2015高考真题空间向量

1.（15北京理科）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；
(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；
(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．
O F
E
C
B
A
试题解析：(Ⅰ)由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点，则AO EF ⊥
，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，
则AO BE ⊥.
(Ⅱ)取CB 的中点D ，连接OD,以O 为原点，分别以、、OE OD OA 为、、x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,03)A a ，(,0,0),(2,233,0),(,0,3)E a B a AE a a -
=-u u r
，
(2,233,0)EB a a =--u u r
，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量
为1(0,1,0)n =u u r
，设平面AEB 的法向量2(,,1)n x y =u u r
，
2,-30,3n AE ax a x ⊥==
u u r u u r
，
2,(2)(233)0,1n EB a x a y y ⊥-+-==-u u r
u u r
，则2n =u u r
(3,1,1)-，二面角F AE B --的余弦值121212
15
cos ,55n n n n n n ⋅-〈〉==
=-⋅u u r u u r
u u r u u r u u r u u r ，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的余弦值为55
-
. （Ⅲ）有（1）知AO ⊥平面EFCB ，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，
(2,EB a =-u u r 233,0)a -，又(2,233,0)OC a =--u u r
，
22(2)(233)0BE OC a a ⋅=--+-=u u r
u u r
，解得
2a =或43a =
，由于2a <，则4
3
a =. 考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.
2.(15年安徽理科）如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F （1）证明：11//EF B C (2)求二面角11E A D B --余弦值.
3.（15年福建理科）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEC ，BE ^EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.
(Ⅰ)求证：//GF 平面ADE ； (Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．
G F
B
A
C
D
E
解析：解法一：（Ⅰ）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 的中点，
1
GH AB GH=AB 2P 所以，且，
又F 是CD 中点，1
DF=CD 2
所以，由四边形ABCD 是矩形得，AB CD AB=CD P ，，所以
GH DF GH=DF P ，且．从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ，,又
DH ADE GF ADE 趟平面，平面，所以GF ADE P 平面．
H
G F
B A
C D
E
H
G F
B A
C D
E
Q
所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为
2
3
． 解法二：(Ⅰ)如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ， 又AE ⊂面ADE ，GM ⊄面ADE ，所以//GM 平面ADE ． 在矩形ABCD 中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得//MF AD ．
又AD ⊂面ADE ，MF ⊄面ADE ，所以//MF 面ADE ． 又因为GM MF M =I ，GM ⊂面GMF ，MF ⊂面GMF ，
所以面//GMF 平面ADE ，因为GF ⊂面GMF ，所以//GM 平面ADE ．
M G F
B A C
D E
（Ⅱ）同解法一．
考点：1.直线和平面平行的判断；2.面面平行的判断和性质；3.二面角．
4.（15年新课标2理科）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。

5.（15年陕西理科）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，
D 2
π
∠BA =，C 1AB =B =，
D 2A =，
E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．
（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ； （II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．
试题解析：（I ）在图1中，
因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2
π
，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1A OC
又CD P BE ，所以CD ⊥平面1A OC .
(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1A OC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2
A π
∠=.
如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为11B=E=BC=ED=1A A , BC ED P
所以12222(
,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222
B -
得22BC(,,0),22-
u u u r
122
A C(0,,)22
-u u u u r ，CD BE (2,0,0)==-u u u r u u u r . 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =u r ，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =u u r
，平面1BC A 与
平面1CD A 夹角为θ，
则111
0n BC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r
u r u u u r
，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =u r ， 2210
0n CD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r
u u
r u u u r ，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =u u r ， 从而1226
cos |cos ,|332
n n θ=〈〉=
=⨯u r u u r
， 即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为
6
3
. 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 6.（15
年天津理科）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱
1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,
12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.
(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；
(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD
所成角的正弦值为
1
3
，求线段1E A 的长
解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得
(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，
1111(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),(1,2,2)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得
11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭u u u u r ，
由此可得，0MN n ⋅=u u u u r r
，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD
(II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=u u u u r u u u r
，设1(,,)n x y z =u r 为平面1ACD 的法向量，则 1110
n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r
u
r u u u r ，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =u r ， 设2(,,)n x y z =u u r 为平面1ACB 的一个法向量，则21200n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r
u u r u u u r
，又1(0,1,2)AB =u u u r ，得 20
20
y z x +=⎧⎨
=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-u u r
因此有121212
10
cos ,10n n n n n n ⋅==-⋅u r u u r
u r u u r u r u u r ，于是12310sin ,10n n =u r u u r ，
所以二面角11D AC B --的正弦值为
310
10
. (III)依题意，可设111A E A B λ=u u u r u u u u r ，
其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r
，又(0,0,1)n =r
为平面ABCD 的一个法向量，由已知得
22211cos ,3
(1)(2)1NE n NE n NE n λ⋅==
=⋅-+++u u u r r
u u u r r u u u r r ，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得72λ=
-，
所以线段1A E 的长为
72-. 考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用.
7.（15年山东理科）如图，在三棱台DEF ABC -中，
2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.
（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,,45,AB BC CF DE BAC ⊥=∠=o
求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小.
解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T. 在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2,AC DF = 而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,
所以四边形DGCF 是平行四边形,T 是DC 的中点，DG//FC. 又在BDC ∆,H 是BC 的中点，则TH//DB ，
又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ；
（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ,可得DG ⊥平面ABC 而,45,AB BC BAC ⊥∠=o
则GB AC ⊥,于是,,GB GA GC 两两垂直， 以点G 为坐标原点，,,GA GB GC 所在的直线 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB =,则1,22,2DE CF AC AG ====
,
z
x y
F
D
E
A
G B H
C
22(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(
,,0)22
B C F H ---， 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u
r
，
设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，则2
200
n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ,即2222
22022
20x y x z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 取21x =，则221,2y z ==，2(1,1,2)n =u u r
，
1211
cos ,2
112n n <>=
=++u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o .
8.（15年江苏）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯
形，2
ABC BAD π
∠=∠=
,2,1PA AD AB BC ====
（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；
（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长
P A B
C
D
Q
考点：空间向量、二面角、异面直线所成角。