运筹学课件OR_5_线性目标规划
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绝对约束的作图与线性规划相同。 目标约束则先令di−与di+皆为0，作相应的直线，然后在这直线旁标上
di−与di+。
之后根据目标函数中的优先因子来分析求解。
可以满足绝对约束与目标约束的解就是目标规划的最优解。 若有某些约束得不到满足，得到的解就称为满意解。 绝对约束条件应视为目标规划问题的最优先级；若其不能满足，则
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Ningbo University
优先因子(优先等级)与权系数
一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到 这些目标时，会有主次或轻重缓急的不同，我们可以 透过赋予不同优先因子来区别。
例如，要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标 赋予优先因子P2, …, 并规定Pk>>Pk+1, k=1, 2, …, K。表示Pk比 Pk+1有更大的优先权。
目标规划市为了解决上述不足，而创建的一类数学模 型，其主要在分析各类目标重要性时，引入赋予各目 标优先因子和加权系数的概念
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Ningbo University
正负偏差量
设x1, x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+, d−。
1. 若要求恰好达到目标值，则应要求正、负偏差变量均尽可 能地小，这时，目标函数的形式为min z=f(d++d−)。
2. 若要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但正偏差变 量要尽可能地小，这时目标函数的形式为min z=f(d+)。
3. 若要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差变量要尽可 能地小，这时目标函数的形式为min z=f(d−)。
2,4
10 3,10 3
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Ex.目标规划的图解法
某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台 电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小 时。预计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可 获利80元；黑白电视机的销量是30台，每台可获利40 元。该厂确定的目标如下，试建立本问题的目标规划 模型，并求解黑白和彩色电视机的产量。充分利用装配线，负偏
首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标。 而P2级目标仅在实现P1级目标後才考虑；依此类推。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，可分 别赋予它们不同的权系数wj，这些都由决策者按具体 情况而定。
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目标规划的目标函数
目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正 、负偏差变量和赋予的优先因子及权系数而构造的。 当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小和 目标值的偏差。因此目标规划的目标函数的形式通常 是min z=f(d+, d−)。其具体形式大致有三种：
目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要 追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏 差。因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是 软约束。
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、 负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需 要将绝对约束变换为目标约束。 目标函数 z=8x1+10x2 → 8x1+10x2+d1−−d1+=56 约束条件 2x1+x2≤11 → 2x1+x2+d2−−d2+=11
x1,x2,di,di0,i1 ,2,3
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随堂练习
某市计划在下一年度购置一批救护车，已知每辆购置 价为20万元。救护车用于所属A, B两个郊区县，各分 配xA辆和xB辆。A县救护站从接到呼叫到出动的响应时 间为(40−3xA)分钟；B县救护站的响应时间为(50−xB)分 钟。该市确认如下优先目标，请建立目标规划模型。
问题不存在可行解。
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目标规划问题的图解法
m in
z
P1
d
1
P2
d
2
d
2
P3
d
3
2 x1 x2 11
x1 x1
x2
d
1
d
1
2 x2
d
2
d
0
2
10
8
x1
10x2
d
3
d
3
56
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0,i
1, 2, 3
线段GD已满足所有约束条件， 故此线段为此目标规划问题 的解。
1 8
2 10
10
3. 利润额不小于56元。
目标约束(要加偏差变量)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
minzP1d1P2 d2d2
P3
d
3
2x1x2 11 x1x2d1d10产品Ⅱ要较多，正偏差越小越好。 x12x2d2 d2 10充份利用且不加班，正负偏差皆越小越好。 8x110x2d3 d3 56利润不小于56元，负偏差越小越好。
Ningbo University
线性目标规划
Operations Research, Spring 2016, C.-J. Chang
Ningbo University
线性目标规划的介绍
线性规划问题存在两方面的不足
1. 不能处理多目标的优化问题。 2. 约束条件过于刚性化，不允许约束条件有丝毫超差。
1. 第一优先级：用于救护车的购置费不超过400万元。 2. 第二优先级： A县的响应时间不超过8分钟。 3. 第三优先级： B县的响应时间不超过8分钟。
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目标规划的图解法
对只具有两个决策变量的目标规划数学模型，可以用 图解法来分析求解。
先在平面直角坐标系的第一象限内画出各约束条件。
正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分。 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒有
d+×d−=0。
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绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的约束條件，不能满足这 些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。
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目标规划的数学模型
L
K
m in z
Pl
(
d
lk k
d
lk k
)
l1 k 1
n
ckj x j
d
k
d
k
gk,k
1, , K
j1
n
a ij x j ( , )bi , i 1, , m
j1
x
j
0,
j
1,
,n
d
k
,
d
k
0,k
1,
,K
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Ex. 线性目标规划 绝对约束
某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，相关数据见下表。若在
原材料的供应受严格限制的基础下依序考虑下列目标
，请试着建立其目标规划模型：
Ⅰ Ⅱ 拥有量
1. 产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量。 原材料/kg
2 1 11
2.
充分利用设备有效台时，不加班。
设备生产能力/小时 利润/(元/件)
di−与di+。
之后根据目标函数中的优先因子来分析求解。
可以满足绝对约束与目标约束的解就是目标规划的最优解。 若有某些约束得不到满足，得到的解就称为满意解。 绝对约束条件应视为目标规划问题的最优先级；若其不能满足，则
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优先因子(优先等级)与权系数
一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到 这些目标时，会有主次或轻重缓急的不同，我们可以 透过赋予不同优先因子来区别。
例如，要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标 赋予优先因子P2, …, 并规定Pk>>Pk+1, k=1, 2, …, K。表示Pk比 Pk+1有更大的优先权。
目标规划市为了解决上述不足，而创建的一类数学模 型，其主要在分析各类目标重要性时，引入赋予各目 标优先因子和加权系数的概念
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正负偏差量
设x1, x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+, d−。
1. 若要求恰好达到目标值，则应要求正、负偏差变量均尽可 能地小，这时，目标函数的形式为min z=f(d++d−)。
2. 若要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但正偏差变 量要尽可能地小，这时目标函数的形式为min z=f(d+)。
3. 若要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差变量要尽可 能地小，这时目标函数的形式为min z=f(d−)。
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Ex.目标规划的图解法
某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台 电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小 时。预计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可 获利80元；黑白电视机的销量是30台，每台可获利40 元。该厂确定的目标如下，试建立本问题的目标规划 模型，并求解黑白和彩色电视机的产量。充分利用装配线，负偏
首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标。 而P2级目标仅在实现P1级目标後才考虑；依此类推。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，可分 别赋予它们不同的权系数wj，这些都由决策者按具体 情况而定。
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目标规划的目标函数
目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正 、负偏差变量和赋予的优先因子及权系数而构造的。 当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小和 目标值的偏差。因此目标规划的目标函数的形式通常 是min z=f(d+, d−)。其具体形式大致有三种：
目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要 追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏 差。因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是 软约束。
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、 负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需 要将绝对约束变换为目标约束。 目标函数 z=8x1+10x2 → 8x1+10x2+d1−−d1+=56 约束条件 2x1+x2≤11 → 2x1+x2+d2−−d2+=11
x1,x2,di,di0,i1 ,2,3
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随堂练习
某市计划在下一年度购置一批救护车，已知每辆购置 价为20万元。救护车用于所属A, B两个郊区县，各分 配xA辆和xB辆。A县救护站从接到呼叫到出动的响应时 间为(40−3xA)分钟；B县救护站的响应时间为(50−xB)分 钟。该市确认如下优先目标，请建立目标规划模型。
问题不存在可行解。
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目标规划问题的图解法
m in
z
P1
d
1
P2
d
2
d
2
P3
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2 x1 x2 11
x1 x1
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线段GD已满足所有约束条件， 故此线段为此目标规划问题 的解。
1 8
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3. 利润额不小于56元。
目标约束(要加偏差变量)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
minzP1d1P2 d2d2
P3
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2x1x2 11 x1x2d1d10产品Ⅱ要较多，正偏差越小越好。 x12x2d2 d2 10充份利用且不加班，正负偏差皆越小越好。 8x110x2d3 d3 56利润不小于56元，负偏差越小越好。
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线性目标规划
Operations Research, Spring 2016, C.-J. Chang
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线性目标规划的介绍
线性规划问题存在两方面的不足
1. 不能处理多目标的优化问题。 2. 约束条件过于刚性化，不允许约束条件有丝毫超差。
1. 第一优先级：用于救护车的购置费不超过400万元。 2. 第二优先级： A县的响应时间不超过8分钟。 3. 第三优先级： B县的响应时间不超过8分钟。
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目标规划的图解法
对只具有两个决策变量的目标规划数学模型，可以用 图解法来分析求解。
先在平面直角坐标系的第一象限内画出各约束条件。
正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分。 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒有
d+×d−=0。
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绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的约束條件，不能满足这 些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。
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目标规划的数学模型
L
K
m in z
Pl
(
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lk k
d
lk k
)
l1 k 1
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ckj x j
d
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1, , K
j1
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k
,
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0,k
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Ex. 线性目标规划 绝对约束
某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，相关数据见下表。若在
原材料的供应受严格限制的基础下依序考虑下列目标
，请试着建立其目标规划模型：
Ⅰ Ⅱ 拥有量
1. 产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量。 原材料/kg
2 1 11
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充分利用设备有效台时，不加班。
设备生产能力/小时 利润/(元/件)