立体几何(几何法)—线面角

立体几何（几何法）—线面角例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
如图，四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面
ABCD
，AC=2
PA=，E是PC上的一点，2
PE EC
=。

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A PB C
--为90o，求PD与平面PBC所成角的大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又P A⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22，
P A＝2，PE＝2EC，故
PC＝23，EC＝23
3
，FC＝2，
从而PC
FC ＝6，AC
EC
＝ 6.
因为PC
FC ＝AC
EC
，∠FCE＝∠PCA，所以
△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠P AC＝90°，由此知PC⊥EF.
D
PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED . (2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足． 因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC . 又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ， 故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .
BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝
P A 2＋AD 2＝2 2.
设D 到平面PBC 的距离为d .
因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，AD 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.
设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.
方法二：(1)以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .
设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b >0，则P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫
423
，0，23，B (2，
－b,0)．
于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ，23，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－b ，23，从而PC →·BE
→＝0，
PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .
又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)AP
→＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)． 设＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则·AP →＝0，·AB →＝0，
即2z ＝0且2x －by ＝0， 令x ＝b ，则＝(b ，2，0)．
设＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则 ·PC →＝0，·BE
→＝0， 即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋2
3r ＝0，
令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－2
b ，2.
因为面P AB ⊥面PBC ，故·＝0，即b －2
b ＝0，故b ＝2，于是＝(1，－1，2)，DP
→＝(－2，－2，2)， cos 〈，DP →
〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，
〈，DP →〉＝60°.
因为PD 与平面PBC 所成的角和〈，DP
→〉互余， 故PD 与平面PBC 所成的角为30°.
例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分）
如图1－4，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC ＝1，
PC＝23，PD＝CD＝2.
(1)求异面直线P A与BC所成角的正切值；
(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
图1－4
【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠P AD为异面直线P A与BC所成的角．
＝2.
在Rt△PDA中，tan∠P AD＝PD
AD
所以，异面直线P A与BC所成角的正切值为2.
(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD ＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.
(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.
由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．
在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，PC ＝23，可得∠PCD ＝30°. 在Rt △PEC 中，PE ＝PC sin30°＝ 3.
由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC ，因此BC ⊥PC . 在Rt △PCB 中，PB ＝
PC 2＋BC 2＝13.
在Rt △PEB 中，sin ∠PBE ＝PE PB ＝3913.
所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为39
13.
例3（2012高考浙江文20）（本题满分15分）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱
柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．
(1)证明：(i)EF ∥A 1D 1； (ii)BA 1⊥平面B 1C 1EF ；
(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值．
图1－5
【答案】解：(1)证明：(ⅰ)因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1⊄平面A 1D 1DA ，所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA ，
又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ， 所以C 1B 1∥EF ，
所以A1D1∥EF.
(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥B1C1.
又因为B1C1⊥B1A1，
所以B1C1⊥平面ABB1A1，
所以B1C1⊥BA1.
，
在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝2
2
即∠A1B1F＝∠AA1B，
故BA1⊥B1F，
所以BA1⊥平面B1C1EF.
(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.
由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝4
.
6
，得
在直角△BHC1中，BC1＝25，BH＝4
6
sin∠BC1H＝BH
BC1＝30
15
，
所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是30
15.。