2018中考数学专题复习 等腰直角三角形与一次函数(无答案)

第五讲 等腰直角三角形与一次函数

【知识要点】

1．专题研究：等腰直角三角形（45°角）在坐标系中的运用（45°角的存在性问题）

原理：45°−−−→构造等腰直角三角形−−−→构造必有全等−−−−−−→线段转化（平移）

已知两点坐标，求第三点的坐标

−−→两点求解析式−−→求与其它直线（x 轴、y 轴）交点坐标

2．研究与等腰直角有关的定值、定点、定角问题． 【新知讲授】

【例1】在直角坐标系中，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝B C ．

（1）如图，A 点的坐标为（－4，－2），C 点的坐标为（2，2），求OD 的长；

（2）如图，A 点的坐标为（5，8），B 点的坐标为（2，－5），AC 求△CDE 的面积．

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线1

22

y x =

+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABC D ．

（1）直接写出点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 ；

（2）你能否在x 轴上找一点M ，在y 轴上找一点N ，使得四边形CDMN 的最长最小？若能，请求

出

M 点、N 点的坐标；若不能，说明理由．

【例3】如图，直线y＝x＋8与两坐标轴交于A、B两点，将直线AB沿y轴翻折得到直线A C．（1）直接写出直线AC的解析式为；

（2）P为线段AB上的一个动点，Q为线段AC上一点，且∠POQ＝45°．

①若P点的坐标为（－2，6），求Q点的坐标．

②设P点的横坐标为a，Q点的横坐标为b，请求b与a的函数关系式．

【例4】在直角坐标系中，O是坐标原点，直线OA、OB都经过第一象限，且满足∠AOB＝45°，设直线OA的解析式为y＝kx，直线OB的解析式为y＝mx．

（1）如图1，当∠BOx＝30°时，求直线OB的解析式；

(1)

（2）如图2，当k＝2时，请求出直线OB的解析式；

(2)

（3）试求m 与k 之间的函数关系式．

(3)

【例5】如图，直线1

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y x =--交两轴于A 、B 两点，点P 在x 轴上，且∠ABP ＝45°，求点P 的坐标．

【例6】如图，直线+6y x =-与x 、y 轴交于A 、B 两点，P 为线段OB 作等腰Rt △P AC ，连接CP 并延长交x 轴于点D ，当P 点在y 轴上运动时（不包括O 点），点D 的位置是否发生变化？若不变，求出D 的坐标；若改变，请说明理由．

【例7】如图，直线y ＝－x ＋6与x 、y 轴交于A 、B 两点，P 为线段OA 上的一点，以B 为直角顶点，BP

为腰的Rt △BPC ，连接AC 交OB 于点D ．当P 点在线段OA 上运动时（不包括A 点），探索：

OD

AP

的值是否发生变化？

【例8】如图，直线y＝kx＋2（k＞0）与两轴交于A、B两点，沿x轴翻折直线AB得到直线A C．

（1）当k＝1

2

时，请直接写出：A、B、C三点的坐标及直线AC的解析式；

A：；B：；C：；直线AC：．

（2）在（1）的条件下，若D为直线AC上一点，且∠ABD＝45°，求D点的坐标；

（3）如图，将线段AB绕A点逆时针旋转90°到线段AE，连接CE交OA于点F，当k的值发生变化时，点F的位置是否发生变化？若不变，请求F点的坐标；若改变，请说明理由．

E

【例9】如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（－3，0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE ＝AD，连接BE交y轴于点M．

（1）若D点的坐标为（－5，0），求E点的坐标；

（2）求证：M为BE的中点；

（3）当D点在x轴上运动时，探索：OM

BD

为定值．