2015高考真题空间向量

1.（15北京理科）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；

(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；

(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．

O F

E

C

B

A

试题解析：(Ⅰ)由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点，则AO EF ⊥

，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，

则AO BE ⊥.

(Ⅱ)取CB 的中点D ，连接OD,以O 为原点，分别以、、OE OD OA 为、、x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,03)A a ，(,0,0),(2,233,0),(,0,3)E a B a AE a a -

=-u u r

，

(2,233,0)EB a a =--u u r

，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量

为1(0,1,0)n =u u r

，设平面AEB 的法向量2(,,1)n x y =u u r

，

2,-30,3n AE ax a x ⊥==

u u r u u r

，

2,(2)(233)0,1n EB a x a y y ⊥-+-==-u u r

u u r

，则2n =u u r

(3,1,1)-，二面角F AE B --的余弦值121212

15

cos ,55n n n n n n ⋅-〈〉==

=-⋅u u r u u r

u u r u u r u u r u u r ，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的余弦值为55

-

. （Ⅲ）有（1）知AO ⊥平面EFCB ，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，

(2,EB a =-u u r 233,0)a -，又(2,233,0)OC a =--u u r

，

22(2)(233)0BE OC a a ⋅=--+-=u u r

u u r

，解得

2a =或43a =

，由于2a <，则4

3

a =. 考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.

2.(15年安徽理科）如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F （1）证明：11//EF B C (2)求二面角11E A D B --余弦值.

3.（15年福建理科）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEC ，BE ^EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.

(Ⅰ)求证：//GF 平面ADE ； (Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．

G F

B

A

C

D

E

解析：解法一：（Ⅰ）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 的中点，

1

GH AB GH=AB 2P 所以，且，

又F 是CD 中点，1

DF=CD 2

所以，由四边形ABCD 是矩形得，AB CD AB=CD P ，，所以

GH DF GH=DF P ，且．从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ，,又

DH ADE GF ADE 趟平面，平面，所以GF ADE P 平面．

H

G F

B A

C D

E

H

G F

B A

C D

E

Q

所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为

2

3

． 解法二：(Ⅰ)如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ， 又AE ⊂面ADE ，GM ⊄面ADE ，所以//GM 平面ADE ． 在矩形ABCD 中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得//MF AD ．

又AD ⊂面ADE ，MF ⊄面ADE ，所以//MF 面ADE ． 又因为GM MF M =I ，GM ⊂面GMF ，MF ⊂面GMF ，

所以面//GMF 平面ADE ，因为GF ⊂面GMF ，所以//GM 平面ADE ．

M G F

B A C

D E

（Ⅱ）同解法一．

考点：1.直线和平面平行的判断；2.面面平行的判断和性质；3.二面角．

4.（15年新课标2理科）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。

5.（15年陕西理科）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，

D 2

π

∠BA =，C 1AB =B =，

D 2A =，

E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．

（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ； （II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．

试题解析：（I ）在图1中，

因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2

π

，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1A OC

又CD P BE ，所以CD ⊥平面1A OC .