇒ x < 0 ⇒ 定义域 定义域(-∞,0)
x x
2 > 0 ⇒ −2 < 0 ⇒ 1 − 2 < 1 ⇒ log 2 (1 − 2 ) < 0
x x x x
(2) y = log 2 (1 − 2 ) ⇒ 1 − 2 = 2 ⇒ 2 = 1 − 2
1 = log a (4 − 1)
即 : log a 3 = 1,∴ a = 3.
若函数y＝ 的图象经过点 的图象经过点(a, ， 小 结：若函数 ＝f(x)的图象经过点 b)， 则其反函数的图象经过点(b, 则其反函数的图象经过点 a).
【高中数学】常用函数的反函数教案
高中数学教学中，常用函数的反函数是很重要的知识点之一。
通过理解函数和反函数之间的相互关系，可以更好地提高学生的数学水平和解题的能力。
一、教学目标1.了解常用函数的概念及定义；2.掌握常用函数的图像、性质及应用；3.掌握常用函数的反函数的概念、性质及应用；4.学会通过图像和解析式求出常用函数的反函数。
二、教学内容在教学内容上，我们应该从以下几个方面对常用函数及其反函数进行详细讲解：1.常用函数的概念及定义需要让学生了解函数的定义及其反函数的概念。
在数学中，函数是指任意两个数域之间的一种特殊关系。
对于关系y = f(x)，任何一个x 值都能够唯一对应一个y值。
而反函数就是将 y=f(x) 转化为 x=f(y) 的一种函数，是函数y = f(x) 的反函数。
反函数的意义在于将一个函数的输入与输出对调，以便对某些问题求解。
2.常用函数的图像、性质及应用迎接学生的视觉感知，需要讲解常用函数的图像、性质及应用。
学生需要了解常用函数的图像，例如正比例函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数，了解它们的图像特征及性质，例如增减性、奇偶性、周期性以及特殊点条件等。
同时，学生还需要了解这些函数在实际应用中的意义和应用，例如三角函数在角度计算中的应用、指数函数在人口增长中的应用等。
3.常用函数的反函数的概念、性质及应用学生需要了解常用函数的反函数的概念、性质及其应用。
反函数是一种特殊的函数，其定义域和值域与原函数的值域和定义域相反。
因此，反函数的图像是将原函数的图像沿着y=x对称而得到的。
在应用方面，反函数也具有重要意义。
它可以用来确定某些隐含的变量，解决某些实际问题，例如，一家公司的每日销售额的平均值为500元，反函数就可以用来确定每位购物者平均的购物金额。
4.通过图像和解析式求出常用函数的反函数学生需要学会通过图像和解析式求出常用函数的反函数。
对于图像法，学生需要学会将原函数的图像沿着y=x对称，求出反函数的图像。
对数函数反函数公式
对数函数反函数公式(1)定义域、值域指数函数应用领域至值 x 上的这个函数记为 exp(x)。
还可以等价的记为 ex，这里的 e 就是数学常数，就是自然对数的底数，对数等同于 2.，还叫作欧拉数。
一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈r);定义域：x∈r，指代一切实数(-∞，+∞)，就是r;值域：对于一切指数函数y=a^x来讲。
他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。
所以值域为(0,+∞)。
a=1时也可以，此时值域恒为1。
对数函数一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x就是自变量，函数的定义域就是(0，+∞)。
它实际上就是指数函数的反函数，可以则表示为x=ay。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于于对数函数。
(2)单调性对于任一x1，x2∈d若x1若x1f(x2)，表示f(x)在d上就是减至函数(3)奇偶性对于函数f(x)的定义域内的任一x，若f(-x)=f(x)，表示f(x)就是偶函数若f(-x)=-f(x)，称f(x)是奇函数(4)周期性对于函数f(x)的定义域内的任一x，若存在常数t，使得f(x+t)=f(x)，则称f(x)是周期函数 (1)分数指数幂正分数指数幂的意义就是负分数指数幂的意义是(2)对数的性质和运算法则loga(mn)=logam+loganlogamn=nlogam(n∈r)(1)y=ax(a>0，a≠1)叫指数函数(2)x∈r，y>0图象经过(0，1)a>1时，x>0，y>1;x<0，0< p="">a> 1时，y=ax就是增函数(2)x>0，y∈r图象经过(1，0)a>1时，x>1，y>0;0a>1时，y=logax就是增函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)=b f(x)=ab(a>0，a≠1)同底型logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1)换元型 f(ax)=0或f (logax)=0。
对数函数的反函数求法
对数函数的反函数求法
对数函数和反函数是数学中重要的概念，本文将介绍对数函数的反函数求法。
首先回顾一下对数函数的定义：设a是大于0且不等于1的实数，那么以a为底的对数函数f(x)=loga(x)在定义域内是单调增的，且f(x)的值域为实数集。
接下来，我们来求对数函数的反函数。
设g(x)是f(x)=loga(x)的反函数，即g(f(x))=x，那么有：
g(f(x))=g(loga(x))=a^g(x)=x
于是，我们可以得到反函数g(x)=a^x。
需要注意的是，对数函数的反函数只在定义域内单调递增，即
a^x的定义域为实数集，值域为正实数集。
如果a^x的定义域为负实数，则需要对数函数作出修正，例如定义a为复数，或限制定义域。
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主课题：反函数
教学目标：1.通过实际问题导出反函数的概念
2.会求简单有理函数（如一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的反函数）
3．掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学重点：1.理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数定义域、值域的关系
函数 的定义域是它的反函数 的值域；函数 的值域是它的反函数
的定义域
函数
反函数
定义域
Dห้องสมุดไป่ตู้
A
值域
A
D
2. 反函数的求法
求反函数 的三个步骤：
（1）倒解方程（由 解出x）
（2）交换字母x，y（在上述表达式中将x，y互换）
（3）注明定义域（反函数的定义域是原函数的值域）
知识点一：求原函数的反函数
例1求下列函数的反函数
一般地，对于函数 ，设它的定义域为D，值域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使 ，这样得到的x关于y的函数叫做 的反函数，记作 .在习惯上，自变量常用x表示，而因变量用y表示，所以把它改写为 （ ）
从反函数的概念可知：如果函数 有反函数 ，那么函数 的反函数就是 ，这就是说函数 与 互为反函数.
2. 掌握求原函数反函数的一般方法
3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
4.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学难点：1. 掌握求原函数反函数的一般方法
2. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
3.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
考点及考试要求：
（2）反函数的图像是否经过点（0,1）？反函数的图像与y=x有无交点？
（3）设反函数 ，求不等式 的解集
解：（1）f(x)在 上单调递增，所以有反函数， （ ）
（2）过（0，1），无交点（利用 无解）
（3）
7.已知函数
（1）求 的表达式
（2）设 ，求g(x)的最小值及相应的x值
（1）
（2）当 时，
8.已知 ，
1.理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数定义域、值域的关系
2. 掌握求原函数反函数的一般方法
3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
4.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
一、新课讲解
1.反函数的概念
问题1：（1）走进一家2元商店，买x件商品需要多少钱？
（2）量力而行，现有20元钱，能买几件商品？
（3）若有y元（2的倍数）能买几件？
问题2：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,
其中速度v是常量。
反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即 ，则t是s的函数
问题3：在函数 （ ）中，x是自变量，y是x的函数。从中解出x，得 （ ）.这样，对于y在R中任何一个值，通过式子 ，x在R中都有唯一的值和它对应。所以，x为y的函数，
（2）若D= ，且f(x)存在反函数，求a的取值范围
解：（1）不存在，二次函数对称轴为x=1，函数在区间D=[-3，2]不是一一对应的
（2）
3.原函数图像与反函数图像的关系
求函数 的反函数，在同一坐标系中画出 和其反函数图像，你能发现什么现象？
一般地，函数 的图像和它的反函数 的图像关于直线y=x对称
二、选择
10.函数 在下列区间不存在反函数的是（A）
A [-1，1] B [0，1] C D
11.若函数 存在反函数，则方程f(x)=m（m为常数）（C）
A有且只有1个实根B至少有一个实根C至多有一个实根D没有实数根
12.函数 的反函数是（C）
A B C D
13.设函数 ，则函数 的图像是（B）
A B
C D
三、解答题
14.设f(x)是一次函数，且f(1)=1，f[f(2)]=2 ，求f(x)的解析式
解:设y=kx+b
则
所以
15.求函数 的反函数
解：
16.已知函数 ，求f(x)的反函数 ，并求出反函数的定义域
解： （ ）
（1）求f(x)的反函数及其定义域
（2）判断 的单调性
（3）若不等式 对区间 恒成立，求实数 的取值范围
解：（1）
（2）单调递增
（3）
【自我测试】
一、填空题
1.函数 的反函数是___ _____
2.函数 的反函数是___ _____
3.函数 的反函数是__ ____
4.若函数 的反函数图像过点（m，27），则m的值为____3______
（1） （2）
（3） （4）
解：（1） （2）
（3） （4）
例2 若 ，求反函数
解：令 ，则
例3求函数 的反函数
解：求分段函数反函数，即在给定的各个定义域上求反函数
得
知识点二：反函数存在的条件
从反函数的定义可知，函数 存在反函数，则在定义域上x与y一一对应
例4已知函数 的定义域为D
（1）若D=[-3，2]，问f(x)是否存在反函数？为什么？
5.已知函数 的反函数 ，则实数a=____-1_____
6.若点(1，3)同时在函数 及其反函数的图像上，则当x=2时，y=__ ____
7.已知 的反函数为 ，若 的图像过点Q（5,2），则b=_1_
8.要使函数 在[1，2]上存在反函数，则a的取值范围是__ _____
9.若函数 的图像经过点（0，-1），那么函数f(x+2)的反函数的图像经过点_（-1，-2）_，函数 的图像必经过点___（-2，0）______
也就是说，对于在 图像上的任意一点（a,b），则（b,a）在其反函数图像上
画出函数 关于直线y=x的对称图像， 有反函数吗？
对自变量加上什么条件才能有反函数？
知识点三：反函数性质的应用
例5 已知 ，求
解：利用反函数图像性质，令 ，x=-2(因为 ，x=2舍去)
所以 =-2
例6（1）已知 的图像过定点_（2，6）_,其反函数的图像过定点__（6，2）__
A B
C D
2.函数 的反函数是（C）
A奇函数，在 上是减函数B偶函数，在 上是减函数
C奇函数，在 上是增函数D偶函数，在 上是增函数
3.已知 ，点P（-2，-4）在它的反函数的图像上
（1）求这个反函数 的表达式
（2）判定这个反函数在其定义域内的单调性
解：（1）
（2）当 时，反函数单调递减
4.已知函数 ，函数y=g(x)的图像与 的图像关于直线y=x对称，求g(x)的表达式
有一位同学给出如下解法：
因为y=g(x)与 的图像关于直线y=x对称，所以y=g(x)是 的反函数.而 的反函数是y=f (x-1)，
这个解答正确吗？请说明理由
解：不对， 的反函数不是y=f (x-1)
， 的反函数是它本身
所以
5.若函数 与其反函数的图像有公共点，求m的取值范围
解：
6.
（1）证明：函数f(x)有反函数，并求出反函数
（2）已知 的图像过点（3，-1），
则 的图像过点___（1，-1）______； 的图像过点__（-1，3）_______；
的反函数图像过点__（-1，1）___； 的图像过点__（-3，3）____
【能力提高】
1.定义在R上的函数f(x)的最小正周期为T，若函数 时有反函数 ，则函数 的反函数为（B）