关于Weierstrass定理的证明
韦达定理逆定理证明
韦达定理逆定理证明
韦达定理（Weierstrass theorem）指出：对于任意实数集合A，只要A中的数点密度大于零，A就可以在其上运行某种函数。
也就是说，当集合A的数点的密度大于零，把任何连续函数的曲线盖住集合A，这个函数在集合A上就可以运行，而不会有任何空隙。
具体而言，韦达定理的逆定理宣称：对于任意实数集合A，只要其中的数点的密度小于或等于零，那么A上有任何函数都不可能让其函数的曲线完全覆盖A，因为曲线上总会有空隙。
它的证明如下：
1.假设A中的数点的密度小于或等于零，G是A上的任何函数。
2.定义：H = {x|x ∈ A且x不属于G} ，则，H是集合A的子集。
3.因为A的数点的密度小于或等于零，根据极限定理，可以知道，H中任意区间的宽度应大于零，也就是说，函数G在任意实数集合A上，必然存在一个以上的空隙，从而无法完全覆盖集合A。
stone weierstrass定理
stone weierstrass定理
Weierstrass定理（又称Weierstrass近似定理）是一个重要的数学定理，它指出任何一个连续函数都可以用一系列的多项式函数来近似。
它是由德国数学家卡尔·魏斯特拉斯于1885年提出的，因此也被称为Weierstrass定理。
Weierstrass定理的具体表述是：设f(x)是定义在区间[a,b]上的
连续函数，则存在一系列多项式函数Pn(x)，使得对任意的
x∈[a,b]，都有：
f(x)=Pn(x)+Rn(x)，
其中Rn(x)是一个收敛序列，即当n→∞时，Rn(x)→0。
Weierstrass定理的证明可以用到泰勒级数的概念，即任何一个
连续函数都可以用一个无穷级数来表示，而这个无穷级数的前n项就是一个多项式函数Pn(x)。
因此，Weierstrass定理可以
用来证明任何一个连续函数都可以用一系列多项式函数来近似。
Weierstrass定理的应用非常广泛，它可以用来证明很多数学定理，例如泰勒级数展开定理、极限定理等。
此外，Weierstrass
定理也可以用来解决实际问题，例如求解微分方程、求解积分方程等。
总之，Weierstrass定理是一个重要的数学定理，它指出任何一
个连续函数都可以用一系列的多项式函数来近似，其应用非常广泛，可以用来证明很多数学定理，也可以用来解决实际问题。
bolzano-weierstrass定理证明
Bolzano-Weierstrass定理是数学中的一个重要定理，它关于实数列的性质和极限的问题。
在本文中，我们将深入探讨Bolzano-Weierstrass定理的相关内容，包括其定义、历史背景、证明过程等方面，希望能够为读者提供全面而深入的理解。
一、Bolzano-Weierstrass定理的定义让我们来了解一下Bolzano-Weierstrass定理的定义。
Bolzano-Weierstrass定理是指任何有界的实数列都有收敛子列的定理。
对于任意一个有界的实数列，我们都能找到一个收敛的子列。
这个定理在数学分析中具有重要的意义，它为我们研究实数列的性质和极限提供了重要的理论支持。
二、Bolzano-Weierstrass定理的历史背景Bolzano-Weierstrass定理最早由19世纪的数学家Bolzano和Weierstrass独立提出并证明。
Bolzano是捷克著名的数学家，他在研究实数列的性质时发现了这一定理。
而后来的Weierstrass在他的研究中也得到了相似的结论。
这个定理通常被称为Bolzano-Weierstrass定理，以纪念这两位杰出的数学家。
三、Bolzano-Weierstrass定理的证明接下来，让我们来探讨一下Bolzano-Weierstrass定理的证明过程。
证明的关键在于利用了有界数列的性质，通过递归的方法构造出一个收敛的子列。
具体来说，我们可以按照如下步骤进行证明：1.我们假设给定一个有界的实数列{an}，即存在一个实数M，使得对于任意n，都有|an| <= M成立。
这个性质是Bolzano-Weierstrass定理证明的重要前提。
2.我们可以利用闭区间套定理来构造出一个递增的子列{an_k}。
具体地，我们可以按照如下步骤进行：a.首先将整个实数轴分成两个等长的闭区间[-M,M]和[-M/2,M/2]，并找出在这两个闭区间上出现频率无限的子列。
bolzano-weierstrass定理证明 -回复
bolzano-weierstrass定理证明-回复[bolzanoweierstrass定理证明]1. 引言引言部分可以简要介绍bolzanoweierstrass定理的背景和重要性。
可以介绍该定理的证明思路，即通过构造柯西列证明完备性，进而引入bolzanoweierstrass定理，解释该定理的重要性和应用领域。
2. 序列和柯西序列的定义首先，我们需要定义序列和柯西序列。
序列是按照一定的顺序排列的无穷多个数。
柯西序列是指对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n和m都大于N时，序列的第n项和第m项之差的绝对值小于ε。
3. 完备性的定义完备性是指在某个空间内，任何柯西序列都收敛到该空间内的某个点。
在本文中，我们将证明特定的空间，即[a, b]上的实数序列，是一个完备空间。
4. 构造柯西列首先，我们构造一个柯西列序列。
根据bolzanoweierstrass定理，我们选择了[a, b]区间上的实数序列。
通过不断地对该区间进行二分，我们可以得到无穷多个子区间，每个子区间的长度越来越小。
5. 查找子区间对于第一个子区间，我们可以选择其中的某一个实数作为序列的第一项。
对于第二个子区间，我们选择其中的某一个实数作为序列的第二项。
以此类推，对于第n个子区间，我们选择其中的某一个实数作为序列的第n项。
这样，我们就构造了一个新的实数序列。
6. 证明柯西性根据上述构造，我们可以证明该序列是一个柯西序列。
首先，对于给定的正数ε，当我们不断地对区间进行二分后，区间的长度将越来越小。
因此，当n和m都足够大时，子区间的长度将小于ε。
7. 序列的聚点由于我们不断地对区间进行二分，得到的子区间的长度趋近于0，即长度会无限接近于某个实数。
根据区间套定理，我们可以得出存在唯一一个实数c，它是这个序列的聚点，也可以说该序列收敛到该聚点。
8. 完备空间的证明通过上述构造和证明，我们得出结论，[a, b]上的实数序列是一个完备空间。
利用Bernoulli概率分布简化Weierstrass逼近定理的证明
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weierstrass分解定理
Weierstrass分解定理详解摘要：本文档旨在详细介绍Weierstrass分解定理，这是一个在复分析领域中非常重要的结果。
该定理提供了一种将亚纯函数分解为简单因子的系统方法，这些因子涉及该函数在其定义域内的奇点。
本文档将从定理的陈述开始，然后详细解释其证明过程，接着讨论其在数学中的多种应用，并以一些示例来具体说明其使用。
I. 引言A. 复分析简介复分析是数学的一个分支，它研究复变量的复值函数。
这个领域的一个重要特点是复函数往往具有比实函数更加丰富的结构，例如，它们可以有所谓的“奇点”，在这些点上函数不满足常规的连续性或可微性条件。
B. 亚纯函数的定义与性质亚纯函数是指在复平面上除了一些孤立奇点外处处解析的函数。
这些函数在奇点附近可能表现出复杂的行为，包括无穷大的增长或不可导的行为。
C. Weierstrass分解定理的历史背景Weierstrass分解定理由德国数学家Karl Weierstrass提出，它是复分析领域的基石之一，对后续的数学研究产生了深远的影响。
II. Weierstrass分解定理的陈述A. 定理的正式表述Weierstrass分解定理指出，任何亚纯函数都可以表示为其定义域内所有奇点处的Laurent级数展开的和。
B. 定理中的关键概念解析1. 亚纯函数：在复平面上除了有限个孤立奇点外处处解析的函数。
2. 极点与本性奇点：极点是亚纯函数在某些孤立点处的特殊类型的奇点，而本性奇点则是更一般的奇点类型。
3. 分解的概念：将一个复杂的函数表达为一系列更简单的部分的过程。
III. 定理证明A. 预备知识概述1. 复微分方程：研究复变函数及其导数之间关系的方程。
2. 留数定理：用于计算围绕一条闭合路径的复积分的技术。
B. 主要证明步骤1. 构造辅助函数：通过考虑原函数与其在各奇点附近的局部行为的关系来构造辅助函数。
2. 确定辅助函数的性质：证明辅助函数是整函数（即处处解析的复函数）。
weierstrass 定理
Weierstrass定理Weierstrass定理，又称Weierstrass逼近定理，是数学分析中非常重要的一个定理。
它的作用是告诉我们，在实数范围内，我们可以用多项式函数来逼近任何连续函数，而这个多项式可以无限次可微，并且逼近可以任意精确。
本文将对Weierstrass定理进行解释和说明，让读者更好地理解这个定理所涉及的数学概念。
1.什么是Weierstrass定理？Weierstrass定理是指，对于任何实数区间[a, b]和任何连续函数f(x)，都可以用一列多项式函数pn(x)来逼近f(x)，并且这个多项式可以无限次可微。
而且，这个逼近是可以任意精确的，即在[a, b]区间内，pn(x)可以无限接近于f(x)。
简而言之，Weierstrass定理告诉我们，任何连续函数都可以用无限可微的多项式函数来逼近。
2.Weierstrass定理的证明Weierstrass定理非常重要，其证明也比较复杂。
下面给出一些证明思路：•首先，我们将要逼近的函数f(x)进行泰勒级数展开，然后令Tn(x)表示其n阶截断，即Tn(x) = Σ[f(k)(0)/k!]*x^k，其中f(k)(0)表示在x = 0处的k阶导数。
•接着，考虑如何利用Tn(x)来逼近f(x)。
我们可以找到一个连续函数g(x)，使得对于任何x，|f(x) - g(x)| < ε/2，其中ε是一个小的正数。
•然后，我们将g(x)进行泰勒级数展开，令Sn(x)表示其n阶截断。
由于对于任何x，|g(x) - Sn(x)| < ε/2，因此对于任何x，|f(x) -Sn(x)| < |f(x) - g(x)| + |g(x) - Sn(x)| < ε。
•最后，我们将Sn(x)转换成多项式函数格式。
我们可以选取一个合适的多项式基函数，如Chebyshev多项式，将其进行线性组合，即Sn(x) = ΣajTj(x)，其中aj为待定系数，通过逐步减小ε，可以逐步求得这些系数的值，使得逼近精度可以任意地提高。
阿贝尔定理证明
阿贝尔定理证明
阿贝尔定理（Abel's theorem）也称作阿贝尔－魏恩斯特拉斯定理（Abel-Weierstrass theorem），是一种重要的数学定理，主要用于解析函数的特殊情况。
阿贝尔定理的证明比较复杂，主要涉及到复分析中的一些基本概念和技巧，例如洛朗级数、共形变换等。
一个简单的阿贝尔定理的例子是：对于一个正整数n，存在常数Cn使得对于任意复数z，有以下等式成立：
(exp(z/n)-1)^n=nexp(z)[1+Cn(z/n)^2+O(z^3)]
其中，“exp”表示指数函数，O符号表示“大O记号”，即在某个条件下某个函数的增长率不超过另一个函数。
这个等式的证明需要利用复分析中的一些技巧，如将复平面上的一个区域映射为单位圆盘，利用洛朗级数展开等等。
阿贝尔定理在解析函数、微分方程、傅里叶级数等领域都有广泛应用。
weistrass定理 概述及解释说明
weistrass定理概述及解释说明1. 引言1.1 概述Weierstrass定理是数学分析中一个重要的定理，它关于函数的连续性和可导性之间的关系给出了非常有力的描述。
该定理由德国数学家Karl Weierstrass 在19世纪提出，并对后来的数学发展产生了深远影响。
通过这一定理，我们可以更深入地理解函数的性质以及其在实际问题中的应用。
1.2 文章结构本文将首先介绍Weierstrass定理的背景与起源，包括该定理出现的历史背景以及Karl Weierstrass对该领域所做出的贡献与影响。
然后，我们将详细解释Weierstrass定理的基本内容与原理，其中包括函数连续性与可导性之间关系的解释、极限和无穷小量概念的解释，以及Weierstrass逼近定理的证明思路。
接下来，我们将通过实例来说明Weierstrass定理在数学分析中的应用案例，并讨论使用Weierstrass逼近定理求解具体问题时需要注意的步骤。
最后，在结论部分，我们将再次强调Weierstrass定理的重要性与应用价值，并对其局限性进行反思，同时展望该定理的未来发展方向。
1.3 目的本文的目的是全面介绍Weierstrass定理及其背景、原理和应用。
通过对该定理的详细阐述，我们希望读者能够深入了解Weierstrass定理在数学分析领域的重要性，并能够应用该定理解决实际问题。
另外，我们也将探究Weierstrass 定理存在的一些局限性，并提出改进和未来发展方向，以期推动相关研究的进一步深入。
2. Weierstrass定理的背景与起源2.1 Weierstrass定理的历史背景Weierstrass定理是19世纪数学分析领域的一个重要成果。
在19世纪初期，人们对于函数的连续性以及可导性的理解较为模糊，这给函数研究和应用带来了困难。
然而，在该时期，数学家Karl Weierstrass通过创新性地引入极限概念以及无穷小量等概念，为函数连续性与可导性提供了清晰明确的定义和表述。
weierstress定理_理论说明
weierstress定理理论说明1. 引言1.1 概述Weierstrass定理是数学分析中的重要理论之一，它描述了连续函数在闭区间上可以通过多项式逼近的现象。
这个定理的发现和证明过程都非常复杂，但其结果对于数学的发展和应用有着深远影响。
1.2 文章结构本文将分为五个部分来详细探讨Weierstrass定理。
首先，在引言部分，我们将简要介绍该定理的概述、文章结构以及目的。
然后，在第二部分“Weierstrass 定理的基本内容”中，将详细解释Weierstrass函数的定义与性质，并介绍极限和连续的相关概念。
接下来，在第三部分“Weierstrass定理的证明过程”中，我们将讨论证明该定理所采取的基本思路与策略，并逐步展示详细证明步骤以及关键推导与技巧。
随后，在第四部分“Weierstrass定理的应用领域”中，将探讨该定理在微积分学、实分析和数学建模等领域中具体应用情况。
最后，在结论部分，总结本文涉及到的主要观点和结果，并指出Weierstrass定理在现实世界中的重要性。
1.3 目的本文旨在通过对Weierstrass定理的理论说明，帮助读者深入理解该定理的基本内容、证明过程和应用领域。
我们将尽力以清晰易懂且详细全面的方式阐述相关知识，希望读者能够从中获得对数学分析领域中这一经典定理的深入认识，并进一步探索其在实际问题解决中的广泛应用。
2. Weierstrass定理的基本内容:2.1 Weierstrass函数的定义与性质：Weierstrass函数是由3. Weierstrass定理的证明过程:3.1 基本思路与策略:Weierstrass定理的证明过程主要基于函数的连续性和极限的性质。
首先，我们需要构造一个Weierstrass函数来满足一些特定的条件。
然后，通过逐步逼近和密切估计的方法，我们可以证明该函数在闭区间上处处连续。
最后，利用收敛数列以及连续函数极限定理，我们可以得出Weierstrass定理成立的结论。
有限覆盖定理证明魏尔斯特拉斯定理
有限覆盖定理证明魏尔斯特拉斯定理有限覆盖定理（Finite Covering Theorem）是一个重要的数学定理，它在分析学中起着重要的作用。
而魏尔斯特拉斯定理（Weierstrass theorem）则是有限覆盖定理的一个重要应用，并且是数学分析中的一块金字招牌。
本文将从有限覆盖定理的证明入手，探讨魏尔斯特拉斯定理的来龙去脉。
有限覆盖定理，顾名思义，它与集合的覆盖有关。
首先，我们需要定义什么是一个覆盖。
给定一个集合X，如果存在一组子集A1，A2，…，An，使得X包含在这些子集中的任意一个中，那么我们称这组子集为集合X的一个覆盖。
更正式地说，如果对于集合X中的任意一个元素x，存在一个子集Ai，使得x属于Ai，那么{Ai}就是集合X的一个覆盖。
那么有限覆盖定理说的是什么呢？它指出，如果给定一个集合X，它是一个紧集，则X的任何一个开覆盖都存在有限的子覆盖。
这个定理的证明相对来说比较复杂，需要借助区间套定理和闭包的性质。
但是在这里，我不打算啰嗦地给出证明过程，而是想通过介绍魏尔斯特拉斯定理来展示有限覆盖定理的应用。
魏尔斯特拉斯定理是有限覆盖定理的一个重要应用。
它断言在实数域上定义的任何一个连续函数，都可以用一系列多项式函数来逼近。
简单来说，给定一个连续函数f(x)，无论它有多复杂，我们总是可以找到一组多项式函数Pn(x)，使得Pn(x)在整个实数域上收敛到f(x)。
这个定理的证明是基于有限覆盖定理的，我们可以通过构造一组适当的多项式函数来进行证明。
魏尔斯特拉斯定理的重要性在于它提供了一种将连续函数转化为多项式函数的方法。
在实际计算中，多项式函数往往比连续函数更容易处理。
通过使用多项式函数逼近连续函数，我们可以将复杂的计算问题简化为简单的多项式操作。
这在数值计算和数学建模中具有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常遇到需要计算连续函数的值或近似值的情况。
例如，当我们需要计算一个物理过程的数值模拟时，我们往往会遇到各种复杂的数学模型，其中包含了大量的连续函数。
bolzano weierstrass定理证明
Bolzano-Weierstrass 定理是实分析领域中的一个非常重要的定理，它指出了有界数列必定存在收敛的子数列。
本文将从数学分析的角度，对Bolzano-Weierstrass 定理进行证明。
1. 定理陈述Bolzano-Weierstrass 定理又称柯西-波尔查诺定理，它的具体陈述如下：对于任意有界的实数数列 {an}，必存在收敛的子数列{a nk}，即存在一个收敛到某一实数极限的子数列。
2. 证明准备证明Bolzano-Weierstrass 定理需要借助实数的有界性和确界原理。
我们知道实数集合有上界和下界，对于有界数列而言，存在一个上确界和下确界。
接下来，我们将利用这一性质来证明Bolzano-Weierstrass 定理。
3. 证明过程假设 {an} 是一个有界数列，即存在M>0，使得|an|<M对任意n成立。
由确界性质知，存在点x0，使得x0是{an}的上确界。
根据上确界的定义，对于任意正数ε>0，存在数列中的某个数a n0，使得x0-ε <an0≤x0。
现在我们来构造一个收敛子数列。
首先考虑ε=1，根据上确界的定义，存在a n1，使得x0-1 <a n1≤x0。
接着考虑ε=1/2，存在 a n2，使得x0-1/2 <a n2≤x0。
依此类推，我们可以构造出一个递增的数列{a n1，a n2，a n3，…}，满足x0-1 <a n1≤x0<x0-1/2 <a n2≤x0<x0-1/3 <a n3≤x0<….由于{an}有界，这个递增数列也必定有界。
根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的定义，存在一个实数x，使得x是递增数列的极限。
我们构造出了一个收敛的子数列{a nk}，它的极限即为x。
Bolzano-Weierstrass 定理得以证明。
4. 结论通过以上的严密证明过程，我们成功地证明了Bolzano-Weierstrass定理。
Weierstrass定理
Weierstrass 定理定理 设],[)(b a C x f ∈, 则对任何0>ε，总存在一个代数多项式)(x p ，使ε<-∞||)()(||x p x f在],[b a 上一致成立。
定义： n 阶伯恩斯坦多项式定义为∑=--=n k k n k k n n x x n k f C x f B 0)1()())(( 其中)!(!!k n k n C kn -=为二项式展开系数。
引理1设10=h ，x h =1，22x h =，则00h h B n =，11h h B n =，2221h n x x n n h B n →+-=引理2 伯恩斯坦算子n B 是一个正线形算子。
即n B 满足线形性：)()()(g B f B g f B n n n βαβα+=+正性：对任何0≥f ，0≥f B n推论 设g f ≤||，则g B f B n n ≤||引理3 设],[)(b a C x f ∈，则对任何0>ε，存在常数C 使2)(|)()(|y x C y f x f -+<-ε证明：首先],[)(b a C x f ∈，则)(x f 在],[b a 上一致连续。
即对任何0>ε，存在0>δ，使得当δ<-||y x 时， ε<-|)()(|y f x f 另外，函数2)(|)()(|y x y f x f --是一个在紧集}||],,[|),{(δ≥-∈y x b a y x y x 、连续的函数，取 2)(|)()(|max y x y f x f C --= 则对任何],[b a y x ∈、，2)(|)()(|y x C y f x f -+<-ε。
Weierstrass 定理的证明：不妨设]1,0[],[=b a ，以下证明0||||→-∞f B f n 。
首先设y 是任意一个固定的数。
由引理3，对任何0>ε，存在常数C ，使)2(2/)(2/|)()(|222y xy x C y x C y f x f +++=-+<-εε根据引理1、2，我们知道 )21(2/))(2/(|)())((|222y xy n x x n n C y x C B y f x f B n n +-+-+=-+<-εε特别，令y x = (2/)21(|)())((|2222ny y C y y n y y n n C y f y f B n -+=+-+-+<-εε 取4C N ε≥，则当N n >时， ε<-|)())((|y f y f B n由于y 是任意一个固定的数，N 的选取与N 无关。
lindemann-weierstrass定理证明_概述说明
lindemann-weierstrass定理证明概述说明1. 引言1.1 概述在数学领域中，Lindemann-Weierstrass定理是一项重要的数学成果，它深化了我们对于超越数和代数数的理解。
此定理是由德国数学家Ferdinand von Lindemann和Karl Weierstrass共同证明的。
该定理提供了确切的条件来判断一个给定的常量或者变量是否为超越数。
1.2 文章结构本文将以如下顺序讨论Lindemann-Weierstrass定理及其证明过程。
首先，在第二部分将回顾相关的理论背景和先前研究，以帮助读者了解该定理所处的上下文；随后，在第三部分详细说明Lindemann-Weierstrass定理的表述、前置条件和假设；接着，在第四部分我们将逐步呈现整个证明过程中的关键步骤；在第五部分，我们将对结果进行深入分析并展开进一步讨论其意义和推广应用；最后，在第六部分总结全文并强调Lindemann-Weierstrass定理带来的重要影响。
1.3 目的本文旨在介绍Lindemann-Weierstrass定理及其证明过程。
我们希望通过这篇文章，读者可以了解该定理在数学领域中的地位和重要性，并深入了解其证明过程的关键步骤。
此外，我们也希望讨论该定理的结果对于数学研究的意义以及未来可能的推广和应用方向。
通过阅读本文，读者将能够更好地理解Lindemann-Weierstrass定理，并在相关领域有所启发和进一步探索的动力。
2. Lindemann-Weierstrass定理2.1 理论背景Lindemann-Weierstrass定理是由两位数学家Ferdinand von Lindemann和Karl Weierstrass在19世纪末提出的重要数学定理。
该定理建立在初等代数和解析函数论的基础上，涉及到数论、代数和分析等多个领域。
2.2 定理表述Lindemann-Weierstrass定理表明，对于任意一个非零代数整系数多项式$f(x)$，如果其所有系数都是代数数（即可由有理系数组合而成），那么对于任意一个非零有理常数$a$，至少存在一个实常数$x_0$使得$f(a+x_0)$为超越数（即不会成为代数方程的根）。
关于Weierstrass定理的证明
材通过在有界数列中寻找一个单调子列来证明 Weierst rass 聚点定理 , 可惜证明过程存在问题. 通过对
证明过程中出现的问题进行分析 ,可得到基于单调有界定理的 Weierst rass 定理的证明.
关键词 数学分析 ; Weierst rass 定理 ;实数完备性理论.
中图分类号 ○172
1 2
[
f
(
a)
+
f ( b) ]
>
f
(
a
+ 1
b)
,
a+b
即
aa + bb > 2
a+b
2
.
2
注 可类似推出利用凹函数证明不等式中构造辅助函数的方法.
参考文献
[ 1 ] 华东师范大学数学系. 数学分析 (上册) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2001 :148 - 151. [ 2 ] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2006 :277.
数学分析教科书对它们的证明通常采用的顺序是cauchy收敛准则weierstrass聚点定理的证明数学分析教材基本上都采用二分法加区间套定理的方法对实数完备性定理的讨论采用的是另外一条途径
Vol. 12 ,No . 5 Sep . , 2009
S TUD IES
IN
高等数学研究 COLL EGE MA
44
高等数学研究 2009 年 9 月
有 x n < x n+i .
因此当 N = 时 ,并不能得出{ xn} 是单调增的 ,而是可以得到一个单调增的子列. 因此 ,证明
中的 (1) 不成立. 下面是我们给出的正确证明. Weierst rass 定理的证明 设{ xn} 为一有界数列 , 根据单调有界准则 , 为证明定理的结论 , 只
bolzano weierstrass定理证明 -回复
bolzano weierstrass定理证明-回复"Bolzano-Weierstrass定理证明"Bolzano-Weierstrass定理是数学分析中一个非常重要的定理，它关于有界数列的性质给出了一个非常明确的结论。
本文将逐步回答关于Bolzano-Weierstrass定理的证明。
首先，我们来了解一下Bolzano-Weierstrass定理的陈述。
该定理指出，任何有界的实数数列至少有一个收敛的子序列。
换句话说，如果一个数列的所有数都位于一个有界的区间内，那么它一定存在一个收敛的子序列。
证明Bolzano-Weierstrass定理的方法是通过二分法和不断缩小区间的方式来构造出这个收敛的子序列。
首先，我们来假设数列是有界的。
也就是说，它所有的数都位于一个区间[a,b]内。
如果数列只有有限项，那么显然它有一个收敛的子序列，因为我们可以选择任意一个数作为子序列。
因此，我们假设数列是无限的。
接下来，我们将使用二分法来构造这个收敛的子序列。
我们将区间[a,b]一分为二，并选择中点c。
由于数列是无限的，我们可以找到一个无穷子序列，使得子序列中的所有数都小于等于c。
在这个子序列中，我们仍然能够找到一个有界的区间[a1,b1]，其中a1和b1分别是子序列中的最小和最大值。
现在，我们重复上述步骤。
我们再次将区间[a1,b1]一分为二，并选择中点c1。
在子序列中，我们可以找到一个无穷子序列，使得该子序列中的所有数都小于等于c1。
同样地，我们还能找到一个有界的区间[a2,b2]，其中a2和b2分别是子序列中的最小和最大值。
我们可以一直重复这个过程下去，每次都将区间一分为二，并选择中点，然后找到子序列中的无穷子序列，使得该无穷子序列中的所有数都小于等于中点。
每次都可以找到一个有界的区间，其中最小和最大值分别是该无穷子序列中的元素。
通过这种二分法和逐步缩小区间的方式，我们可以逐步构造出一个收敛的子序列。
weierstrass因子分解定理的
weierstrass因子分解定理的Weierstrass因子分解定理是一项重要的数学定理，它宣称任何一个多项式（有限或无穷）都能够分解为多个简单的因子的乘积。
它的名字来源于19世纪德国数学家Karl Weierstrass，他在1856年被认为是最早发现这个定理的人。
他在发现多项式分解定理时，首先构建了有关多项式分解的几何证明。
他利用《几何学原理》一书中提出的几何原理，证明任何一个多项式都可以分解为几个简单因子的乘积。
他用数学分析的方式也证明了多项式分解定理，从而确立了多项式分解定理。
Weierstrass因子分解定理的重要性在于，它提供了一种方法来分解复杂的多项式，让我们更容易去理解并解决多项式问题。
在数学中，有时候运算复杂的多项式变得十分复杂，但是有了Weierstrass 因子分解定理，我们可以把复杂的多项式分解为多个简单因子的乘积，这样我们就可以更容易地运算。
此外，Weierstrass因子分解定理也是微积分及高等数学中的重要定理，在微积分和函数论中，Weierstrass因子分解定理用于证明一些有关数学分析和极限的定理。
在现代数学中，Weierstrass因子分解定理一直在发挥重要作用，它不仅用于数学分析，还被广泛应用于几何学，抽象代数学，微积分，物理学，信号处理和其他工程领域。
由于它的重要性和广泛的应用，因此，Weierstrass因子分解定理成为了数学历史上的一个重要定理。
从上面可以看出，Weierstrass因子分解定理在数学历史上起了重要作用，它是一项重要的定理，不仅在数学中发挥了重要作用，而且在其他科学领域中也发挥了非常重要的作用。
对于在数学，物理，信号处理和其他工程领域里的研究人员和工程师来说，Weierstrass 因子分解定理都是一项重要的知识，他们必须掌握和学习这项定理。
weiestrass定理
weiestrass定理Weierstrass定理是实分析中的一个重要定理，它描述了连续函数在闭区间上的性质。
Weierstrass定理的完整陈述是：对于闭区间上的任何实值连续函数$f(x)$，存在一个多项式函数$P(x)$，使得$|f(x)-P(x)|<\varepsilon$对于闭区间上的所有$x$成立，并且$\varepsilon$可以任意小。
这个定理的重要意义在于它确保了任何在闭区间上连续的函数都可以用多项式来逼近，这种逼近具有很强的局部性质和普遍性，因此在实际问题的数值计算中非常有用。
Weierstrass定理的证明基于多项式的性质和连续函数的密切性质。
基本思路是通过构造一个多项式函数序列来逼近给定的连续函数。
下面给出Weierstrass定理证明的一个简单版本：假设我们要逼近的函数是$f(x)$，在闭区间$[a,b]$上。
我们可以首先构造一个多项式函数$P_1(x)$，使得$P_1(x)$在$[a,b]$上与$f(x)$的差值不超过$\frac{\varepsilon}{3}$。
这可以通过多项式的收敛性质来实现。
接下来，我们再构造一个多项式函数$P_2(x)$，使得$P_2(x)$在$[a,b]$上与$f(x)-P_1(x)$的差值不超过$\frac{\varepsilon}{3}$。
这可以通过在$[a,b]$上逐渐减小$f(x)-P_1(x)$的振幅来实现，再次利用多项式的收敛性质。
重复这个过程，我们可以得到一个多项式函数序列$P_k(x)$，使得$|f(x)-P_k(x)|<\frac{\varepsilon}{3^k}$在$[a,b]$上成立。
最后，我们定义$P(x)$为所有$P_k(x)$的加权和，即$P(x) =\sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k}P_k(x)$。
由于$|f(x)-P_k(x)|<\frac{\varepsilon}{3^k}$，根据级数收敛的性质，可以证明$|f(x)-P(x)|<\varepsilon$在$[a,b]$上成立。
Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用
本科毕业论文题目： Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用学院：班级：姓名：指导教师：职称：完成日期：年月日Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用摘要：Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,该定理阐述了在预先给定的精度下,可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数.本文第一部分用Bernstein多项式证明了Weierstrass逼近定理,从而很直观地说明了[]bC,中的函a数()xf可被函数多项式一致逼近.之后又引入切比雪夫多项式的一个多项式核来给出另外一种不同的证明方法.第二部分简单介绍了Weierstrass逼近定理在不同情形下的一些推广.最后一部分则是Weierstrass逼近定理的一些应用.关键词：Weierstrass逼近定理； Bernstein定理；切比雪夫多项式；测度收敛目录1 Weierstrass逼近定理及其证明 (3)1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 (3)1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3)1.1.2 闭区间[]ba,上的weierstrass逼近定理 (5)1.2 Weierstrass逼近定理的第二种证明 (6)2 Weierstrass逼近定理的推广 (8)2.1 Weierstrass第二定理 (8)2.2 Weierstrass-Stone定理 (9)2.3 复函数情形下的Weierstrass逼近定理 (9)2.4 非连续函数的情形 (10)3 Weierstrass逼近定理的应用 (11)3.1 复合函数的测度收敛定理 (11)3.2 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11)在一致逼近的理论中,遇到的第一个问题是:在预先给定的精度下,能否用多项式逼近任意给定的连续函数?1985年,weierstrass 对这个问题给出了肯定回答: Weierstrass 逼近定理设()[]1,0C x f ∈ ,则存在多项式n n P x p ∈)(,使0)()(max lim 10=-≤≤∞→x p x f n x n .1 Weierstrass 逼近定理的证明1.1 Weierstrass 逼近定理的第一种证明1.1.1 Weierstrass 逼近定理的Bernstein 证明对于这个著名的定理,至今有多种不同的证明方法.下面将给出Bernstein 的证明,其精度虽不是最好的,但非常精彩.定义1 设()[]1,0C x f ∈,()x f 的第()1≥n n )个Bernstein 多项式由下式给出:kn k nk n n x x k n n k f x f B f B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑)1();()(0.显见n n P f B ∈)(.引理1 下列恒等式成立:(1)()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , (2)()()010=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑kn k nk x x k n nx k, (3)()()()x nx x x k n nx k k n k nk -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑112. 引理2 对任意给定的δ＞0 及10≤≤x ,有()2411δδn x x k n k n k x n k≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-∑,其中求和号表示对固定的x 满足不等式δ≥-x nk 的k 求和.该引理的意义在于当n 很大时,在和式()kn nk kx x k n -=∑-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01中,起主要作用的只是满足条件δ<-x nk 的那些k 值所对应的项的和,而其余的项对和的值无多大影响.证 我们从(1)知()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , 因此两边同时乘以()x f 有()x f =()()kn k nk x x k n x f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10.对任意0>δ,我们有()()x f f B n -≤()()kn k nk x x k n x f n k f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10=()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 +()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1. 由于()x f 在x 处连续,对任给0>ε,存在0>δ,使得 当δ<-x n k 时,()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f ,故第一个和式()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f nk f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ε≤()kn k x n kx x k n -<--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑1δ ε≤()kn k nk x x k n -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10ε=.又由()x f 在[]1,0上连续,所以存在M >0,使得()()M x f n k f x f n k f ≤+⎪⎭⎫⎝⎛≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛.故由引理2,第二个和()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ≤()∑≥---⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k kn k x x n k M124δn M ≤.因此,对任何0>ε,先取0>δ,使得当δ<-x nk 时，()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f然后固定δ,再取n 充分大,就有()()ε2<-x f f B n .注意到我们在定理的证明中,对第一个和只用到()x f 在x 处连续,对第二个和只用到()x f 在[]1,0上有界.因此有Bernstein 定理 ：设()x f 在[]1,0上有界,则()()x f f B n n =∞→lim 在任何()x f 的连续点[]1,0∈x 成立.如果()[]1,0C x f ∈,则极限在[]1,0上一致成立.注(1)若有界函数()x f 在点x 处存在有限的二阶导数()x f ", 则()()()()()nn x x nx f x f f B n ρ+-''+=12,其中()()∞→→n n 0ρ.(2) 若()x f 在[]1,0上有连续的导数()x f ',则()x B n '一致收敛于()x f '.(3) 设()[]1,0C x f ∈,那么()()()()x ff B p p n n =∞→lim 在[]1,0上一致地成立.(4) 若()()0≥x fp ,∈x []1,0,那么，()()0≥f B p n ,∈x []1,0.(5) 若()x f 在[]1,0上是非减的,那么()f B n 在[]1,0上也是非减的. (6) 若()x f 在[]1,0上是凸的,那么()f B n 在[]1,0上也是凸的.由以上的推论可知,一个连续函数的Bernstein 多项式逼近与被逼近函数的极值和高阶导数有关,并且单调的和凸的函数分别产生单调的和凸的逼近.总之,Bernstein 多项式模拟被逼近函数的特性达到十分惊人的程度. 1.1.2 闭区间[]b a ,上的weierstrass 逼近定理 设()[]b a C x f ,∈,则存在多项式n n P x p ∈)(,使得0)()(max lim =-≤≤∞→x p x f n bx a n .证 令()a b y a x -+=,则有()()()()y a b y a f x f ϕ=-+=. 因为ab a x y --=,所以()y ϕ是定义在[]1,0上的连续函数,于是由Weierstrass 逼近定理知存在多项式()knk kycy Q ∑==,使得对于一切[]1,0∈y ,有()()()()εϕ<--+=-∑=nk kkyca b y a f y Q y 0.也就是()[]b a x a b a x c x f nk kk ,,0∈<⎪⎭⎫⎝⎛---∑=ε.1.2 Weierstrass 逼近定理的第二种证明首先引入切比雪夫多项式(Chebyshev ’s polynomials)的一个多项式核. 引理3 恒等式cos (),2,1,cos cos 211=+=∑-=-n n kn k n knn θλθθ为真,其中()()n n n 10,,-λλ 为某些常数.推论3 当[]1,0∈x 时,恒等式()(),2,1,2arccos cos 11=+=∑-=-n x x x n kn k n knn λ成立.定义2 称多项式()()x n x T n arccos cos =为n 次切比雪夫多项式.设()()()x n x T n arccos 12cos 12+=+是12+n 次切比雪夫多项式,对任意N n ∈,在[]1,1-上令()()2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x x T x K n n n γ,其中()dx x x T n n 21112⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=γ. 如上定义的()x K n 在定理证明中将起到多项式核的作用.它具有下列性质: 性质1 ()x K n 是n 4次多项式,且是偶数.性质2 由定义显然有下面的恒等式()111=⎰-dx x K n .性质3 对于 何()1,0∈δ,及N n ∈都有()δδn dx x K n 11<⎰.证 由第一种证明可知,我们只需证明[][]1,1,-=b a 的情况即可.首先将()x f 连续开拓到[]2,2-上.例如,我们令()x f =()()()[)[](].,,2,11,11,2,,,11∈-∈--∈⎪⎩⎪⎨⎧-x x x f x f f 显然,()x f 在[]2,2-上一致连续.对任意N n ∈,当∈x []1,1-时,以n K 为核构造函数 ()()dtx t K t f x P n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-33122. (1)由于n K是n 4次多项式,故()()knk n kn x t x t K ∑==⎪⎭⎫⎝⎛-403λ.所以()()()()kn k k n kx dtx t t f μλ=⎰-22,其中()n k μ是常数,故而()x P n 是一个n 4次的多项式.令3x t -=η，(1)就变为()()()ηηηd K x f x P n xx n ⎰---+=32323 (2)由性质2,可得()()=-x P x f n ()()()()⎰⎰----+-3232113xx n n d K x f d K x f ηηηηη=()()[]()ηηηδδd K x f x f n⎰-+-333+()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎰⎰----≤()()⎰-+-333δδηx f x f ()ηηd K n +()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331+()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰----. 将上式中最后所得三个积分依次记为32,1,I I I .由于()x f 在[]2,2-上一致连续,故对任意0>ε,存在0>δ.当[]2,2,,2121-∈<-x x x x δ时必有()()ε<-21x f x f , (3)所以()εηηεδδ<≤⎰-d K I n 331.设[]()x f M x 2,2max -∈=,那么()δηηδn M d K MI n 62132<≤⎰.()ηηδδd K M I n xx⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎰⎰----3233323()δηηδδn M d K M n61331<⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎰⎰--.所以()()δεn M x P x f n 12+<-.因此,对任意0>ε,先取定δ,使(3)成立,然后固定δ,再取n 充分大就有()()ε2<-x P x f n .2 Weierstrass 逼近定理的推广 2.1 Weierstrass 第二定理Weierstrass 逼近定理说明了可以用多项式来逼近[]b a ,上的连续函数,Weierstrass 第二定理将给出关于三角多项式和周期连续函数的一个相应的结论.设()π2C x f ∈,对任意0>ε,存在三角多项式()x T ,使得对于一切实数x ,都有()()ε<-x f x T .其中π2C 表示()∞∞-,上以π2为周期的连续函数集合.也就是说,任何具有周期π2的连续函数都能用三角多项式一致地逼近. 注:通常把这个定理和Weierstrass 逼近定理分别称作Weierstrass 第二定理和Weierstrass 第一定理.我们可以通过以下几个引理证得这个定理,这里不做详细证明.见参考文献[1].引理1 若()πϕ2C x ∈,则对于任何a ,等式()()dx x dx x a a⎰⎰=+ππϕϕ202都成立.引理2 对任何N n ∈有下面的恒等式()2!!2!!12cos 202ππn n tdt n -=⎰.引理3 对于一切实数,一致地有 ()()x f x V n n =∞→lim .其中()π2C x f ∈,()()()dt x t t f n n x V nn 2cos21!!12!!22--=⎰-πππ.要想由此推得Weierstrass 第二定理,只须证明()x V n 是一个三角多项式即可.为此,我们需要下列引理.定义1 若0>+n n b a ,则称三角多项式()()∑=++=nk k kn kx b kx aA x T 1sin cos 的阶为n.引理 4 两个三角多项式的乘积仍为一个三角多项式,且其阶等于两因子阶之和.引理5若三角多项式()x T 为一偶函数,即()()x T x T =-,则 它可以表示成()∑=+=nk k kx a A x T 1cos 的形式,即式中不含倍角的正弦.2.2 Weierstrass-Stone 定理设E 是某个度量空间中的任意子集,它至少包含两个不同的元素,并且在E 上成立有限覆盖定理.设定义在E 上的实函数系(){}x p 组成一个线性空间,且构成一个环Y ,这个环包含常数,且对于E 中任意两个不同的元素1x ,2x ,在环Y 中存在函数()x p ,使()()21x p x p ≠,于是对于E 上定义的任意一个实连续函数()x f ,对于任给0>ε,在Y 上存在元素()x p ,使得有()()E x x p x f ∈<-,ε.利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理,例如下面的有理函数逼近定理设()()∞∞-∈,C x f ,则任给0>ε,存在有理函数()Ω∈x R , 使()()ε<-x R x f ,∞<<∞-x .其中Ω表示分子的次数不大于分母次数的全体实系数有理函数()x R 空间. 2.3复函数情形下的Weierstrass 逼近定理定理1 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂， 使得()()x f x p n n =∞→lim .引理1 度量空间[]()d b a C X ,,=中点列(){}x f n 收敛于()x f 当且仅当函数列(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f .证 []()d b a C X ,,=中点列{}n f 收敛于()x f .当且仅当()[]()()0max lim ,lim ,=-=∈∞→∞→x f x f f f d n b a x n n n等价于(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f . 由定理1和引理1即可证得如下定理:定理2 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂，使得(){}x p n 在[]b a ,上一致收敛于()x f . 2.4 非连续函数的情形定理1 如果一个函数()x f 与一个连续函数()x g 在闭区间[]b a ,上几乎处处相等（即除了一个零测集A 外都相等）,那么0>∀ε,都存在多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.证 函数()x f 与连续函数()x g 在[]b a ,上几乎处处相等,因此对0>∀ε,有[]()()[]()()[]()()εεε<-≤-=-∈x g x p x g x p x f x p b a x Ab a x Ab a x ,\,\,max maxmax.由此可以看出,是否存在多项式()x p 逼近定义在闭区间上的函数()x f ,只要衡量函数()x f 是否能与一个连续函数()x g 几乎处处相等,即使函数()x f 是处处不连续的,也有上面定理的结论.利用这个定理可以解释下面两个例子.例1:().20,02,1,1≤<≤≤-⎩⎨⎧-=x x x f显然,函数()x f 是除了零点以外其它各点都连续的分段函数,几乎处处连续但不连续,我们不能找到一个多项式使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立,只能找到一个分段多项式满足不等式,这个多项式恰恰是这个函数本身.例2:()[].\2,1,,0,1Q x Q x x f ∈∈⎩⎨⎧=其中Q 是定义[]2,1在上的有理数集.显然函数()x f 是处处不连续的,但取()0p =x ,不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立.3 Weierstrass 逼近定理的应用 3.1 复合函数的测度收敛定理设()x g 在R 上连续函数,若在可测集E 上几乎处处一致有界可测函数列(){}x f n 测度收敛于()x f ,则在E 上可测函数列()(){}x f g n 测度收敛于()()x f g . 3.2 Weierstrass 逼近定理的逆定理Weierstrass 逼近定理从正面阐述了连续函数可以用多项式来逼近的重要性质,反之,如果一个定义在闭区间上的函数能用多项式逼近,则该函数必然是连续函数.定理 在实数范围内,对定义在闭区间[]b a ,上的函数()x f ,如果满足对0>∀ε,都存在这样的多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立,那么函数()x f 必然是连续函数.由此,我们得到如下结论,这可以作为Weierstrass 逼近定理的补充或充要条件.结论1 ()[]b a C x f ,∈的充分必要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立.结论2 函数()x f 是连续函数或是与一个连续函数几乎处处相等的函数的充分必 要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.这里A 为零测度集.例1: 设函数()x f 定义在闭区间[]b a ,上，且在该区间上与一个连续函数()x f 几乎处处相等,则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是()0=x f 在[]b a ,上几乎处处成立.证 充分性显然,只需证明必要性.由条件有()()x g x f =,([])A b a x \,∈,其中A 是[]b a ,上的零测度集.所以0=()()[]()dx x f x dx x f x dx x f x AnAb a n ban ⎰⎰⎰+=\,=()[]()dxx g x dx x g x AnAb a n⎰⎰+\,=()dx x g x ban ⎰因此由注释①可得()0=x g ,[]b a x ,∈注意当[]A b a x \,∈时, ()()x g x f =,所以()0=x f ,[]A b a x \,∈.证毕. 注释：①设函数()[]b a C x f ,∈.则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是: ()0=x f ,[]b a x ,∈. ②设E 为有界集,当E m E m **=时,称E 为可测的.其中外测度mG E m EG ⊃*=inf ,内测度mF E m EF ⊂*=sup .③设()x f n 是可测集E 上的可测函数列,()x f 是E 上的可测函数.如果对每个0>ε, 有()0lim =≥-∞→εf fmEnn ,则称序列()x f n 测度收敛于()x f .参考文献：[1]莫国端，刘开第．函数逼近论方法[M]．北京：科学出版社，2004：11-44．[2]艾斯卡尔·阿布力米提．Weierstrass 逼近定理的一个应用 [J]．新疆教育学院学报，1999，15 (45)：53-54．[3]Parlett B N.The QR algorithm[J]．Computing in Science & Engineering ，2000，2(1):38-42． [4]Powell M J D ．Approximation theory and methods[M].New York:Cambridge University Press ，1981．[5]刘洋，李宏．关于Weierstrass 逼近定理的几点注记[J]．数学实践与认识，2009，39(2)：208-210．[6]郝玉斌．关于Weierstrass 一致逼近定理的证明[J]．黑龙江大学自然科学学报，1985，3． [7]沈燮昌．Weierstrass 逼近定理及其应用[J]．曲阜师范大学学报，1989，15(2)．Proof and Extension on Weierstrass Approximation TheoremAbstract :The weierstrass approximation theorem is one of the important theorems in functional approximation theories. This theorem expounds that, the precision can be given in advance ,continuous function defined any given on the closed interval can be approximated by a polynomial. At the first part, the article uses the bernstein polynomials to prove the weierstrass approximation theorem. Thus it directly expresses the fanction f(x) in C[a,b]could be approximated uniformly by polynomials.In addition, the article can offer another different proof by chebyshev’s polynomials. At the second part, there are some generalized theorems in different places. And some applications of the weierstrass approximation theorem is given finally.Key words : W eierstrass approximation theorem; Bernstein theorem; Chebyshev’s polynomials; convergence in measure.。
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因为
f ( x) = x x , x ∈ (0 , + ∞) ,
f ′( x) = x x (ln x + 1) , f ″( x) = x x [ (1 + ln x) 2 + 1 ] > 0 ,
x
故由定理知 , f ( x) 在 (0 , + ∞) 内为严格凸函数 ,根据 J ensen 不等式有
1 2
[
f
(
a)
+
f ( b) ]
>
f
(
a
+ 1
b)
,
a+b
即
aa + bb > 2
a+b
2
.
2
注 可类似推出利用凹函数证明不等式中构造辅助函数的方法.
参考文献
[ 1 ] 华东师范大学数学系. 数学分析 (上册) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2001 :148 - 151. [ 2 ] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2006 :277.
摘 要 对于 Weierst rass 聚点定理 ,部分教材通常多采用二分法加区间套定理进行证明. 也有教
材通过在有界数列中寻找一个单调子列来证明 Weierst rass 聚点定理 , 可惜证明过程存在问题. 通过对
证明过程中出现的问题进行分析 ,可得到基于单调有界定理的 Weierst rass 定理的证明.
对 Weier st rass 聚点定理的证明 ,数学分析教材基本上都采用二分法加区间套定理的方法[1] . 而文 [2 ] 对实数完备性定理的讨论采用的是另外一条途径 :
确界定理 ] 单调有界定理 ] Weierst rass 定理 ] Cauchy 收敛定理. 特别地 ,对于 Weierst rass 聚点定理的证明 ,该文献采取寻找单调有界子列的方法 , 从而自成体系. 只是定理的证明过程出现了一些问题. 下面我们就定理的证明进行详细的讨论. 首先看文献 [2 ] 对该定理的描述及证明.
(3) 若 N 为无限集 ,则根据 N 的定义 ,指标集 N 所对应的子列 { xnk | nk ∈ N } 是一个单调递 减数列.
综上所述 ,有界数列均存在单调子列 ,因而存在收敛子列. 证毕.
参考文献
[1 ] 华东师范大学数学系. 数学分析 (上册) [ M ] . 3 版. 北京 :高等教育出版社 ,2003 :167. [2 ] 王绵森 ,马知恩. 工科数学分析基础 (上册) [ M ] . 2 版. 北京 :高等教育出版社 ,2006.
(1) 若 N = ,则对任意 n ∈ N+ ,都有 xn < xn+i ( i = 1 , 2 , …) ,即 { xn} 是严格单调增的 ,在 这种情况下 , { x n} 是收敛的 ,所以任何子列都收敛.
(2) 若 N 为 N + 的有限子集 ,则存在 n1 ∈N+ ,使 n1 大于 N 中的所有数 ,因为在 n1 | N ,所以 根据 N 的定义 ,存在 n2 ∈ N+ , n2 > n1 ,使 x n2 > x n1 . 又 n2 | N , 同理存在 n3 ∈ N+ , n3 > n2 , 使 x n3 > x n2 . 如此继续下去 ,得到 n1 < n2 < n3 < …, 使得 x n1 < x n2 < x n3 < …, 故 { x nk } 是{ x n} 的 一个严格单调增的子列 ,所以是一个收敛子列.
(2) 若 N 为有限集 ,则 N 有界 ,即存在一个正整数 M ,使得对任意 n ∈ N , 恒有 n < M 成立. 考虑数列{ xn} 的子数列{ xM , x M+1 , xM+2 , …} ,则该子数列所对应的指标集 N = , 根据 (1) 的结 论 ,存在数列 { x M , x M+1 , x M+2 , …} 的一个单调递增子列{ x nk } .
Vol. 12 ,No . 5 Sep . , 2009
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高等数学研究 COLL EGE MA
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关于 Weier st ra ss 定理的证明3
倪谷炎1 白敏茹2
(1 国防科学技术大学理学院 长沙 410073 ; 2 湖南大学数学与计量经济学院 长沙 410082)
Weierst rass 定理[2] 有界数列必有收敛子列. 证明[2 ] 设{ xn} 为一有界数列 ,必存在 a , b ∈R,使得任意 n ∈N+ ,都有 xn ∈[ a , b]. 根据单调 有界准则 ,为了证明定理的结论 ,只要在任何情况下都能在该数列中找到一个单调子列就行了. 设
N = { n ∈ N+ | x n ≥ x n+i , i = 1 , 2 , …} , 则 N Α N+ . 从逻辑上看 N , 有且仅有三种情况 : N = ; N 为有限集 ; N 为无限集.
关键词 数学分析 ; Weierst rass 定理 ;实数完备性理论.
中图分类号 ○172
实数完备性理论有 6 个等价定理. 数学分析教科书对它们的证明通常采用的顺序是[1] : 确界定理 ] 单调有界定理 ] 区间套定理 ] 聚点定理 ] 有限覆盖定理 ] Cauchy 收敛准则 ] 确界定理.
要证明数列{ xn} 存在一个单调子列{ xnk } 就行了. 假设指标集 N = { n ∈ Z+ | x n ≥ x n+i , i = 1 , 2 , …} ,
则 N Α Z+ . 从逻辑上看 , N 有且仅有三种情况 : N = ; N 为有限集 ; N 为无限集. (1) 若 N = ,则对任意 n ∈ Z+ ,都存在 i ∈ Z+ ,使得 x n < x n+i . 现取 n1 = 1 ,即 x n1 = x1 ,
(上接第 28 页)
证明 引入辅助函数 f ( x)
= ln
x
+
1 x
,证法同例 4 ,略.
如果欲证的不等式中各因式均为 x x 形式 ,可构造辅助函数为 : f ( x) = x x .
a+b
例 6 设 a > 0 , b > 0 ,且 a ≠b ,证明 aa + bb > 2
a+b
2
.
2
证明 引入辅助函数
综上所述 ,无论在哪种情况下 ,{ xn} 都存在着收敛子列 ,定理得证. 证毕. 但是 ,证明中的 (1) 不成立. 根据指标集 N 的定义 ,应该得出的结论是 : 对于任意正整数 n | N ,则一定存在某些 i ∈N+ ,使得 xn < xn+i ,而不是对所有的正整数 i ,都
3 收稿日期 :2008 - 01 - 01. 修改日期 :2008 - 06 - 01.
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高等数学研究 2009 年 9 月
有 x n < x n+i .
因此当 N = 时 ,并不能得出{ xn} 是单调增的 ,而是可以得到一个单调增的子列. 因此 ,证明
中的 (1) 不成立. 下面是我们给出的正确证明. Weierst rass 定理的证明 设{ xn} 为一有界数列 , 根据单调有界准则 , 为证明定理的结论 , 只
则存在 i1 ∈ Z+ 使得 x n1 < x n1 +i1 , 令 n2 = n1 + i1 , 则 n1 < n2 且 x n1 < x n2 . 类似地 , 存在正整数 n3 , 使得 n2 < n3 且 x n2 < x n3 . 依次得到正整数 n4 , n5 , …,满足 n3 < n4 < n5 < …,使得 x n3 < x n4 < x n5 < …,于是得到数列{ x n} 的一个单调递增子列{ x nk } .
(3) 若 N 为 N + 的无限子集 ,设无限子集中的元素按严格单调增的顺序排列为 n1 < n2 < … < nk < nk+1 < …根据 N 的定义 ,则有 x n1 ≥ x n2 ≥ … ≥ x nk ≥ x nk+1 ≥ …即 { x nk } 是{ x n} 的一个单 调递减子列 ,因而也是一个收敛子列.