共线向量与平面向量基本定理
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§5-2共线向量与平面向量基本定理
2018年1月1日
1.实数与向量的积
设#»a 是一个非零向量，则2#»a 表示与#»a 方向相同且长度为#»a 的2倍的向量，12
#»a 表示与#»a
方向相同且长度为#»a 的12的向量.类似地，−3#»a 表示与#»a
方向相反且长度为#»a 的3倍的向量，−23#»a 表示与#»a 方向相反且长度为#»a 的23倍的向
量（如图5-2-1）.
一般地，实数λ与向量#»a 的积是一个向量，记作λ#»a ，它的长度
与方向规定如下：
（1） λ#»a = λ #»a ；
（2）当λ>0时，λ#»a 的方向与#»a
的方向相同；当λ<0时，λ#»a 的方向与#»a 的方向相反；当λ=0时，λ#»a =#»0.
#»a #»12#»−3#»23
#»图5-2-1
2.运算律
（1）对数因子的交换律：λµ#»a =µλ#»a
；（2）对数因子的结合律：λ(µ#»a )=(λµ)#»a
；（3）向量对数因子的分配律：(λ+µ)#»a =λ#»a +µ#»a
；（4）数因子对向量的分配律：λ(#»a +#»b )=λ#»a +λ#»b .
3.共线定理
定理向量#»b 与非零向量#»a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得#»b =λ#»a
.4.平面向量基本定理
物理中的力既有大小，又有方向，因此力是向量.
我们知道，力可以进行合成和分解.一个力可以分解为两个不共线的力.一般地，一个向量也可以分解
为两个不共线的向量的和（如图5-2-2）.
图5-2-2
平面向量基本定理
如果#»e 1
、#»e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量#»a ，有且只有一对实数λ1
、λ2，使#»a λ1#»e 1+λ2#»e 2.【例1】如图5-2-3，ABCD 的两条对角线交于点M ，且# »AB =#
»a ，# »AD =#»b ，用#»a 、#»b 表示# »MA 、# »MB 、# »
MC 和#
»MD .A
C 图5-2-3
变式1
如图5-2-4，
，ABCD 的两条对角线交于点M ，且# »MA =#
»a ，# »MB =#»b ，用#»a 、#»b 表示# »AB 、# »AC 、# »
AD .
A
C
图5-2-4
【例2】如图5-2-5，# »
OA、
# »
OB不共线，
# »
AP=t
# »
AB(t∈R)，用
# »
OA、
# »
OB表示
# »
OP.
O
图5-2-5
变式2
（1）（2015课标I理7）设D为△ABC所在平面内一点，# »
BC=3
# »
CD，则（）
（A）# »
AD=−
1
3
# »
AB+
4
3
# »
AC（B）
# »
AD=
1
3
# »
AB−
4
3
# »
AC
（C）# »
AD=
4
3
# »
AB+
1
3
# »
AC（D）
# »
AD=
4
3
# »
AB−
1
3
# »
AC
（2）（2013四川理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，# »
AB+
# »
AD=λ
# »
AO，
则λ=.
（3）（2013江苏10）设D，E分别是△ABC的边AB，BC，上的点AD=1
2
AB，BE=
2
3
BC..若
# »
DE=λ1# »
AB+λ2
# »
AC（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为.
【例3】（2014全国新课标I 文6）设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则# »EB +# »F C =（）
（A ）# »BC （B ）12# »AD （C ）# »AD （D ）12
# »BC 变式3（2010湖北理5）已知△ABC 和点M 满足# »MA +# »MB +# »MC =#»
0.若存在实数m 使得# »AB +# »AC =m # »
AM 成立，则m =（）
（A ）5
（B ）4
（C ）3
（D ）2
【例4】P 为△ABC 内一点，且满足# »P A +2# »P B +3# »P C =#»
0，则△ABC 的面积与△AP C 面积之比
是
（
）
（A ）2:1
（B ）3:1
（C ）4:1
（D ）5:2
变式4
已知O 为△ABC 内一点，若# »OA +# »OC =−3# »
OB ，则△AOB 与△AOC 的面积的比值为
（）
（A ）1
3（B ）23（C ）1
（D ）43