2-8不变子群和商群

N 的商群.
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商群有下列常用的性质:
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N].
2)如果 G 是有限群, 则商群 G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ G .
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一 商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
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解：
因为 H(13) {(13), (123)}
(13)H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
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二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 aG , aN Na
,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群）
，记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群.
例2 任意群 G 的中心 C(G) {c G | a G, ca ac}
，结合律；
④ (eN )(aN ) aN,有左单位元 eN N ；
⑤ (1N )(aN ) eN ,有逆元.
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四、商群
N G G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成群.
定义 2
设 N G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成的群为 G 关于
都是不变子群. 例3 交换群的子群 都是不变子群.
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例：N刚好包含群G的所有有以下性质的元n, na an, 不管a是G的哪一个元 则N是G的一个不变子群 e N, N非空 n1a an1, n2a an2 n1n2a n1an2 an1n2 n1 N, n2 N n1n2 N na an n1a n1ann1 n1nan1 an1 n N n1 N N是一个子群
(h1h21)h2 (n1n21)h21
H是G的子群，h1h21 H
N是G的不变子群,由定理2知：h2 (n1n21)h21 N
(h1n1)(h2n2 )1 HN
n1n21 N , h2 G
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设N是群G的一个不变子群，将N得所有陪集的集合记为： G N {aN / a G}
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定理：一个群G的一个子群N是一个不变子群 aNa1 N (a G)
证明：" " 假设N是不变子群，a G aN Na
aNa1 (aN )a1 (Na)a1 N (aa1) Ne N " " 假设 a G,有 aNa1 N
(ab)N (ab)N
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四、商群
N G G / N {aN | a G}
关于 aN bN (ab)N 做成群.
证明：
①N G / N ，非空；
② 乘法运算 (aN )(bN ) (ab)N ；
③ (aNbN )cN aN (bNcN ) (abc)N
规定G N 的乘法运算 (aN )(bN ) (ab)N
下面说明以上规定的乘法是G N 的一个代数运算， 即N的任意两个陪集aN , bN的乘积是唯一一个陪集， 这个结果与陪集的代表元a,b的选取无关
设aN aN,bN bN，则
(aN)(bN) (ab)N a(Nb) a(Nb) (aN)b (aN)b a(Nb) a(bN) (ab)N
但G的每一个元a可以同N的每一个元n交换,Na aN
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例：交换群G的任意子群N都是不变子群 证明：对G中任意元a以及N中任意元n，都有
an na （2） 则必有：aN Na （1）
注意：(2)成立构成了(1)成立的充分条件，即集合aN中的任意元 an都与Na中对应元na相等，那么必然有aN Na
而不变子群的定义中条件aN Na只要求两个集合aN与Na相等
即对于aN中任意元an，只要存在n N,使得an na Na即可， 不要求一定有n n
(2)是(1)成立的充分而非必要条件
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例4 G S3 {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} H {(1), (12)} N {(1), (12 3), (1 3 2)}
Na (aNa1)a (aN )(a1a) aNe aN N是不变子群
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例：设H是G的子群，N是G的不变子群，证明：HN是G的子群 证： ee e HN,HN是G的非空子集 h1n1, h2n2 HN , h1, h2 H ;n1, n2 N (h1n1)(h2n2 )1 h1n1n21h21 h1(h21h2 )(n1n21)h21